aire ovoide à bord en arc de cercle .pdf


Nom original: aire ovoide à bord en arc de cercle.pdfTitre: aire ovoide à bord en arc de cercleAuteur: ARNOULET

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par PDFCreator Version 1.2.1 / GPL Ghostscript 9.02, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 13/02/2012 à 11:31, depuis l'adresse IP 89.224.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1608 fois.
Taille du document: 69 Ko (2 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Document écrit par M. Arnoulet
Aire de l’ovoïde à bords en arcs de cercles tangents aux deux cercles d’ extrémités de l’ovoïde (et centré sur l’axe
perpendiculaire à l’axe principale de l’ovoïde)

A

U

R

R’

O

N

α

d

r
T

M

β
B

Notations :
• C1 : centre O et rayon R
• C2 : centre M et rayon r
• C : tangent aux deux autres a pour centre N et rayon R’
• d = OM (distance entre les centres de C1 et de C2)
π
• α =a
TNU et β = – α = a
OMN = a
TMB
2
Dans OMN rectangle en O : MN² = OM² + ON² , soit : ( R’ – r )² = d² + ( R’ – R )²
d² + R² - r²
2( R – r )
L’aire de la moitié gauche de l’ovoïde s’obtient par addition de :
πR²
• S1 = quart de cercle de C1 =
4
1
1 π
π
• S2 = secteur angulaire a
TMB d’angle β = – α = β r² = ( – α )r²
2
2
2 2
OM
d
d
Où, dans MNO on a : tan( α ) =
=
d’où : α = Atan (
) (on pouvait aussi utiliser les sin ou cos )
ON R’ - R
R’ - R
On déduit : R’ =



S3 = Aire de la partie OMTU

=
=

Aire du secteur angulaire UNT – Aire ( MNO)
1
1
1
1
α R’ ² – OM x ON = α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2
2
2

Donc l’aire de l’ovoïde vaut :
S = 2( S1 + S2 + S3 ) =
S =

π
πR²
+ ( – α )r² + α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2

πR²
π
+ ( – α )r² + α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2

Où : R’ =

d² + R² - r²
d
et α = Atan (
)
2( R – r )
R’ - R

Application à certains prototypes de base :
Application au prototype :

R

1
R
2

3
1
Dans ce cas de figure : r = R et d = R
2
2
d² + R² - r²
R’ =
donc en remplaçant et après simplifications : R’ = 3R
2( R – r )
3
d
et α = Atan (
) = Atan( ) (angle non remarquable)
R’ - R
4
πR²
π
Alors S =
+ ( – α )r² + α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2
soit après « simplifications » :
S= (

5π 35
3
+ Atan( ) – 3 ) R² (formule exacte)
8 4
4

≈ 4,594 R²

(formule approchante)

Application au prototype :

R
1
R
2

1
r = R mais avec centre du petit cercle sur le grand cercle :
2
1
Dans ce cas de figure :
r = R et d = R
2
d² + R² - r² 7
R’ =
= R
2( R – r ) 4
4
d
Et : α = Atan (
) = Atan( ) (angle non remarquable)
R’ - R
3
πR²
π
Alors S =
+ ( – α )r² + α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2
Soit après « simplifications » :
S=(

5π 45
4 3
+ Atan( ) – ) R² (formule exacte)
8 16
3 4

≈ 3,8215 R²

(formule approchante)

Application au prototype :

R

Dans ce cas de figure : (avec largeur totale toujours égale à 3R)
1
5
7
r = R et d = 3R – R – r = 3R – R = R
4
4
4
1
R
4

R’ =

d² + R² - r² 8
= R ( soit bien 2+ 2/3 comme sur le schéma)
2( R – r ) 3

21
d
) = Atan( ) (angle non remarquable)
R’ - R
20
πR²
π
Alors S =
+ ( – α )r² + α R’ ² – d ( R’ – R)
2
2
Et : α = Atan (

Soit après « simplifications » :

S=(

21 35
17π 1015
+
Atan( ) – ) R² (formule exacte)
144
20 12
32

≈ 4,460 R²

(formule approchante)


Aperçu du document aire ovoide à bord en arc de cercle.pdf - page 1/2

Aperçu du document aire ovoide à bord en arc de cercle.pdf - page 2/2




Télécharger le fichier (PDF)





Documents similaires


aire ovoide a bord en arc de cercle
mandala math
chap11
cours mathematiques resume maths sup spe
topographieettopometriemodernestome2
trinome

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.009s