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équations .pdf



Nom original: équations.pdf
Auteur: jerome Dubie

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Dubie Jérôme

Les équations

Chapitre 5 : « Les équations »
1) Résolution d’équations du premier degré à une inconnue
a) Introduction
 Une mère a 22 ans de plus que sa fille. Dans deux ans, la somme
de leur âge sera 50 ans. Quel est leur âge ?
1) Si x est l’âge de la fille, comment exprime-t-on l’âge de la mère ?
2) Exprime l’âge de la mère et de la fille dans deux ans.
3) Traduis le problème en une expression mathématique.

4) Quelle est la solution de cette équation ?
5) Vérifie l’exactitude de la réponse trouvée. Convient-elle au problème ?

 La ville de Mons possède une équipe de football division1. Même si le stade doit
être rénové, le RAEC Mons possède cependant un terrain de grande
qualité présentant quelque chose de particulier par rapport à
d’autres équipes de division1 ; les dimensions de la pelouse sont plus
grandes. Sachant que le jardinier nous a dit que la largeur valait 60m
et le périmètre 350m, que vaut la longueur ?

b) Définition d’une équation

Une équation est …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
1

Dubie Jérôme

Les équations

c) Rappel sur les différents types d’équations vus en 2ème année

Type :

x+a=b

ax = b ou = b

ax + b = c

ax + b = cx + d

Exemple :

x + 72 = 123

23 x = 1 150

8 x + 47 = 215

15 x - 181 = 9 x + 11

Résolution :

…………………..

…………………

…………………

……………………

…………………

…………………

…………………

……………………

…………………

……………………

…………………

……………………

…………………

……………………
……………………

………………..

d) Propriétés des équations
Si on permute les 2 membres d’une égalité, on obtient …………………………………………
Exemple : ……………………………
Si on ajoute (retire) un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient
…………………
Exemple : ……………………………
Si on multiplie (divise) par un même nombre (non nul) les deux membres d’une égalité,
on obtient …………………………………………………………….
Exemple : ……………………………
Comment vérifier si la solution d’une équation est correcte ? ………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

Maintenant, tu es prêt pour une petite série d’exercices !
1) x + 7 = 18

5) 3x + 9 = 21

2) 3x = 18

6) 5x = 9 – x

3) 3 – x = 8

7) 8x – 7 = 10x + 13
8) –x + 2 = 14 – 5x

2

Dubie Jérôme

Les équations

e) Equations avec parenthèses et/ou avec dénominateur
Résolution d’une équation sans dénominateur.
Pour résoudre une équation sans dénominateur, il faut :



3 . (x – 2) = 2 x – (10 + 3 x)

1. Supprimer les parenthèses



2. Regrouper les termes semblables dans chaque
membre



…………………………………

3. Réduire les termes semblables



…………………………………

4. Isoler x



…………………………………

…………………………………

Résolution d’une équation avec dénominateur.

Pour résoudre une équation avec dénominateur, il faut :
1. Réduire les 2 membres au même
dénominateur (……………)




2. Multiplier les 2 membres par
le dénominateur (…………..)




3. Appliquer la méthode précédente








x2
4x  1
2
6
4

……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

……………………………………………

3

Dubie Jérôme

Les équations

f) Equations singulières
Jérémy et Elodie ont tenté de résoudre ces équations. Elodie affirme que pour la 1 ère
équation, la solution est 2 tandis que Jérémy n’a rien trouvé. Pour la seconde équation,
elle a trouvé 5 comme solution tandis qu’il a trouvé 3. Qui a raison ? ………………………..
5 . (10x – 3) = 2 . (17 x + 4) + 16x

8 x + 11 = 2 . ( 5x + 9) – 2x – 7

Résolution algébrique
……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

Constatations
L’équation est…………………………………

L’équation est …………………………………

Plusieurs séries
d’exercices
récapitulatifs
t’attendent à la page
suivante.
BON COURAGE !!!

4

Dubie Jérôme

Les équations

g) Exercices récapitulatifs
1) Les nombres proposés ci-dessous sont-ils solutions des équations proposées ? Sinon
quelle est la solution? En plaçant les lettres des bonnes solutions dans l’ordre
décroissant, tu trouveras le mot mystère !
a) 3x + 2 = 2x – 5

nombre : 6

……………………………... (n)

b) 5 + 2x = 12

nombre : 3

…………………………….. (n)

c) 2x + 2 = 3x – 2

nombre : 4

……………………………... (i)

d) 3y – 3 = 2y

nombre : 3

……………………………... (s)

nombre : -5

……………………………… (i)

f) 3x +2 = 2(x + 1)

nombre : 4

……………………………... (t)

g) 6x = 48 - 2x

nombre : 5

……………………………... (e)

h) 5x + 9 = -3x +1

nombre : 0

……………………………… (e)

e) 2a + 16 = -a +1

Mot mystère : ………………………………
2) Résous, si c’est possible, les équations suivantes sur une feuille annexe

1) 9 x = 6 x + 27

6) 8 – x + 15 + 7 x = 9 – 8 x

11) 4 x – 2 = 17 + 2 x – 9

2) 9 x – 5 = 1

7) 4x – 9x + 5 = 8x+ 10 +8

12) 6 (x + 5) – 5 x = 25

3) 2 x – 3 = 5 x + 9

8)

10
4
–9x= -x
3
3

13) 4 ( 4 + 2 x) = 71 – 3 x

4) 4 x +12 = 10 x + 15

9) 8 x – 5 + 2x = 10 – 5 x

14) 60 x + 1 = 3 (3 + 4 x)

5) – 3 x – 7 = 2 x + 0,5

10) x + 14 + 2 x – 17 = 0

15) 3 x – 1 = 5 x +1
2
4

3) Résous les équations suivantes et classe-les en équations possibles, impossibles ou
indéterminées.
1) 2 ( x – 7) = 5 ( 3 – x) + 7x
2) 5 – 2 x = 3 ( 3 – 2x)
3) x – 3(1 – 2x) = 7x – 3
4) 10 – 2 ( x +4) = 2 ( 1 + x)

3
5) 1 - 2 ( 1 – x) = 2 x –
2
2
6) 3 x –
7) x +

3
( 1 + 4x) = 2 – 3 x
2

2( x -1) 5 x – 1
=
3
3

8) 13 x –

3 1 3
+ ( + 26 x) = 0
4 2 2

5

Dubie Jérôme

Les équations

2) Règles du produit nul
a) Aide Nicolas à faire son devoir de math…
Nicolas a quelques difficultés à faire sa préparation de mathématiques. Il te demande
de l’aider pour avoir de beaux points. Voilà, ce qu’on lui demande :
Voici une série d’équations, rassemble celle du premier degré dans une colonne et celle
du second degré dans une autre. Voici les équations :
A) 2x-7 = 4
B) 4x²- 4x + 1 = 0

C) x(x-1)= 0
D) 3x = 9

E) x²- 3x = 0
F) x²= 5x – 4

G) 3(x + 2) = 4x
H) (x-1)(x+3) = 0

(Note les lettres dans les colonnes adéquates pour plus de facilité)
Equations du premier degré à
une inconnue

Equations du second degré à
une inconnue

Analyse des équations du second degré
Il y a deux cas relevés :
 Le membre de droite est ……………
 Le membre de droite n’est pas …………



Prenons l’équation « x(x-1) = 0 » ;

Que vaut le membre de droite ?...................................................................................................
Et le membre de gauche ? De quoi s’agit-il ?.............................................................................
Lorsqu’un produit de facteurs vaut 0, qu’est-ce que cela signifie ? …………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
Que doit valoir x pour que l’équation soit vérifiée ?………………………………………………

6

Dubie Jérôme



Les équations

Prenons l’équation « x²- 3x = 0 » ;

Que vaut le membre de droite ?..................................................................................................
Que faut-il faire ?.............................................................................................................................
Que devient l’équation ?...............................................................................................................
Que doit valoir x pour que l’équation soit vérifiée ?...................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………


Prenons l’équation « x²= 5x – 4 » ;

Quel problème se pose dans ce cas-ci ?.....................................................................................
Que faut-il faire ?............................................................................................................................
Que devient l’équation ?...............................................................................................................
Que faut-il faire pour trouver les solutions ?.................................................................................
Que devient le membre de gauche ?.........................................................................................
Quelles sont les solutions de l’équation ?.....................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………

b) Synthèse : comment résoudre les équations ?
Equations

1er degré

2ème degré
Membre de droite ……

Résolution en respectant la
priorité des opérations

Membre de droite non ………
Rendre …………………
………………………………………

1°) ………………………………
2°)………………………………………
Cac particuliers :
 0x = 0 (Equation
……………………)

Solutions

0x = nombre non nul
(Equation……………)
7

Dubie Jérôme

Les équations

c) Exercices sur la règle du produit nul
Résous les équations suivantes :
1) (x + 2)(x – 3) = 0

13) 36 = t²

2) (y-5)(3y+2) = 0

14) 25 – 16y² = 0

3) t²- 2t = 0
4) 2a²= 5a

16) a²- 16 = 8 – 2y

5) (3a + 1)(a – 1) = 2(1 – a)

17) 3u(u – 1) + (u – 1) = 0

6) x² - 9 = 2x – 6

18) 4t² = 12t – 9

7) (a + 5)² = a² + 25

19) 2x²+ 11x -5 = x²- x - 40

8) (x – 3)² = 25

20) x² + 3x = 27 – 3x

9) k² - 6k + 9 = 0

21) 9x²= 100

10) (2q - 1)²= (2q -1)(q + 3)

22) 9(x + 3) – x(x + 3)= 0

11) 5z² + 5 = 10z

23) (x – 7) = 5x(x – 3)

12) (t-2)² - 25 = 0

24) 5t²- t = 0

3) Problèmes sur les équations du 1er et 2ème degré
a) Introduction

Vendredi soir, Alia s’est arrêtée au « vidéo night shop » pour louer
3 DVD et acheter une recharge GSM.
Une semaine plus tard, elle veut louer un autre DVD mais ne sait
pas combien d’argent elle doit emporter.
Elle fouille dans ses poches et déniche le ticket suivant.
Malheureusement, une tache masque le prix d’un DVD !
Quel est-il ? …. €
Pour résoudre un problème, 5 étapes sont nécessaires.
Découvrons-les au point suivant et illustrons-les à l’aide de ce problème.
Méthode de résolution d’un problème.
-

Etape 1 : Choix de l’inconnue
 Désigner par une lettre (« x » ou « y » ou ...) ce que l’on cherche (souvent la
question).
Exemple : ……………………………………………………………………

8

Dubie Jérôme
-

Les équations

Etape 2 : Mise en équation
 Traduire le problème par une équation.
unités

Dans une équation, on ne note pas les

Exemple : ……………………………………………………………………
-

Etape 3 : Résoudre l’équation
 Utiliser la méthode algébrique pour trouver la valeur de l’inconnue.
……………………………………………………………………………

Exemple :

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
-

Etape 4 : Exprimer la solution
 Enoncer, en français, la solution du problème, en précisant, le cas échéant, l’unité.
Exemple :
……………………………………………………………………………………………………………
…………………

-

Etape 5 : Vérifier la solution
 Replacer la valeur trouvée dans l’équation pour vérifier que l’égalité est
conservée.
Exemple :

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

b) A toi de jouer !
Résous les problèmes suivants en t’aidant de la méthode de résolution d’un problème :
1) 3 kg de pommes coûtent 7,50 €. Quel est le prix d’un kilogramme de pommes ?
2) Détermine le rayon « r » d’un cercle dont la mesure du périmètre est la même que
celle de l’aire.
3) Trouve 5 nombres entiers consécutifs tels que, la somme des carrés des 2 plus
grands soit égale à la somme des carrés des 3 autres.
4) Trouver un nombre sachant que son triple augmenté de 2 est égal à son double
diminué de 3.
5) L’âge d’une personne est double de celui d’une autre. Il y a 7 ans, la somme des
âges des deux personnes était égale à l’âge actuel de la plus jeune des deux.
Quels sont les âges actuels des deux personnes ?
6) Quels sont les nombres dont le carré est au double ?
7) La somme de 3 nombres entiers consécutifs est 66. Quels sont ces 3 nombres ?

9

Dubie Jérôme

Les équations

8) Une somme d’argent a été partagée entre trois personnes. La première en a reçu
les 2/9, la deuxième le ¼ et la troisième a reçu 20€ de plus que la deuxième.
Calcule la somme partagée et la part de chaque personne.
9) Un agriculteur doit cultiver un très grand champ de pommes de terre. Ce terrain
dont on ne connaît pas les dimensions, est de forme carré. Afin de pouvoir
déterminer la mesure des côtés en hm, il nous a donné cette énigme à résoudre :
« la mesure du périmètre du champ est la même que celle de l’aire ». Quelles
sont les dimensions du champ ?
10) Un père a 20 ans de plus que son fils. Dans 15 ans, l’âge du père sera le double
de celui de son fils. Quels sont les âges actuels du père et du fils ?
11) Soit un triangle isocèle. L’un des deux angles à la base a une amplitude de 32°.
Quelle est l’amplitude de l’angle au sommet ?
12) L’âge d’une personne est double de celui d’une autre. Il y a 7 ans, la somme des
âges des deux personnes était égale à l’âge actuel de la plus jeune des deux.
Quels sont les âges actuels des deux personnes ?
13) Dans un bâtiment industriel de plusieurs étages, un hôtelier veut aménager des
chambres de forme carrée. Il rencontre son architecte. A l’aide d’un croquis
simplifié, il lui impose l’organisation de la chambre et les contraintes suivantes :
_ Salle de bain de forme carrée
_ Penderie 3m sur 0,6 m.
_ Superficie de la chambre hors salle de bain vaut
24m².
Détermine la longueur du côté de la chambre et
celle de la salle de bain.

c) Problèmes supplémentaires !
1) Un nombre diminué de 100 est égal à -541. (Solution = -441)
2) Le produit de deux nombres impairs consécutifs vaut 63. Quels sont ces deux
nombres ? (Solution = 7 et 9)
3) Deux angles sont supplémentaires. L’un d’eux a une amplitude de 60°. Quelle est
l’amplitude du second ? (Solution = 120°)
4) La somme de 3 nombres pairs consécutifs est 24. Quels sont ces nombres ?
(Solution = 6, 8 et 10)
5) Actuellement, l’âge de mon père vaut le carré de mon âge. Sachant que si on
additionne son âge et le quadruple du mien, cela fait 60 ans, quel est mon âge et
celui de mon père sachant qu’il n’est pas centenaire ?

10

Dubie Jérôme

Les équations

6) Le produit d’un nombre non nul par 140 vaut 20 fois le carré de ce nombre. Quel
est ce nombre ? (Solution = 7)
7) L’aire d’un triangle vaut 28cm² et la base vaut 14cm. Que vaut la hauteur ?
(Solution = 4cm)

3) Transformation de formules
a) Petit problème…
Les élèves de 2ème année générale sont soumis à un problème ; ils doivent calculer la
grande base d’un trapèze en connaissant la petite base qui vaut 2cm, la hauteur qui
vaut 3cm et l’aire totale valant 12cm². Pour pouvoir résoudre ce problème, le professeur
a fait deux groupes en classe ; un groupe de filles et un composé de garçons. Les filles
affirment que la grande base vaut 8cm alors que les garçons pensent qu’elle vaut 6cm.
Qui a raison ? Avant de commencer à calculer, un petit rappel s’impose ; quelle est la
formule d’aire d’un trapèze ?.......................................................................................................
Remplace A, b et h par les valeurs
et isole B.

Trouve la formule générale exprimant B en
fonction de A, b et h.

A

=

………………

A

=

……………….

………………..

=

………………

………………

=

……………….

………………..

=

………………

………………

=

……………….

………………..

=

B

………………

=

B

Finalement, qui avait raison ?.........................................................................................................
Exprime b et h en fonction des autres éléments de la formule en utilisant la même
méthode.
Pour transformer des formules, il suffit d’utiliser les mêmes règles que celles vues lors des
………………………… .

11

Dubie Jérôme

Les équations

b) Exerce-toi !!!
1) soit a =
Détermine x en fonction de a.
2) soit a =
Détermine b et e en fonction des autres éléments de la formule.
3) soit a = (b-c).d
Détermine c en fonction de a, c et d
4) soit b = a²
Exprime a en fonction de b.
5) soit a = b c d²
Détermine d en fonction des autres éléments de la formule.
6) Tu connais la formule du périmètre d’un rectangle. Trouve la formule qui donne la
largeur en fonction de la longueur et du périmètre.
7) Voici une formule qui vous sera utile au cours de physique : « v = v0 + a.t » Elle permet
de calculer la vitesse d’un véhicule après une accélération (a) lors d’un certain laps de
temps (t) en tenant compte de la vitesse avant l’accélération (v0). Donne toutes les
formules possibles.
8) Quelle est la formule d’aire d’un disque ? Exprime le rayon en fonction des autres
paramètres.
9) soit d = a Exprime a, b et c en fonction des autres éléments de la formule.
10) soit x =
Exprime t en fonction des autres éléments de la formule.

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