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b. Déterminer la limite de la fonction f en 0.
2. Soit D la droite d’équation y = 1 − 2x.
a. Démontrer que la droite D est asymptote à la courbe C.
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.
3. a. Soit f ’ la fonction dérivée de la fonction f.
Démontrer que pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞ [, f ' ( x ) =

g( x )

.
x2
b. En utilisant la partie A déduire le signe de f ’(x) sur I’intervalle ]0 ; +∞ [ et dresser le tableau de variations
de la fonction f .
4. Tracer la droite D et la courbe C dans le repère (O ; i , j ) .

Partie C : Calcul d’une aire

1
( ln x )2 .
2
1. On désigne par h’ la fonction dérivée de la fonction h. Calculer h’(x) pour tout réel x de ]0 ; +∞ [.

On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par h ( x ) =

2. On désigne par A la mesure, exprimée en cm2, de l’aire de la partie du plan comprise entre la droite D, la
courbe C et les droites d’équations x = 1 et x = e.
a. Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus.
b. Calculer la valeur exacte du nombre réel A.
1. 5. ROC+construction géo, La Réunion 2007
5 points
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
On désigne par A et par B les points d’abscisses respectives a et b de la courbe Γ représentative de la
fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal (O ; i , j ) .
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l’axe des ordonnées.
1. a. Donner l’équation réduite de la tangente T au point A à la courbe Γ .
b. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection P de T avec l’axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de T ; la réaliser sur la figure ci-dessous.
2. Restitution organisée de connaissances : on suppose connue la propriété
« Pour tout couple (x ; y) de nombres réels strictement positifs, on a ln(xy) = ln(x)+ln(y). »
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a ln m =

1
ln m .
2

3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l’axe des abscisses le point G d’abscisse
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure (on laissera les traits de construction apparents).

Terminale S
Fonction logarithme

4

ab .

F. Laroche
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