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4. En déduire le sens de variation de f sur ] 0 ; + ∞ [ puis dresser le tableau de variations de la fonction f.
5. Déterminer le point A de la courbeC en lequel la tangente T est parallèle à la droite D.
6. Dans le repère (O ; i , j ) tracer les droites D et T et la courbe C.
III - Calcul d’une aire
1. Montrer que



e
1

ln x
1
dx = .
2
x

2. En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x = 1, x = e, l’axe des abscisses
et la courbe C. On exprimera cette aire en cm2. Hachurer cette région sur le graphique.
1. 7. ROC, Antilles 2006
3 points
1. Restitution organisée des connaissances.
Pré-requis :
– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et sa fonction dérivée est la fonction
1
inverse ( x ֏ ).
x
– ln(1)= 0.
Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, ln(ax) = ln(a)+ln(x).
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ln

1
a
= − ln b et que ln = ln a − ln b pour tous réels
b
b

strictement positifs a et b.
3. On donne 0,69 ≤ ln2 ≤ 0,70 et 1,09 ≤ ln3 ≤ 1,10. En déduire des encadrements de ln6, ln

1
3
et ln .
6
8

1. 8. Étude+aire, France, sept. 2010, 6 pts
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = x ( 1 − ln x ) .
La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

Terminale S
Fonction logarithme

6

F. Laroche
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