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Applications des math´ematiques:

La loi de Darcy

Math´ematiques
Appliqu´ees et
G´enie Industriel


esum´
e

On utilise la loi de Darcy pour d´eterminer l’´ecoulement qui traverse
un barrage poreux.

Domaines du g´
enie

Civil, G´eologique, Mines, M´ecanique

Notions math´
ematiques

´
Divergence, Gradient, Equation
de Laplace, M´ethodes de s´eparation
des variables

Cours pertinents

´
Calcul II, Equations
diff´erentielles

Auteur(es)

M. Laforest, I. Jalliffier-Verne

Sommaire
1 Introduction

2

2 Mod´
elisation

2

3 R´
esolution

2

4 Conclusion

4


ef´
erences

4

MAGI

Loi de Darcy

1

Introduction

La loi de Darcy est notamment utile pour caract´eriser les ´ecoulements souterrains de l’eau. On l’utilise
donc fr´equemment dans des milieux poreux comme, par exemple, dans un barrage en terre.
Dans cet exemple, en partant de la loi de Darcy dans un milieu poreux homog`ene, nous tenterons de
calculer le d´ebit traversant celui-ci en retrouvant la loi de Dupuit.

2

Mod´
elisation

La loi de Darcy r´egissant l’´ecoulement stationnaire d’un fluide incompressible de viscosit´e µ `a travers un
milieu poreux de perm´eabilit´e K est :
K
∇p.
µ
o`
u u est la vitesse d’´ecoulement et ∇p est le gradient de la pression.
u=−

Lors d’un ´ecoulement permanent, il y a conservation de la masse : div u = 0. Supposons que nous
soyons en pr´esence d’un milieu homog`ene, K est donc constant et isotherme, µ devient constant car µ
est fonction de la temp´erature. On a donc :


K
K
div − ∇p) = − ∇2 ∇(p) = 0.
µ
µ
u φ est le potentiel d’´ecoulement, on trouve : ∇2 φ = 0, l’´equation de
Si l’on pose : φ = − K
µ ∇p o`
Laplace.

3


esolution

´
Etudions
l’´ecoulement dans un barrage poreux :

Figure 1: Le barrage ´etudi´e.

2

MAGI

Loi de Darcy

Pour appliquer la loi de Darcy, nous choisirons la pression atmosph´erique comme origine. La pression p
ne d´epend plus alors que de la pression exerc´ee par la hauteur d’eau :
p = ρgz
o`
u ρ est la masse volumique et g l’acc´el´eration de pesanteur. L’axe z est vertical orient´e vers le haut.
Le potentiel d’´ecoulement devient donc :
φ=−

K
ρgz.
µ

Nous pouvons maintenant d´eterminer le d´ebit traversant le barrage.
Ce d´ebit a ´et´e calcul´e la premi`ere fois par Dupuit.
Tout d’abord, il a ´emis 2 hypoth`eses approximant la r´ealit´e :
1. L’eau de la surface libre ruisselle directement du point A au point C.
2. Les ´equipotentielles (perpendiculaires aux lignes de champ) sont des plans verticaux (c’est `a dire
x = cste) parall`eles `a chacun des cˆot´es du barrage : la vitesse est horizontale et donn´ee directement
par la loi de Darcy :
K
K dh
u = − ∇p = − ρg
µ
µ dx
en supposant donc que z = h(x).
En x = 0,
p = ρgh1



φ(0) = −

K
ρgh1 .
µ

p = ρgh2



φ(L) = −

K
ρgh2 .
µ

En x = L,

Les variables h1 , h2 , h et x sont respectivement la hauteur AE, la hauteur CD, la hauteur en fonction
de la position h = h(x) et x la position horizontale. Prenons une tranche infinit´esimale MNN’M’ du
barrage. D’apr`es la conservation de masse, on a :
qv = hu = −

K
dh
ρgh
= cste.
µ
dx

Ainsi,
dh
h
= cste
dx



d
dh
h
= 0.
dx
dx



Par la m´ethode de s´eparations des variables,
h2 = ax + b
o`
u a, b ∈ R.

3

Loi de Darcy

MAGI

Or on sait que :
(
Pour x = 0, h2 = h21 ,
Pour x = L, h2 = h22 .
On trouve donc que h21 = b et h22 = aL + h21 ⇔ a =

h22 −h21
L .

h22 − h21
x + h21 .
L
On peut donc en d´eduire la loi de Dupuit pour le d´ebit :

Ainsi, h2 = z 2 =

qv =

K h21 − h22
ρg
,
µ
L

o`
u qv est le d´ebit traversant le barrage poreux.

4

Conclusion

` partir de la loi de Darcy, nous pouvons d´eterminer le d´ebit s’´ecoulant au travers d’un barrage poreux
A
afin d’en pr´evenir les impacts et les risques de d´eversement.
Les lois de Darcy et de Dupuit sont donc utiles pour la s´ecurit´e de la construction des barrages, notamment pour l’´ecoulement souterrain sous le barrage. Cette ´etude est aussi importante pour les barrages
en b´eton pour calculer l’´epaisseur du tapis de b´eton et pour les barrages en terre pour obtenir la largeur
optimale du remblai.


ef´
erences
´
[1] Image,Ecoulement
en milieu poreux, Universit´e Paris-Sud 11
http ://www.meca.u-psud.fr/cours/L3 TP Poreux.pdf. Page consult´ee le 28 juillet 2009.
[2] MIT, Seepage flow and thermal effects in rigid porous media
http ://mitocw.vocw.edu.vn/NR/rdonlyres/Civil-and-Environmental-Engineering/1-63AdvancedFluid-Dynamics-of-the-EnvironmentFall2002/C9042F79-905C-40FC-BC3B838EB6D1C3C7/0/61darcyEmp.pdf. Page consult´ee le 28 juillet 2009.
´
[3] Universit´e Catholique de Louvain, Equation
de Darcy
http ://www.mema.ucl.ac.be/∼vl/documents/bac/math/fsab1103-1.pdf. Page consult´ee le 28
juillet 2009.
[4] Princeton University, Flow through porous media : a procedure for locating the free surface
http ://www.princeton.edu/∼dynaflow/pub conf pdf files/FlowThroughPorousMedia.pdf. Page
consult´ee le 28 juillet 2009.

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