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Bref résumé du minimum à savoir pour aller passer sereinement son Bac
I.
Suites et fonctions
1. Limites
Déterminer la limite d’une fonction
Déterminer la limite d’une suite
Utiliser les limites des suites de bases, en particulier des suies géométriques.
Utiliser les théorèmes du type « toute suite croissante et majorée converge » …
Utiliser les mêmes théorèmes que pour les fonctions si un f (n)
2. Dérivabilité
Justifier la dérivabilité d’une fonction
Sur un intervalle, en reconnaissant la somme, le produit, le quotient, la composée de
fonctions dérivables.
f a h f a
En un point a, en montrant que lim
existe et est finie.
h 0
h
Calculer la dérivée d’une fonction
En connaissant les formules !!
3. Courbes représentatives
Déterminer une équation de la tangente à C f au point d’abscisse a.
y f '(a) x a f (a)
Déterminer si C f admet une asymptote
Asymptote horizontale en et verticale en a.
Si f ( x) ax b x avec lim x 0 alors C f admet la droite d’équation y ax b
x
comme asymptote en .
Montrer que C f admet un centre de symétrie I.
Après un éventuel changement de repère, on montre que, dans le nouveau repère, C f est la
courbe représentative d’une fonction impaire.
On peut aussi montrer que pour tout point M de C f , son symétrique par rapport à I xI ; yI
f xI h f xI h
yI
2
Montrer que C f admet comme axe de symétrie la droite d’équation x a
appartient aussi à C f :
On montre que pour tout h, f a h f a h
Dénombrer les solutions de l’équation f ( x) k
En résolvant l’équation directement (second degré …)
Si ce n’est pas possible, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires
4. Primitives
Déterminer une primitive d’une fonction f
Justifier l’existence de primitive en s’assurant que f est continue, puis à l’aide des opérations
et primitives de fonctions usuelles, déterminer une primitive.
Déterminer la primitive F d’une fonction f telle que F x0 y0
On trouve une primitive G de f, puis on écrit F x G x k k
et on trouve la
valeur de k telle que F x0 y0
5. Suites et récurrences
Déterminer le sens de variation d’une suite
Etude du signe de un 1 un
Si un est à termes strictement positifs,
un 1
1 un 1 un
un
Utilisation d’un raisonnement par récurrence (en particulier si un1 f un et que l’on
connaît les variations de f)
Raisonner par récurrence
6. Fonction exponentielles
Connaître les propriétés algébriques et propriétés de base (ensemble de définition, variations,
limites, dérivée, valeurs particulières, représentation graphique, ea b ea eb …)
Cf cours ….quand on en a un !
Déterminer des limites
En , la fonction exponentielle l’emporte sur toutes les puissances de x (Attention !!
Evidemment ce genre de phrase est utile pour se souvenir de l’idée mais n’est pas à écrire
sur une copie ….) Cf cours croissance comparée …quand on en a un !!
Résoudre une équation du type eu ( x ) ev ( x )
On utilise ; pour tous réels a et b ea eb a b
Résoudre une inéquation
On utilise le fait que la fonction exponentielle est croissante :
pour tous réels a et b ea eb a b
7. Fonction logarithme népérien
Connaître les propriétés algébriques et propriétés de base (ensemble de définition, variations,
limites, dérivée, valeurs particulières, représentation graphique, ln ab ln a ln b …)
Cf cours ….quand on en a un !
Déterminer des limites
En 0 et en , toutes les puissances de x l’emportent sur ln (Attention !! Evidemment ce
genre de phrase est utile pour se souvenir de l’idée mais n’est pas à écrire sur une copie ….)
Cf cours croissance comparée …quand on en a un !!
Résoudre une équation du type ln u( x) ln v( x)
On cherche le domaine de définition de l’équation ; puis on utilise la propriété pour tous
réels strictement positifs a et b ln a ln b a b
Résoudre une inéquation
Chercher le domaine de définition de l’inéquation, puis utiliser le fait que la fonction
logarithme népérien est croissante sur son domaine de définition.
pour tous réels a et b ln a ln b a b
8. Equations différentielles
Résoudre l’équation différentielle E : y ' ay b
a 0
On résout l’équation différentielle associée sans second membre y ' ay
b
On cherche une solution particulière sous forme de constante :
a
ax
Les solutions sont les fonctions du type x Ce , C
b
Les solutions de E sont les fonctions x Ceax , C
a
9. Intégrales
Calculer une intégrale
b
Si on connaît une primitive de f sur I,
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Sinon penser à une intégration par parties
Sinon une autre méthode est suggérée dans l’énoncé
Calculer une aire sous une courbe, entre deux courbes …
Etudier le signe de f ( x) , de f ( x) g ( x) sur a; b ;; l’aire en u.a, du domaine délimité par
la courbe de f, l’axe des abscisses ou la courbe de g et les droites d’équations x a et x b
b
est
a
b
f ( x) dx ou
f ( x) g ( x) dx
a
F ( x) f ( x)dx est l’unique primitive de f s’annulant en a. Donc F '( x) f ( x)
a
II.
Probabilités
Une probabilité est un nombre réel compris entre 0 et 1. La somme des probabilités vaut 1.
Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si, et seulement si,
p A B p A p B pA B p B pB A p A
Calculer des probabilités
card A nombre de cas favorables
card nombre de cas possibles
Utiliser les combinaisons si la situation peut se modéliser par des tirages simultanés.
Sinon : modéliser la situation à l’aide d’un arbre ou d’un diagramme.
Si les conditions sont requises, utiliser la loi binomiale et appliquer la formule
n
nk
p X k p k 1 p
k
Si on doit calculer la probabilité d’un intervalle par une loi continue, on intègre la densité de
cette loi entre les bornes adéquates.
Exemple : loi exponentielle f (t ) e t sur I 0; ….cf cours !!!
Utiliser la formule des probabilités totales
Calculer l’espérance et la variance d’une loi (l’écart-type est la racine carrée de la variance)
En situation d’équiprobabilité : p A
n
n
i 1
i 1
Si la loi est donnée par un tableau, on utilise la formule E X xi pi xi p X xi
Quant à la formule de la variance …euh…qui la connaît ? à part moi bien-sûr !!
Si on est dans le cadre de la loi binomiale on applique les formules E X np et
V X npq .
III.
Géométrie dans l’espace
1. Barycentres
Les formules sont données dans le cas de 3 points, mais on peut généraliser toues les propriétés à n
points.
G est le barycentre de A; a ; B; b et C; c .
Pour que G existe, il faut que a b c 0
Alors on a : aGA bGB cGC 0
Pour tout point M : a b c MG aMA bMB cMC (la formule
indispensable !!...quoiqu’en pensent certains …)
Propriété d’associativité du barycentre : on peut « remplacer » des points pondérés d’un
système par leur barycentre (dit partiel) affectés de la somme de leurs coefficients.
ax bxB cxC
Coordonnées : xG A
etc…
abc
az bzB czC
Affixe : zG A
abc
Utilisation du barycentre : pour réduire les sommes vectorielles et pour les recherches de
lieux géométriques, éventuellement pour montrer que 3 points sont alignés ou que 4 points
sont coplanaires.
2. Produit scalaire
Calculer AB. AC
En repère orthonormé, on utilise les coordonnées.
Utiliser AB. AC AB AC cos AB, AC
On peut utiliser AB. AC AH . AC où H est le projeté orthogonal de B sur AC
Calculer un angle
Utiliser AB. AC AB AC cos AB, AC
Démontrer l’orthogonalité de deux droites
Montrer que u.v 0 où u et v sont des vecteurs directeurs des droites.
Montrer qu’une droite appartient à un plan orthogonal à l’autre droite.
Démontrer l’orthogonalité d’une droite D et d’un plan P.
Montrer que u.v 0 et u.w 0 où u est un vecteur directeur de D et v et w deux vecteurs
non colinéaires de P.
Montrer que u et n sont colinéaires où u est un vecteur directeur de D et n un vecteur
normal à P.
IV.
Nombres complexes
Savoir passer de l’écriture algébrique à l’écriture trigonométrique ou exponentielle et
inversement.
Si z a ib
Alors z r a 2 b2 et arg z
2 avec
a
cos
a 2 b2
b
sin
a 2 b2
z rei a 2 b2 cos i sin
Conjugué d’un nombre complexe
Utile pour supprimer le « i » au dénominateur
Résoudre une équation
Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie imaginaire et
la même partie réelle.
z Im z 0 z z arg z 0
( z réel positif alors arg( z) 0 2 et z réel négatif alors arg( z)
z est imaginaire pur Re z 0 z z arg z
2
2 )
Complexes et géométrie
z z
zB z A AB et arg C A AB, AC
zB z A
z zA
zB z A
AB et CD sont colinéaires arg C
0
zD zC
zB z A
A, B et C sont alignés si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires.
z zA
z z
AB et CD sont orthogonaux arg C
B A est imaginaire pur.
zD zC
zB z A 2
Ecriture complexe des transformations :
z ' z b : translation de vecteur d’affixe b.
z ' k z :homothétie de centre et de rapport k.
z ' ei z :rotation de centre et d’angle .





