BBBBBB .pdf

À propos / Télécharger Aperçu

Nom original: BBBBBB.pdf

Titre: Bref résumé du minimum à savoir pour aller passer le Bac 

Auteur: Cathy

Ce document au format PDF 1.3 a été généré par Conv2pdf.com / Mac OS X 10.7.3 Quartz PDFContext, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 21/03/2012 à 17:44, depuis l'adresse IP 87.64.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1501 fois.
Taille du document: 278 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document

Bref résumé du minimum à savoir pour aller passer sereinement son Bac 
I.

Suites et fonctions

1. Limites



Déterminer la limite d’une fonction
Déterminer la limite d’une suite
 Utiliser les limites des suites de bases, en particulier des suies géométriques.
 Utiliser les théorèmes du type « toute suite croissante et majorée converge » …
 Utiliser les mêmes théorèmes que pour les fonctions si un  f (n)
2. Dérivabilité





Justifier la dérivabilité d’une fonction
 Sur un intervalle, en reconnaissant la somme, le produit, le quotient, la composée de
fonctions dérivables.
f a  h  f a 
 En un point a, en montrant que lim
existe et est finie.
h 0
h
Calculer la dérivée d’une fonction
 En connaissant les formules !!
3. Courbes représentatives



Déterminer une équation de la tangente à C f au point d’abscisse a.
 y  f '(a)  x  a   f (a)



Déterminer si C f admet une asymptote
 Asymptote horizontale en  et verticale en a.
 Si f ( x)  ax  b    x  avec lim   x   0 alors C f admet la droite d’équation y  ax  b
x 



comme asymptote en  .
Montrer que C f admet un centre de symétrie I.
 Après un éventuel changement de repère, on montre que, dans le nouveau repère, C f est la
courbe représentative d’une fonction impaire.
 On peut aussi montrer que pour tout point M de C f , son symétrique par rapport à I  xI ; yI 
f  xI  h   f  xI  h 
 yI
2
Montrer que C f admet comme axe de symétrie la droite d’équation x  a

appartient aussi à C f :



 On montre que pour tout h, f  a  h   f  a  h 


Dénombrer les solutions de l’équation f ( x)  k
 En résolvant l’équation directement (second degré …)
 Si ce n’est pas possible, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires

4. Primitives



Déterminer une primitive d’une fonction f
 Justifier l’existence de primitive en s’assurant que f est continue, puis à l’aide des opérations
et primitives de fonctions usuelles, déterminer une primitive.
Déterminer la primitive F d’une fonction f telle que F  x0   y0
 On trouve une primitive G de f, puis on écrit F  x   G  x   k  k 



et on trouve la

valeur de k telle que F  x0   y0
5. Suites et récurrences


Déterminer le sens de variation d’une suite
 Etude du signe de un 1  un
 Si  un  est à termes strictement positifs,



un 1
 1  un 1  un
un

 Utilisation d’un raisonnement par récurrence (en particulier si un1  f un  et que l’on
connaît les variations de f)
Raisonner par récurrence
6. Fonction exponentielles







Connaître les propriétés algébriques et propriétés de base (ensemble de définition, variations,
limites, dérivée, valeurs particulières, représentation graphique, ea b  ea  eb …)
 Cf cours ….quand on en a un !
Déterminer des limites
 En  , la fonction exponentielle l’emporte sur toutes les puissances de x (Attention !!
Evidemment ce genre de phrase est utile pour se souvenir de l’idée mais n’est pas à écrire
sur une copie ….) Cf cours croissance comparée …quand on en a un !!
Résoudre une équation du type eu ( x )  ev ( x )
 On utilise ; pour tous réels a et b ea  eb  a  b
Résoudre une inéquation
 On utilise le fait que la fonction exponentielle est croissante :
pour tous réels a et b ea  eb  a  b
7. Fonction logarithme népérien



Connaître les propriétés algébriques et propriétés de base (ensemble de définition, variations,
limites, dérivée, valeurs particulières, représentation graphique, ln  ab   ln a  ln b …)
 Cf cours ….quand on en a un !



Déterminer des limites
 En 0 et en  , toutes les puissances de x l’emportent sur ln (Attention !! Evidemment ce
genre de phrase est utile pour se souvenir de l’idée mais n’est pas à écrire sur une copie ….)
Cf cours croissance comparée …quand on en a un !!
Résoudre une équation du type ln u( x)  ln v( x)





 On cherche le domaine de définition de l’équation ; puis on utilise la propriété pour tous
réels strictement positifs a et b ln a  ln b  a  b
Résoudre une inéquation
 Chercher le domaine de définition de l’inéquation, puis utiliser le fait que la fonction
logarithme népérien est croissante sur son domaine de définition.
pour tous réels a et b ln a  ln b  a  b
8. Equations différentielles



Résoudre l’équation différentielle  E  : y '  ay  b

 a  0

 On résout l’équation différentielle associée sans second membre y '  ay
b
On cherche une solution particulière sous forme de constante : 
a
ax
Les solutions sont les fonctions du type x Ce , C 
b
Les solutions de  E  sont les fonctions x Ceax  , C 
a
9. Intégrales


Calculer une intégrale
b

 Si on connaît une primitive de f sur I,

 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a



 Sinon penser à une intégration par parties
 Sinon une autre méthode est suggérée dans l’énoncé
Calculer une aire sous une courbe, entre deux courbes …
 Etudier le signe de f ( x) , de f ( x)  g ( x) sur  a; b ;; l’aire en u.a, du domaine délimité par
la courbe de f, l’axe des abscisses ou la courbe de g et les droites d’équations x  a et x  b
b

est


a



b

f ( x) dx ou



f ( x)  g ( x) dx

a

F ( x)   f ( x)dx est l’unique primitive de f s’annulant en a. Donc F '( x)  f ( x)
a

II.

Probabilités




Une probabilité est un nombre réel compris entre 0 et 1. La somme des probabilités vaut 1.
Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si, et seulement si,
p  A  B   p  A  p  B   pA  B   p  B   pB  A  p  A



Calculer des probabilités

card  A nombre de cas favorables

card    nombre de cas possibles
 Utiliser les combinaisons si la situation peut se modéliser par des tirages simultanés.
 Sinon : modéliser la situation à l’aide d’un arbre ou d’un diagramme.
 Si les conditions sont requises, utiliser la loi binomiale et appliquer la formule
n
nk
p  X  k     p k 1  p 
k 
 Si on doit calculer la probabilité d’un intervalle par une loi continue, on intègre la densité de
cette loi entre les bornes adéquates.
Exemple : loi exponentielle f  (t )   e  t sur I  0;  ….cf cours !!!
 Utiliser la formule des probabilités totales
Calculer l’espérance et la variance d’une loi (l’écart-type est la racine carrée de la variance)
 En situation d’équiprobabilité : p  A 



n

n

i 1

i 1

 Si la loi est donnée par un tableau, on utilise la formule E  X    xi pi   xi p  X  xi 
 Quant à la formule de la variance …euh…qui la connaît ? à part moi bien-sûr !! 
 Si on est dans le cadre de la loi binomiale on applique les formules E  X   np et

V  X   npq .

III.

Géométrie dans l’espace

1. Barycentres
Les formules sont données dans le cas de 3 points, mais on peut généraliser toues les propriétés à n
points.
G est le barycentre de  A; a  ;  B; b  et  C; c  .
 Pour que G existe, il faut que a  b  c  0
 Alors on a : aGA  bGB  cGC  0
 Pour tout point M :  a  b  c  MG  aMA  bMB  cMC (la formule
indispensable !!...quoiqu’en pensent certains …)
 Propriété d’associativité du barycentre : on peut « remplacer » des points pondérés d’un
système par leur barycentre (dit partiel) affectés de la somme de leurs coefficients.
ax  bxB  cxC
 Coordonnées : xG  A
etc…
abc
az  bzB  czC
 Affixe : zG  A
abc
 Utilisation du barycentre : pour réduire les sommes vectorielles et pour les recherches de
lieux géométriques, éventuellement pour montrer que 3 points sont alignés ou que 4 points
sont coplanaires.
2. Produit scalaire


Calculer AB. AC
 En repère orthonormé, on utilise les coordonnées.
 Utiliser AB. AC  AB  AC  cos AB, AC





 On peut utiliser AB. AC  AH . AC où H est le projeté orthogonal de B sur  AC 


Calculer un angle
 Utiliser AB. AC  AB  AC  cos AB, AC



Démontrer l’orthogonalité de deux droites
 Montrer que u.v  0 où u et v sont des vecteurs directeurs des droites.
 Montrer qu’une droite appartient à un plan orthogonal à l’autre droite.
Démontrer l’orthogonalité d’une droite D et d’un plan P.
 Montrer que u.v  0 et u.w  0 où u est un vecteur directeur de D et v et w deux vecteurs
non colinéaires de P.
 Montrer que u et n sont colinéaires où u est un vecteur directeur de D et n un vecteur
normal à P.







IV.

Nombres complexes



Savoir passer de l’écriture algébrique à l’écriture trigonométrique ou exponentielle et
inversement.
Si z  a  ib
Alors z  r  a 2  b2 et arg  z   

2  avec

a

cos  
a 2  b2


b
 sin  

a 2  b2

z  rei  a 2  b2  cos   i sin  



Conjugué d’un nombre complexe
 Utile pour supprimer le « i » au dénominateur
Résoudre une équation
 Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie imaginaire et
la même partie réelle.
 z   Im  z   0  z  z  arg  z   0  

( z réel positif alors arg( z)  0 2  et z réel négatif alors arg( z)  
 z est imaginaire pur  Re  z   0  z   z  arg  z  



2

2  )

 

Complexes et géométrie

z z 
zB  z A  AB et arg  C A   AB, AC
 zB  z A 
 z  zA 
zB  z A

 AB et CD sont colinéaires  arg  C
  0   
zD  zC
 zB  z A 






A, B et C sont alignés si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires.
 z  zA  
z z
 AB et CD sont orthogonaux  arg  C
   B A est imaginaire pur.

zD  zC
 zB  z A  2


Ecriture complexe des transformations :
 z '  z  b : translation de vecteur d’affixe b.
 z '   k  z    :homothétie de centre    et de rapport k.
 z '   ei  z    :rotation de centre    et d’angle  .