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III.

Géométrie  dans  l’espace

1. Barycentres
Les formules sont données dans le cas de 3 points, mais on peut généraliser toues les propriétés à n
points.
G est le barycentre de  A; a  ;  B; b  et  C; c  .
 Pour que G existe, il faut que a  b  c  0
 Alors on a : aGA  bGB  cGC  0
 Pour tout point M :  a  b  c  MG  aMA  bMB  cMC (la formule
indispensable !!...quoiqu’en  pensent  certains  …)
 Propriété  d’associativité  du  barycentre : on peut « remplacer »  des  points  pondérés  d’un  
système par leur barycentre (dit partiel) affectés de la somme de leurs coefficients.
ax  bxB  cxC
 Coordonnées : xG  A
etc…
abc
az  bzB  czC
 Affixe : zG  A
abc
 Utilisation du barycentre : pour réduire les sommes vectorielles et pour les recherches de
lieux géométriques, éventuellement pour montrer que 3 points sont alignés ou que 4 points
sont coplanaires.
2. Produit scalaire


Calculer AB. AC
 En repère orthonormé, on utilise les coordonnées.
 Utiliser AB. AC  AB  AC  cos AB, AC





 On peut utiliser AB. AC  AH . AC où H est le projeté orthogonal de B sur  AC 


Calculer un angle
 Utiliser AB. AC  AB  AC  cos AB, AC



Démontrer  l’orthogonalité  de  deux  droites
 Montrer que u.v  0 où u et v sont des vecteurs directeurs des droites.
 Montrer  qu’une  droite  appartient  à  un  plan  orthogonal  à  l’autre  droite.
Démontrer  l’orthogonalité  d’une  droite  D et  d’un  plan  P.
 Montrer que u.v  0 et u.w  0 où u est un vecteur directeur de D et v et w deux vecteurs
non colinéaires de P.
 Montrer que u et n sont colinéaires où u est un vecteur directeur de D et n un vecteur
normal à P.