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IV.

Nombres complexes



Savoir  passer  de  l’écriture  algébrique  à  l’écriture  trigonométrique  ou  exponentielle  et  
inversement.
Si z  a  ib
Alors z  r  a 2  b2 et arg  z   

2  avec

a

cos  
a 2  b2


b
 sin  

a 2  b2

z  rei  a 2  b2  cos   i sin  



Conjugué  d’un  nombre  complexe
 Utile pour supprimer le « i » au dénominateur
Résoudre une équation
 Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie imaginaire et
la même partie réelle.
 z   Im  z   0  z  z  arg  z   0  

( z réel positif alors arg( z)  0 2  et z réel négatif alors arg( z)  
 z est imaginaire pur  Re  z   0  z   z  arg  z  



2

2  )

 

Complexes et géométrie

z z 
zB  z A  AB et arg  C A   AB, AC
 zB  z A 
 z  zA 
zB  z A

 AB et CD sont colinéaires  arg  C
  0   
zD  zC
 zB  z A 






A, B et C sont alignés si, et seulement si, AB et AC sont colinéaires.
 z  zA  
z z
 AB et CD sont orthogonaux  arg  C
   B A est imaginaire pur.

zD  zC
 zB  z A  2


Ecriture complexe des transformations :
 z '  z  b :  translation  de  vecteur  d’affixe  b.
 z '   k  z    :homothétie de centre    et de rapport k.
 z '   ei  z    :rotation de centre    et  d’angle    .