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g7 .pdf



Nom original: g7.pdf
Titre: Microsoft Word - analy espace.doc
Auteur: maison

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‫ﺗﺤﻠﻴﻠﻴﺔ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪ -1‬إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻌﻠﻢ‪ ،‬إﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻣﺘﺠﻬﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷﺳﺎس‬
‫أ‪ /‬اﻷﺳﺎس ‪ -‬اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻧﺸﺎط ﻟﻴﻜﻦ ‪ OIJK‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ و ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ‪ P‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( OIJ‬ﺑﺘﻮاز‬
‫ﻣﻊ ) ‪ ( OK‬و ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OJ‬و ' ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OI‬و‬

‫) ‪( OIJ‬‬

‫'' ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OK‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ‬

‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬
‫‪ -2‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; I‬و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ' ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; J‬و ‪ z‬أﻓﺼﻮل‬

‫'' ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; K‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJG JJJG JJG‬‬
‫أآﺘﺐ ‪ OM‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ OI‬و ‪ OJ‬و ‪OK‬‬
‫‪-----------------------‬‬‫‪ -1‬اﻟﺸﻜﻞ‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJG JJJG JJG‬‬
‫‪ -2‬ﻧﻜﺘﺐ ‪ OM‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ OI‬و ‪ OJ‬و ‪OK‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪( OJ‬‬
‫و ' ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪( OI‬‬
‫‪JJJG JJJG JJJJG‬‬
‫وﻣﻨﻪ ) ' ‪ ( OQPQ‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ' ‪OP = OQ + OQ‬‬
‫و ﺣﻴﺚ ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; I‬‬
‫و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ' ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; J‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJG JJJG‬‬
‫ﻓﺎن ‪ OQ = xOI‬و ‪OQ ' = yOJ‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫وﻣﻨﻪ ‪OP = xOI + yOJ‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ '' ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OK‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ‬

‫) ‪( OIJ‬‬
‫) ‪ ( OIJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪( OK‬‬

‫و ‪ P‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪JJJJG JJJG JJJJG‬‬
‫وﻣﻨﻪ ) '' ‪ ( OPMQ‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع وﻣﻨﻪ '' ‪OM = OP + OQ‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ z‬أﻓﺼﻮل '' ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; K‬ﻓﺎن ‪OQ '' = zOK‬‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪JJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫إذن ‪OM = xOI + yOJ + zOK‬‬
‫و ﺑﻤﺎ أن ‪ OIJK‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﻓﺎن ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬و ‪ O‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫‪JJG JJJG JJJG‬‬
‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ‪ ( x; y; z‬إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ M‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ ; OK‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y; z‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ i‬و ‪ j‬و ‪ k‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ و ‪ O‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ‪.‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺜﻠﻮث ‪ i ; j ; k‬أﺳﺎس ﻟﻠﻔﻀﺎء‪ ،‬و أن اﻟﻤﺮﺑﻮع ‪ O; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻢ ﻟﻠﻔﻀﺎء‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪:‬‬
‫‪JJJG JJJG JJJG‬‬
‫أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ‪ O‬و ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﺗﺤﺪدا أﺳﺎﺳﺎ ﻣﺜﻼ ‪OA; OB; OC‬‬
‫‪JJJG JJJG JJJG‬‬
‫و ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ﻣﺜﻼ ‪O; OA; OB; OC‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ O; i ; j ; k‬ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫)‬

‫(‬

‫‪JJJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﻮﺟﺪ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ وﺣﻴﺪة ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ﺣﻴﺚ ‪OM = x.i + y. j + z.k‬‬
‫‪G G G‬‬
‫اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ‪ ( x; y; z‬ﻳﺴﻤﻰ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ M‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ‪ O; i ; j ; k‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y; z‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ ‪ u‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﻮﺟﺪ ﺛﻼﺛﺔ أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ وﺣﻴﺪة ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ﺣﻴﺚ ‪u = x.i + y. j + z.k‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﻤﺜﻠﻮث ) ‪ ( x; y; z‬ﻳﺴﻤﻰ إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ u‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻸﺳﺎس ‪ i ; j ; k‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y; z‬‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫ب‪ /‬إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ u + v‬و ‪ λ u‬و ‪ AB‬و ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x; y; z‬و ) ' ‪ v ( x '; y '; z‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ اﻷﺳﺎس ‪ i ; j ; k‬و ‪ λ‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬
‫‪G G‬‬
‫* ‪ u = v‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ' ‪ x = x‬و ' ‪ y = y‬و ' ‪z = z‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ) ' ‪u + v ( x + x '; y + y '; z + z‬‬
‫‪G‬‬
‫* ) ‪λ u ( λ x; λ y; λ z‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻟﻤﻌﻠﻢ ‪O; i ; j ; k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫و ‪I‬‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ] ‪[ AB‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫* ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ AB‬هﻮ ) ‪( xB − x A ; yB − y A ; zB − zB‬‬
‫‪ x A + xB y A + y B z A + z B ‬‬
‫;‬
‫;‬
‫* ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ I‬هﻮ‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬اﻟﺸﺮط اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻲ ﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و ) ' ‪ v ( a '; b '; c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ‪ ab '− a ' b = 0‬و ‪ bc '− b ' c = 0‬و ‪ac '− a ' c = 0‬‬
‫‪G G‬‬
‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎن ‪ ab '− a ' b = 0‬و ‪ bc '− b ' c = 0‬و ‪ ac '− a ' c = 0‬ﻓﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و ) ' ‪ v ( a '; b '; c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫'‪a a‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪= 0‬‬
‫'‪b b‬‬
‫'‪a‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪≠ 0‬‬
‫'‪b‬‬
‫'‪b b‬‬
‫اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬
‫'‪c c‬‬

‫'‪b b‬‬
‫و ‪=0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫أو ‪≠0‬‬
‫'‪c‬‬
‫‪b‬‬

‫'‪a a‬‬
‫و ‪=0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪a a‬‬
‫‪b‬‬
‫أو ‪≠ 0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫‪c‬‬

‫'‪a a‬‬
‫'‪a a‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬
‫و‬
‫و‬
‫'‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫'‪b b‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﺑﺎﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪'‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a a'‬‬
‫‪ a a '‬‬
‫'‪a a‬‬
‫'‪a a‬‬
‫'‪b b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= d3 ←  b b ' ‬‬
‫‪= d2 ←  b b ' ‬‬
‫‪= d1 ←  b b ' ‬‬
‫'‪b b‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪c c‬‬
‫‪ c c '‬‬
‫‪ c c' ‬‬
‫‪ c c' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -3‬اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و )' ‪ v ( a '; b '; c‬و )" ‪ w ( a "; b "; c‬ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ أﺳﺎس ‪i ; j ; k‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‪.‬‬
‫" ‪a = x ⋅ a '+ y ⋅ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ زوج ) ‪ ( x; y‬ﻣﻦ \ ﺣﻴﺚ " ‪b = x ⋅ b '+ y ⋅ b‬‬
‫‪‬‬
‫" ‪c = x ⋅ c '+ y ⋅ c‬‬

‫)‬

‫'' ‪b ' b‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪+c‬‬
‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ أن ‪= 0‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪b ' b‬‬

‫(‬

‫‪a‬‬

‫‪ -2‬أآﺘﺐ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺆال ‪ . 1‬ﻟﻨﻘﺒﻠﻬﺎ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫هﻞ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت )‪ u (1; 2;3‬و )‪ v ( 2;0;1‬و )‪ w ( 3;1;3‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‪.‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫أ‪ -‬ﻣﺤﺪدة ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و )' ‪ v ( a '; b '; c‬و )" ‪ w ( a "; b "; c‬ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ أﺳﺎس ‪i ; j ; k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫'' ‪b ' b‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪ a‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﺪدة اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ) ‪det ( u ; v ; w‬‬
‫اﻟﻌﺪد‬
‫‪−b‬‬
‫‪+c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪b ' b‬‬
‫"‪a a ' a‬‬
‫أو ﺑـ " ‪b b ' b‬‬
‫"‪c c ' c‬‬

‫"‪a a ' a‬‬
‫'' ‪b ' b‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻧﻜﺘﺐ‬
‫‪det ( u ; v ; w ) = b b ' b " = a‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪+c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪b ' b‬‬
‫"‪c c ' c‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ d1‬و ‪ d 2‬و ‪ d3‬اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﻣﻦ ‪ v‬و ‪w‬‬
‫"‪a a ' a‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪det ( u ; v ; w ) = b b ' b " = ad1 − bd 2 + cd3‬‬
‫"‪c c ' c‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪u ( a; b; c‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬و‬
‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬و‬

‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫و )' ‪ v ( a '; b '; c‬و )" ‪ w ( a "; b "; c‬ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ أﺳﺎس ‪i ; j ; k‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪ w‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا ‪det ( u ; v ; w ) ≠ 0‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪ w‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ إذا و ﻓﻘﻂ إذا ‪det ( u ; v ; w ) = 0‬‬

‫)‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫(‬

‫‪G G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ ، O; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A ( 2; 2; 4‬و )‪ B ( 2;1;3‬و ) ‪C (1; −1;0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫و )‪ D ( −1; 2;1‬و اﻟﻤﺘﻬﺠﺎت ) ‪ u ( − 1; 2;1‬و ) ‪v (1; − 3; 2‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬أدرس اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ‪ u‬و ‪v‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪ -2‬أدرس اﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ ‪ u‬و ‪ v‬و ‪w‬‬
‫‪ -3‬أدرس اﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و ‪D‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪G‬‬
‫و ) ‪w ( −1;1; 4‬‬

‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ‪ V3‬اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ أﺳﺎس ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪u ( m ; 2;1 − m‬‬

‫)‬

‫‪G‬‬
‫و ) ‪v ( 2 m + 1; 2; − 2 m + 3‬‬

‫(‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ m‬ﺑﺎراﻣﺘﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬

‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ ‪ m‬ﻣﻦ \ ‪:‬‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -2‬ﻟﺘﻜﻦ )‪ ، w (1; −2;1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬

‫‪ -4‬ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫أ‪ -‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪G G G‬‬
‫‪D‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫;‬
‫‪i‬‬
‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪; j ; k‬‬
‫) (‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x; y; z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪AM = t ⋅ u‬‬

‫‪∃t ∈ \ /‬‬

‫‪G‬‬
‫و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪u (α ; β ; λ‬‬

‫ﺗﻜﺎﻓﺊ \ ∈ ‪t‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪A ( x0 ; y0 ; z0‬‬

‫‪ x = x0 + α t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = y0 + β t‬‬
‫‪ z = z + λt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ . O; i ; j ; k‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪ u (α ; β ; λ‬ﻣﺘﺠﻬﺔ‬

‫(‬

‫)‬

‫ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫‪ x = x0 + α t‬‬
‫‪‬‬
‫‪  y = y0 + β t‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ ‪t‬‬
‫‪ z = z + λt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪G‬‬
‫و ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪u (α ; β ; λ‬‬

‫) ‪A ( x0 ; y0 ; z0‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪ x = −1 − 2t‬‬
‫\∈‪t‬‬

‫‪‬‬
‫‪G‬‬
‫‪  y = 5 + 3t‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A (1;5; −2‬و ﻣﻮﺟﻪ ب )‪u ( −2;3;1‬‬

‫‪ z = −2 + t‬‬
‫‪‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬ﻣﺎرا ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬و ) ‪ u ( a; b; c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x; y; z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪G JJJJG‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ AM‬و ‪ u‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺘﻴﻦ‬

‫‪G JJJJG‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻤﺤﺪد اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﻣﻦ ‪ AM‬و ‪ u‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ b ( x − x0 ) − a ( y − y0 ) = 0‬و ‪ c ( x − x0 ) − a ( z − z0 ) = 0‬و ‪c ( y − y0 ) − b ( z − z0 ) = 0‬‬

‫اﻷﻋﺪاد ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻟﻴﺴﺖ ﺟﻤﻴﻌﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬
‫ﻟﻨﻔﺮض أن ‪ a ≠ 0‬و ‪ b ≠ 0‬و ‪c ≠ 0‬‬

‫‪x − x0 y − y0 z − z0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫ﻟﻨﻔﺮض أن أﺣﺪهﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻣﺜﻼ ‪ a = 0‬و ‪ b ≠ 0‬و ‪c ≠ 0‬‬
‫‪y − y0 z − z0‬‬
‫=‬
‫و ‪x − x0 = 0‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫ﻟﻨﻔﺮض أن اﺛﻨﻴﻦ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﻨﻌﺪﻣﻴﻦ ﻣﺜﻼ ‪ a = 0‬و ‪ b = 0‬و ‪c ≠ 0‬‬
‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ y − y0 = 0‬و ‪x − x0 = 0‬‬

‫ﻣﺮهﻨﺔ‬

‫‪G G G‬‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪O; i ; j ; k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬
‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺎرا ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬و ) ‪ u ( a; b; c‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ ﻓﺎن اﻟﻨﻈﻤﺔ‪:‬‬
‫‪x − x0 y − y0 z − z0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫و ‪ c ≠ 0‬أﻣﺎ إذا آﺎن أﺣﺪ اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻓﺎن اﻟﺒﺴﻂ اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ ﺑﻪ ﻳﻜﻮن ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ أﻳﻀﺎ‪.‬‬
‫أﻣﺜﻠﺔ‬
‫‪G‬‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A (1;5; −2‬و ﻣﻮﺟﻪ ب )‪u ( −2;3;1‬‬

‫ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻈﻤﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ دﻳﻜﺎرﺗﻴﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬إذا آﺎن ‪ a ≠ 0‬و ‪b ≠ 0‬‬

‫‪x −1 y − 5‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫=‬
‫‪= z+2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪G‬‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ' ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ B (1; −2; 2‬و ﻣﻮﺟﻪ ب ) ‪u ' ( −3;0; 2‬‬

‫)‪( D‬‬

‫‪x −1 z − 2‬‬
‫و ‪ y + 2 = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬
‫=‬
‫‪−3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G‬‬
‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) '' ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ C ( 3; 2; −5‬و ﻣﻮﺟﻪ ب ) ‪u '' ( −3;0;0‬‬
‫‪ y − 2 = 0‬و ‪ z + 5 = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن دﻳﻜﺎرﺗﻴﺎن ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)' ‪( D‬‬

‫)'' ‪( D‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪ - 5‬ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻮى‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬
‫أ‪ /‬ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻮى‬

‫)‬

‫‪G G G‬‬

‫(‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪. O; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ u (α ; β ; λ‬و ) ' ‪u ' (α '; β '; λ‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x; y; z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪JJJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ M ∈ ( P‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ' ‪AM = t ⋅ u + t '⋅ u‬‬
‫ﺗﻜﺎﻓﺊ‬

‫)‪( P‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪A ( x0 ; y0 ; z0‬‬

‫‪∃ ( t; t ') ∈ \ 2 /‬‬

‫' ‪ x = x0 + α t + α ' t‬‬
‫‪‬‬
‫' ‪ y = y0 + β t + β ' t‬‬
‫' ‪ z = z + λt + λ ' t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬

‫‪( t; t ') ∈ \ 2‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ . O; i ; j ; k‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ) ‪u (α ; β ; λ‬‬
‫‪G‬‬
‫و ) ' ‪ u ' (α '; β '; λ‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬

‫(‬

‫)‬

‫' ‪ x = x0 + α t + α ' t‬‬
‫‪‬‬
‫اﻟﻨﻈﻤﺔ ‪  y = y0 + β t + β ' t ' ( t ; t ') ∈ \ 2‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬
‫' ‪ z = z + λt + λ ' t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ u (α ; β ; λ‬و ) ' ‪u ' (α '; β '; λ‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬و ﻣﻮﺟﻪ‬

‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ u (α ; β ; λ‬و ) ' ‪u ' (α '; β '; λ‬‬

‫‪JJJJG G G‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ det AM ; u ; v = 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫'‪α α‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ y − y0 β β ' = 0‬‬
‫' ‪z − z0 λ λ‬‬
‫'‪β β‬‬
‫'‪α α‬‬
‫'‪α α‬‬
‫) ‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ ( x − x0‬‬
‫) ‪− ( y − y0‬‬
‫) ‪+ ( z − z0‬‬
‫‪=0‬‬
‫'‪λ λ‬‬
‫'‪λ λ‬‬
‫'‪β β‬‬
‫‪x − x0‬‬

‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) + c ( z − z0 ) = 0‬‬
‫ﺑﻮﺿﻊ ‪ c = d3 ; b = − d 2 ; a = d1‬ﺣﻴﺚ ‪ d1‬و ‪ d 2‬و ‪ d3‬اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺘﻴﻦ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ u (α ; β ; λ‬و ) ' ‪u ' (α '; β '; λ‬‬
‫ﻧﻀﻊ ) ‪d = − ( ax0 + by0 + cz0‬‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬

‫‪M ∈ ( P ) ⇔ ax + by + cz + d = 0‬‬

‫‪G G G‬‬
‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪O; i ; j ; k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x0 ; y0 ; z0‬واﻟﻤﻮﺟﻪ‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﺷﻜﻞ ‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ‬

‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬

‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫) ‪ u (α ; β ; λ‬و ) ' ‪u ' (α '; β '; λ‬‬

‫) ‪( a; b; c ) ≠ ( 0;0;0‬‬

‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( x; y, z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪، ( a; b; c ) ≠ ( 0;0;0‬‬
‫ﻣﺴﺘﻮى‬
‫‪ ax + by + cz + d = 0‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬
‫ﻣﺜﺎل‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A (1; −1;0‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ) ‪ u ( 0;3; 2‬و ) ‪v ( −2; −1, 0‬‬
‫ﻧﺤﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬

‫)‪( P‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x; y , z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫‪JJJJG G G‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ det AM ; u ; v = 0‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪x − 1 0 −2‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ y + 1 3 −1 = 0‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ 2 ( x − 1) + 4 ( y + 1) + 6 z = 0‬‬
‫‪M ( x; y, z ) ∈ ( P ) ⇔ 2 x + 4 y + 6 z + 2 = 0‬‬
‫‪ 2 x + 4 y + 6 z + 2 = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬

‫)‪( P‬‬

‫‪ -6‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫أ‪ -‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D ) = D ( A; u‬و ) ‪ ( ∆ ) = D ( B; v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و ) ∆ ( ∈ ‪ A‬أو ) ‪ B ∈ ( D‬ﻓﺎن ) ∆ ( = ) ‪( D‬‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و ) ∆ ( ∉ ‪ A‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻗﻄﻌﺎ‬
‫‪JJJG G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و ‪ det AB; u ; v = 0‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬
‫‪JJJG G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و ‪ det AB; u ; v ≠ 0‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬

‫)‬
‫)‬

‫(‬
‫(‬

‫ب‪ -‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( P ) = P ( A; u ; v‬و )' ‪( Q ) = P ( B; u '; v‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و )' ‪ ( P‬ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬و ' ‪ u‬و ' ‪ v‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫أي ‪ det ( u ; v ; u ') = 0‬و ‪det ( u ; v ; v ') = 0‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و )' ‪ ( P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬و ' ‪ u‬و ' ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫أي ‪ det ( u ; v ; u ') ≠ 0‬أ و ‪det ( u ; v ; v ') ≠ 0‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
‫‪ ( P ) : ax + by + cz + d = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪( a; b; c ) ≠ ( 0;0;0‬‬

‫‪( P) : a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0‬‬
‫* ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و ) ' ‪ ( P‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪ ab '− a ' b ≠ 0‬أو ‪ bc '− b ' c ≠ 0‬أو ‪ac '− a ' c ≠ 0‬‬
‫* ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و ) ' ‪ ( P‬ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪ t‬ﺣﻴﺚ‬
‫ﺣﻴﺚ‬

‫) ‪( a '; b '; c ') ≠ ( 0;0;0‬‬

‫و ‪d ' ≠ td‬‬

‫‪c ' = tc ; b ' = tb ; a ' = ta‬‬
‫* ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و ) ' ‪ ( P‬ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪ t‬ﺣﻴﺚ‬
‫‪ c ' = tc ; b ' = tb ; a ' = ta‬و ‪d ' = td‬‬
‫ج‪ -‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( P ) = P ( A; u ; v‬و )' ‪( D ) = D ( B; u‬‬

‫‬‫‪-‬‬

‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و ) ‪ ( D‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬و ‪ v‬و ' ‪ u‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ أي ‪det ( u ; v ; u ' ) = 0‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻳﻜﻮن ) ‪ ( P‬و ) ‪ ( D‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ‪ u‬و ‪ v‬و ' ‪ u‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ أي ‪det ( u ; v ; u ' ) ≠ 0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫) ‪ ( P ) = P ( A; u ; v‬و )' ‪ ( D ) = D ( B; u‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( P‬و ) ‪ ( D‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن‬
‫‪ -‬إذا آﺎن ) ‪ B ∈ ( P‬ﻓﺎن‬

‫)‪( D) ∈ ( P‬‬
‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫ إذا آﺎن ) ‪ B ∉ ( P‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬ﻳﻮازي ) ‪ ( P‬ﻗﻄﻌﺎ‬‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪G G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A ( 2;1; 2‬و ) ‪ B (1;0; 2‬و ) ‪. C (1; 2; 2‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪G‬‬

‫) ‪ ( P‬اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪ u (1;0; 2‬و‬

‫اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ‪x + 2 y − z + 3 = 0‬‬
‫‪ -1‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪( D‬‬
‫)‪( D‬‬

‫‪ -2‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫‪ -3‬ﺗﺄآﺪ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬
‫‪-4‬‬

‫) ‪( ABC‬‬

‫ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎرﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬

‫‪ -5‬ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ‬

‫)‪ ( D‬و )‪( P‬‬

‫‪ -6‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى )' ‪ ( P‬اﻟﻤﻌﺮف ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ‪x + y − 2 z + 1 = 0‬‬
‫أ‪-‬‬

‫ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ ( P‬و )' ‪ ( P‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬

‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫) ∆ ( ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ ( P‬و )' ‪ ( P‬ﻣﻊ إﻋﻄﺎء ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ∆ (‬

‫‪G G G‬‬
‫ﻓﻲ ﻓﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O; i ; j ; k‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪2 x + 4 y + mz − 2 = 0‬‬
‫‪2x + 4 y − z − 3 = 0‬‬
‫و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫\∈‪t‬‬

‫‪( Pm ) :‬‬
‫‪( P) :‬‬

‫‪x = 1 + t‬‬
‫‪( D ) :  y = 1 − t‬‬
‫‪ z = 2t‬‬
‫‪‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ m‬ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﺣﻘﻴﻘﻲ‬
‫أدرس ﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ ‪ m‬اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬

‫) ‪ ( Pm‬و‬

‫)‪( P‬‬

‫أدرس ﺣﺴﺐ ﻗﻴﻢ ‪ m‬اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( Pm‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪( D‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬


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