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‫‪JJJG‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G G‬‬
‫ب‪ /‬إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ u + v‬و ‪ λ u‬و ‪ AB‬و ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x; y; z‬و ) ' ‪ v ( x '; y '; z‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ اﻷﺳﺎس ‪ i ; j ; k‬و ‪ λ‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬
‫‪G G‬‬
‫* ‪ u = v‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ' ‪ x = x‬و ' ‪ y = y‬و ' ‪z = z‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ) ' ‪u + v ( x + x '; y + y '; z + z‬‬
‫‪G‬‬
‫* ) ‪λ u ( λ x; λ y; λ z‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫‪G G G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x A ; y A ; z A‬و ) ‪ B ( xB ; yB ; z B‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻟﻤﻌﻠﻢ ‪O; i ; j ; k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫و ‪I‬‬

‫ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ] ‪[ AB‬‬
‫‪JJJG‬‬
‫* ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ AB‬هﻮ ) ‪( xB − x A ; yB − y A ; zB − zB‬‬
‫‪ x A + xB y A + y B z A + z B ‬‬
‫;‬
‫;‬
‫* ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﻴﺎت ‪ I‬هﻮ‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -2‬اﻟﺸﺮط اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻲ ﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و ) ' ‪ v ( a '; b '; c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫‪G‬‬

‫‪G‬‬

‫أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ‪ ab '− a ' b = 0‬و ‪ bc '− b ' c = 0‬و ‪ac '− a ' c = 0‬‬
‫‪G G‬‬
‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ إذا آﺎن ‪ ab '− a ' b = 0‬و ‪ bc '− b ' c = 0‬و ‪ ac '− a ' c = 0‬ﻓﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬
‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و ) ' ‪ v ( a '; b '; c‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫'‪a a‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪= 0‬‬
‫'‪b b‬‬
‫'‪a‬‬
‫‪G G‬‬
‫* ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪≠ 0‬‬
‫'‪b‬‬
‫'‪b b‬‬
‫اﻷﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬
‫'‪c c‬‬

‫'‪b b‬‬
‫و ‪=0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫أو ‪≠0‬‬
‫'‪c‬‬
‫‪b‬‬

‫'‪a a‬‬
‫و ‪=0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪a a‬‬
‫‪b‬‬
‫أو ‪≠ 0‬‬
‫'‪c c‬‬
‫‪c‬‬

‫'‪a a‬‬
‫'‪a a‬‬
‫‪G G‬‬
‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬
‫و‬
‫و‬
‫'‪c‬‬

‫‪c‬‬

‫'‪b b‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﺪدات اﻟﻤﺴﺘﺨﺮﺟﺔ ﺑﺎﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪'‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a a'‬‬
‫‪ a a '‬‬
‫'‪a a‬‬
‫'‪a a‬‬
‫'‪b b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= d3 ←  b b ' ‬‬
‫‪= d2 ←  b b ' ‬‬
‫‪= d1 ←  b b ' ‬‬
‫'‪b b‬‬
‫'‪c c‬‬
‫'‪c c‬‬
‫‪ c c '‬‬
‫‪ c c' ‬‬
‫‪ c c' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -3‬اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬
‫ﻧﺸﺎط‬
‫‪G G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( a; b; c‬و )' ‪ v ( a '; b '; c‬و )" ‪ w ( a "; b "; c‬ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ أﺳﺎس ‪i ; j ; k‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪ -1‬ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ u‬و ‪ v‬و ‪ w‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‪.‬‬
‫" ‪a = x ⋅ a '+ y ⋅ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ زوج ) ‪ ( x; y‬ﻣﻦ \ ﺣﻴﺚ " ‪b = x ⋅ b '+ y ⋅ b‬‬
‫‪‬‬
‫" ‪c = x ⋅ c '+ y ⋅ c‬‬

‫)‬

‫'' ‪b ' b‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫'' ‪a ' a‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪+c‬‬
‫ب‪ /‬ﺑﻴﻦ أن ‪= 0‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪c ' c‬‬
‫'' ‪b ' b‬‬

‫(‬

‫‪a‬‬

‫‪ -2‬أآﺘﺐ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺆال ‪ . 1‬ﻟﻨﻘﺒﻠﻬﺎ‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫هﻞ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت )‪ u (1; 2;3‬و )‪ v ( 2;0;1‬و )‪ w ( 3;1;3‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‪.‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬