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Maths

Suites numériques
Arithmétique

I/ Suites arithmétiques
1) Définition

5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20
est une suite arithmétique.

1er terme U1 = 5 et raison r = 3
Une suite arithmétique de 1er terme U1 et de raison r est une suite de nombre :
U1 ; U2 ; U3 ; U4... U20

ou Un-1 (U20 - 1 = U19)
telle que pour tout nombre entier n > 1
Un = Un - 1 + r
Exemple

U1 = 7
r=4
U2 = 7 + 4 = 11
U3 = 11 + 4 = 15
U3 = 15 + 4 = 19
...
U20 = U20 - 1 + 4
ou : (U20 = U19 + 4)

Exercice
Calculer les 5 premiers termes d’une suite arithmétique de
1er terme U1 = 10 et de raison r = 5



10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30
U1 ; U2 ; U3; U4 ; U5

2) Calcul du terme de rang « n »
U1 premier terme
r raison
U2 = U1 + r
U3 = U2 + r = U1 + 2 r
U4 = U3 + r = U1 + 3 r
U5 = U4 + r = U1 + 4 r
...
U20 = U19 + r = U1 + 19 r

Un = Un - 1 + r = U1 + (n - 1) r

Exercice

U1 = 8
r = 10
Calculer U25

Un = U1 + (n - 1) x r
U25 = U1 + 24 r
U25 = 8 + (10x24)
U25 = 8 + 240
U25 = 248

Exercice 57 page 61
Le tarif horaire, en euros, d’un parking souterrain correspond à une suite (Pn) telle que Pn = 0,90 + 0,60n, ou n est le
nombre d’heures de stationnement.

1. Calculer P1 le prix d’une heure de parking.
1
P = 0,90 + 0,60
P1 = 1,50 €

2. Calculer le prix à payer pour 2h.
P2 = 0,90 + 0,60 x 2
P2 = 0,90 + 1,20
P2 = 2,10 €

3. A quelle durée de stationnement correspond P4 ?
4
P = 0,90 + 0,60 x 4
P4 = 3,30 €

Maths

Suites numériques
Arithmétique
3) Calcul de la somme des n premiers termes


U1 ; U2 ; U3 ; ... Un suite

La somme des n premiers termes est :
Sn = U1 + U2 + ... + Un - 1 + Un
+ Sn = Un + Un - 1 + ... + U2 + U1
= Sn + Sn = U1 + Un + U2 + Un - 1 + ... + Un - 1 + U2 + Un + U1
²Sn = n (U1 + Un)
Sn = n (U1 + Un)
2
Exemple
S5 = 4 + 7 + 10 + 13 + 16
(les chiffres sont inversés en haut et en bas)
+ S5 = 16 + 13 + 10 + 7 + 4
= S5 + S5 = 4 + 16 + 7 + 13 + 10 + 10 + 13 + 7 + 16 + 4

=20
=20
=20
=20
=20
(les chiffres donnent tous le même résultat)
2 x S5 = 20 x 5 = 100
2 x S5 = 100 = 50
2

Maths

Suites numériques
Géométrique

II/ Suites géométriques
1) Définition

3 ; 12 ; 48 ; 192
est une suite géométrique.

1er terme U1 = 3 et raison q = 4
Une suite géométrique de 1er terme U1 et de raison q est une suite de nombre :
U1 ; U2 ; U3 ; U4... U20

ou Un-1 (U20 - 1 = U19)
telle que pour tout nombre entier n > 1
Un = Un - 1 x q
Exercice
Calculer les 4 premiers termes d’une suite géométrique tel que :
1) U1 = 5 et q = 2

5 ; 10 ; 20 ; 40
2) U1 = 7 et q = -10

7 ; - 70 ; 700 ; - 7000

2) Calcul du terme de rang « n »
U1 premier terme
raison q
U2 = U1 x q
U3 = U2 x q = U1 x q x q = U1 x q²
U4 = U3 x q = U1 x q² x q = U1 x q³
...

Un = Un - 1 x q = U1 x qn - 1
Un = U1 x qn - 1
Exercice

U1 = -3
q = -10
Calculer U2 ; U3 et U8
• U2 = - 3 x - 10
U2 = 30
• U3 = - 3 x - 102
U3 = - 300
• U8 = - 3 x - 107
U8 = 30 000 000

Exercice

U1 = 5
q = 2
Calculer U10

Un = U1 x qn - 1
U10 = U1 x 29
U10 = 5 x 512

U10 = 2560


Maths

Suites numériques
Géométrique
3) Calcul de la somme des n premiers termes
La somme des n premiers termes est :
Sn = U1 + U2 + ... + Un

Sn = U1 + 1 - qn

1-q
Exercice
U1 = 5 q = 2
Calculer S10
S10 = 5 x (1 - 210)

(1 - 2)
S10 = 5 x (1023)
S10 = 5115
Exercice 58 page 61
U1 = 8000 5%
1) Calculer les productions annuelles U2, U3, U4
• U2 = 8000 + 5 = 400

100
U2 = 8000 + 400

U2 = 8400
• U3 = 8400 + 5 = 420

100
U3 = 8400 + 420

U3 = 8420
• U4 = U3 + 5% de U3
U4 = 8820 x 5

100

U4 = 9261
3) Calculer la production annuelle de la 10eme année.
U10 = U1 x 1,059
U10 = 8000 x 1,55

U10 = 12411
4) Production totale des 10 premières années.
S10 = U1 x 1 - 910

1-9
S10 = 8000 x 1 - 1,0510

1 - 1,05

S10 = 100 623

2) Montrer que les termes U1, U2, U3, U4 forment une suite
géométrique.

U2 = 8400 = 1,05
U1 8000
U1, U2, U3, U4 est une suite
géométrique de

U3 = 8820 = 1,05
1er terme U1 = 8000
2
U 8400
et de raison r = 1,05

U4 = 9261 = 1,05
U3 8820

Maths

Fonction
Linéaire
1) Définition

La fonction linéaire est définie par : y = ax
Elle passe par l’origine, car : f(0) = a x 0 = 0
Les valeurs interdites sont les valeurs de x qui empêchent f(x) d’exister. Un ensemble de définition sont toutes les
valeurs de x pour lesquelles f(x) existe.

2) Exemples
x

-1

1

3

f(x)

-2
(2 x -1)

2
(2 x 1)

6
(2 x 3)

g(x)

1
(-1 x -1)

-1
(-1 x 1)

-3
(-1 x 3)

h(x)

1/2
(-1 : 2)

-1/2
(1 : 2)

-3/2
(3 : 2)

3

•

2

•
•
-2

f(x) = 2x
g(x) = -x
h(x) = -x
2

f(x)

1
-1

0
-1

•

•1
•

2

3

•

h(x)

-2

•

g(x)

Tableau de variation
x
f(x)
g(x)
h(x)

-∞

+∞

>

>
>

a>0
a<0
a<0

Maths

Fonction
Affine
1) Définition

La fonction affine est définie par : y = ax + b
Elle ne passe pas par l’origine.

2) Exemple
x

-1

0

1

3

f(x)

0

2

4

8

g(x)

2

1

0

-2

h(x)

3,5

3

2,5

2,5

f(x) = 2x + 2
g(x) = -x + 1
h(x) = 1 x + 3
2

•

8

f(x)

7
6
5

•
•

-4

-3

3

•

2

•

1

•

•-1

-2

•

4

0

•
•
•1

2

3

h(x)

4

-1
-2

•

g(x)

-3
Tableau de variation
x
f(x)
g(x)
h(x)

-∞

+∞

>

>
>

a>0
a<0
a<0

Maths

Fonction
Racine carrée
1) Définition

La fonction racine carrée √ est définie par : h(x) = √x
Les valeurs négatives sont impossible.
Son ensemble de définition est : [0 ; +∞]

2) Exemple
x

-2

-1

-0,5

√x

0

0,5

1

2

3

4

0

0,70

1

1,41

1,73

2

Tableau de variation
x
h(x)

0

+∞

>

a>0

Maths

Fonction
Cube
1) Définition

La fonction racine carrée √ est définie par : g(x) = x3
Son ensemble de définition est : ]-∞ ; +∞[

2) Exemple
x

-3

-2

-1

0,5

0

0,5

1

2

3

x

-27

-8

-1

-0,12

0

0,12

1

8

27

3

Tableau de variation
x
g(x)

-∞

+∞

>

a>0

Maths

Fonction
Inverse
1) Définition

La fonction inverse est définie par : f(x) = 1


x
Son ensemble de définition est : ]-∞ ; 0 [U] 0 ; +∞[
La fonction est strictement décroissante.
La valeur interdite est 0.

2) Exemple
x

-3

-2

-1

0,5

1
x

-0,33

-0,5

-1

-2

0

0,5

1

2

3

2

1

0,5

0,33

Tableau de variation
x

-∞

0

+∞

f(x)

>

>

Maths

Equation
du second degré
I/ Rappel (1er degré)

Exemple :
7x - 6 = 4x - 27

7x - 4x = 6 - 27

3x = -21
x = -21

3

x = -7

ax + b = 0
x = -b
a
Rassembler les x d’un côté et les chiffres de l’autre

II/ Second degré

ax² + bx + c = 0

Exemple : 2x² - 3x + 1 = 0
• Discriminant ∆

∆ = b² - 4ac

ici, 2x² - 3x + 1 = 0
∆ = (-3)² - 4 x 2 x 1
∆=9-8
∆=1
Si ∆ > 0 il y a 2 solutions.

x = -b ± √∆

2a

± addittionner et soustraire

Si ∆ < 0 Il n’y a pas de solution.
Si ∆ = 0 Il y a 1 solution.

x = -b

2a
Exemple :
On donne
x² - 3x - 10 = 0
ax² + bx + c = 0

___________________________________________________
a = 1 b = -3 c = -10

Equation de base
x² - 3x - 10 = 0

• Discriminant
∆ = b² - 4ac
∆ = (-3)² - 4 x 1 x (-10)
∆ = 9 + 40
∆ = 49
• Recherche de x
x = -(-3) ± √49
2x1
x = -b ± √∆
2a

• Vérification
Remplacer les x de l’équation de base par les 2
résultats trouvés, et trouver 0.

Par 5
5² - 3 x 5 - 10 = 0

Positif
x = 3 + 7 = 10 = 5
2x1
2
Négatif
x = 3 - 7 = -4 = -2
2x1 2

Par -2
-2² - 3 x (-2) - 10 = 0