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Sur les espaces hermitiens proposition de sujet n˚ 16
Pr´
eambule
Les parties III et IV sont ind´ependantes des parties I et II.
On consid`ere l’espace vectoriel complexe de dimension n, V = Cn . Si x = (x1 , ..., xn ) et
y = (y1 , ..., yn ) sont des vecteurs de V , on pose :
hx|yi =

n
X

xi y i

kxk = hx|xi

i=1

(yi d´esigne le nombre complexe conjugu´e de yi ).
On repr´esentera par <(z) la partie r´eelle d’un nombre complexe z, et par =(z) sa partie
imaginaire.
On notera L(V ) l’ensemble des applications lin´eaires (ou op´erateurs) de V dans luimˆeme, Mn (C) l’ensemble des matrices carr´ees complexes d’ordre n. On repr´esentera
par le mˆeme symbole un ´el´ement de L(V ) et la matrice qui lui est associ´ee dans la base
canonique de V .

Partie I : Endomorphismes d’un espace hermitien
1. Si un ´el´ement T de L(V ) est tel que hT u|ui = 0 pour tout ´el´ement u de V , montrer
que T = 0. (T u repr´esente l’image de u par T .)
2. Pour tout ´el´ement T de L(V ), montrer qu’il existe un op´erateur unique T ∗ ∈ L(V )
v´erifiant hT u|vi = hu|T ∗ vi quels que soient les vecteurs u et v de V .
3. T ∈ L(V ) est dit normal si T T ∗ = T ∗ T . Montrer que T est normal si et seulement
si kT uk = kT ∗ uk pour tout ´el´ement u de V .
4. Montrer que pour un op´erateur T , il y a ´equivalence entre les propri´et´es suivantes :
(a) T ∗ = T −1
(b) ∀u ∈ V, ∀v ∈ V, hT u|T vi = hu|vi
(c) ∀u ∈ V, kT uk = kuk.
Si T v´erifie l’une de ces propri´et´es, alors T est dit unitaire.
5. Soit A un ´el´ement de Mn C. Montrer que A est normal si et seulement si il existe
une matrice unitaire U et une matrice diagonale D telles que : A = U DU ∗ . (On
pourra v´erifier qu’une matrice triangulaire normale est diagonale.)
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Sur les espaces hermitiens

6. Si T est un op´erateur normal, montrer que T est hermitien si et seulement si ses
valeurs propres sont r´eelles, et que T est unitaire si et seulement si ses valeurs
propres ont un module ´egal a` l’unit´e.
7. Soit A et B deux ´el´ements normaux de Mn (C). Montrer que A et B commutent
si et seulement si il existe une matrice unitaire U telle que U ∗ AU et U ∗ BU soient
diagonales.

Partie II : In´
egalit´
es v´
erifi´
ees par les valeurs propres
1. Soit A = (aij ) un ´el´ement de Mn (C). Si {λi , 1 6 i 6 n} est l’ensemble des valeurs
propres de A, d´emontrer la relation :
X
X
|λi |2 6
|aij |2 , 1 6 i, j 6 n
i

i,j

(On pourra utiliser la somme des ´el´ements de la diagonale principale de AA∗ .)
Dans quel cas a-t-on l’´egalit´e ? Que peut-on en d´eduire pour une matrice unitaire ?
2. Soit H un op´erateur hermitien.
(a) Montrer que pour tout vecteur unitaire x de V (kxk = 1), hHx|xi est compris
entre deux valeurs propres de H.
(b) Inversement, si c est un nombre r´eel compris entre deux valeurs propres de
H, montrer qu’il existe un vecteur unitaire y de V tel que hHy|yi = c.
3. Si λ est une valeur propre d’un ´el´ement quelconque A de L(V ), montrer que <(λ),
=(λ), |λ|2 sont respectivement compris entre deux valeurs propres de :
A − A∗
,
2i

A + A∗
,
2

A∗ A

4. Montrer qu’un op´erateur H est hermitien et a toutes ses valeurs propres positives
ou nulles si et seulement si il existe un op´erateur T tel que H = T T ∗ .

Partie III : Localisation des valeurs propres
A = (aij )16i,j6n d´esigne un ´el´ement de Mn (C). On pose :
Li =

n
X

|aij |

Cj =

n
X

j=1

i=1

j6=i

i6=j

|aij |.

1. Si |aij > Li , quel que soit i, montrer que la matrice A est inversible.
2. On suppose A inversible, on pose :
A−1 = (αij )

d=

X

|αij |.

i,j

Montrer que si E = (eij ) est un ´el´ement de Mn (C) tel que |eij | <
le couple (i, j), la matrice A + E est inversible.
2

1
d

quel que soit

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3. Si les aij sont r´eels et si aii > Li quel que soit i, montrer que :
(a) Le d´eterminant de A est positif. (On pourra consid´erer les matrices B(t) =
(bij (t)) avec bij (t) = taij pour i 6= j et bii (t) = aii + (t − 1)Li .)
(b) Si λ est une valeur propre de A de module maximum, et <(λ) > 0, alors
mini Li < |λ| 6 maxi (Li + aii ).
4. Quel que soit i, on suppose aii 6= 0, on pose :
si =

Li
|aii |

Si on a s1 > ... > sn , 0 6= s1 s2 < 1, on pose :
r
s1
q=
s2
et on consid`ere la matrice B = (bij ) d´efinie par :
b11 = q 2 a11 ,
b1j = qa1j

pour j 6= 1,

bi1 = qai1

pour i 6= 1,

bij = aij

pour i 6= 1, j 6= 1

Montrer que B est inversible. Que peut-on en d´eduire pour A ?
5. Montrer que les valeurs propres d’une matrice quelconque A = (aij ) sont contenues
dans la r´eunion des domaines du plan complexe d´etermin´es par :
|aii − z||ajj − z| 6 Li Lj .
Si la matrice A est telle que aii soit r´eel positif, et que aii ajj > Li Lj , quels que
soient i et j, i 6= j, montrer que les valeurs propres de A ont des parties r´eelles
strictement positives. Montrer que si de plus tous les aij sont r´eels, le d´eterminant
de A est positif.

Partie IV : G´
en´
eralisation de la partie III
On conserve les notations de la partie III, on suppose connue l’in´eglit´e de H¨older :


n
X



ak b k 6



k=1

n
X

! p1
|ap |p

n
X

! 1q
|bk |q

,

k=1

k=1

o`
u ak , bk sont des nombres complexes, p, q des nombres r´eels strictement positifs tels
que :
1 1
+ =1
p q

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1. Soit A = (aij ) un ´el´ement de Mn (C), montrer que s’il existe un nombre n compris
entre 0 et 1 tel que |aii | > Lαi Ci1−α quel que soit i, la matrice A est inversible.
(On pourra consid´erer un vecteur x = (x1 , ..., xn ) tel que Ax = 0 et montrer :
X
Lαi Ci1−α |xi | 6
|aij |α (|aij |1−α |xj |).)
j=1

j6=i

2. A ´etant quelconque, on pose :
L = max(|aii | + Li ),
i

C = max(|aii | + Ci ),
i

S = max(2|aii | + Li + Ci ).
i

Si λ est une valeur propre de A, montrer que :
|λ| 6

√
LC,

1
|λ| 6 S.
2

3. Montrer que quel que soit le nombre r´eel α compris entre 0 et 1, les valeurs propres
de A = (aij ) sont contenues dans la r´eunions des domaines du plan complexe
d´etermin´es par :
|aii − z||ajj − z| 6 Lαi Ci1−α .Lαj Cj1−α .

FIN

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