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Devoir 5 s .pdf



Nom original: Devoir 5 s.pdf
Titre: Microsoft Word - D05sol H05 .doc
Auteur: Marcel

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par PScript5.dll Version 5.2.2 / Acrobat Distiller 7.0.5 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 05/04/2012 à 22:29, depuis l'adresse IP 196.217.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1491 fois.
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NOM : …….………………………………………………………..
À compléter avant :

………………………………………………………………………….

Poutre 5A
Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que
les positions d’inflexion.
F2 = 5,00 kN

F1 = 2,50 kN

F3 = 1,00 kN

RG

RD

x
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1° Calcul des réactions aux appuis:

ΣM(x=1) = –2,5×(1 – 0) + 5×(6 – 1) – RD×(8 – 1) – 1×(10 – 1) = 0
⇒ RD = ( –2,5 + 25 + 9) ÷ 7 = 4,5 kN
⇒ RD = 4,5 kN
ΣM(x=8) = –2,5×(8 – 0) + RG×(8 – 1) – 5×(8 – 6) + 1×(10 – 8) = 0
⇒ RG = ( 20 + 10 – 2) ÷ 7
⇒ RG = 4,0 kN
Vérification :
ΣFy = – 2,5 + 4 – 5 + 4,5 – 1 = 0 ⇒ Ok!

(m)

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.2

Poutre 5A (suite)
F1 = 2,50 kN

F2 = 5,00 kN

F3 = 1,00 kN

RG

RD

x
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(m)

10

Équations de V(x)
Région

F1

RG

F2

RD

F3

0 <x< 1

V(x) =

– 2,5

0

0

0

0

1 <x<6

V(x) =

– 2,5

+4

0

0

0

6<x< 8

V(x) =

– 2,5

+4

–5

0

0

8 < x < 10

V(x) =

– 2,5

+4

–5

+ 4,5

0

10 < x

V(x) =

– 2,5

+4

–5

+ 4,5

–1

Calcul de V(x)
x (m)

F1

RG

F2

RD

F3

(en kN)

0-

V(x) =

– 2,5

0

0

0

0

= 0

0+

V(x) =

– 2,5

0

0

0

0

= – 2,5

1-

V(x) =

– 2,5

0

0

0

0

= – 2,5

1+

V(x) =

– 2,5

+4

0

0

0

= + 1,5

6-

V(x) =

– 2,5

+4

0

0

0

= + 1,5

6+

V(x) =

– 2,5

+4

–5

0

0

= – 3,5

8-

V(x) =

– 2,5

+4

–5

0

0

= – 3,5

8+

V(x) =

– 2,5

+4

–5

+ 4,5

0

= +1

10-

V(x) =

– 2,5

+4

–5

+ 4,5

0

= +1

10+

V(x) =

– 2,5

+4

–5

+ 4,5

–1

=

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.3

Poutre 5A (suite)
F2 = 5,00 kN

F1 = 2,50 kN

F3 = 1,00 kN

RG = 4 kN

RD = 4,5 kN

x
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(m)

10

Équations de M(x)
Région

F1

RG

F2

RD

F3

0≤x≤1

M(x) =

– 2,5x

0

0

0

0

1≤ x ≤ 6

M(x) =

– 2,5x

+ 4(x–1)

0

0

0

6≤x≤8

M(x) =

– 2,5x

+ 4(x–1)

– 5(x–6)

0

0

8 ≤ x ≤ 10

M(x) =

– 2,5x

+ 4(x–1)

– 5(x–6)

+ 4,5(x–8)

0

10 ≤ x

M(x) =

– 2,5x

+ 4(x–1)

– 5(x–6)

+ 4,5(x–8)

– 1(x–10)

Calcul de M(x)
x
(m)

F1

RG

F2

RD

F3

(en kN.m)

0

M(x) =

0

0

0

0

0

=

1

M(x) =

– 2,5

0

0

0

0

= – 2,5

6

M(x) =

– 15

+ 20

0

0

0

= +5

8

M(x) =

– 20

+ 28

– 10

0

0

= –2

10

M(x) =

– 25

+ 36

– 20

+9

0

=

0

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.4

Poutre 5A (suite)
F2 = 5,00 kN

F1 = 2,50 kN

F3 = 1,00 kN

RG = 4 kN

RD = 4,5 kN

x
0

1

2

3

V (kN)

4

5

6

7

8

9

10

(m)

Diagramme de l’effort tranchant

2

+1,5 kN

1

+1 kN

x (m)

0
-1
-2
-3
–3,5 kN

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Diagramme du moment fléchissant
–2,5 kN-m

-2

–2 kN-m

-1

x (m)

0

Position du début et de la fin de
chaque droite (Dr) ou parabole
(Par) pour M(x):

1
2

0 à …….
1 : …..
Dr
de …….
3

1 à …….
6 : …..
Dr
de …….
6 à …….
8 : …..
Dr
de …….
8 à …….
10 : …..
Dr
de …….

4
+5 kN-m

5
0

1

M (kN-m)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

Poutre 5A (suite)

Calcul précis de Mmax
Le moment fléchissant atteint sa valeur maximale pour une des valeurs de x où V(x) = 0.
Mmax est donc la valeur de M(x) soit pour x = 0,1, 6, 8 ou 10 m.
On a déjà calculé M(x) pour ces valeurs de x dans le tableau précédent.
M(x = 0 ) = 0
M(x = 1 ) = –2,5 kN.m
M(x = 6 ) = +5 kN.m
M(x = 1 ) = –2 kN.m
M(x = 10 ) = 0
⇒ Mmax = 5 kN.m à x = 6 m.
Calcul précis des positions d’inflexion

Région 1 < x < 6 :

M(x) = – 2,5x + 4(x – 1)

⇒ – 2,5I1 + 4(I1 – 1) = 0
⇒ – 2,5I1 + 4I1 – 4
⇒ 1,5I1 = 4
Région 6 < x < 8 :



= 0
I1 = 2,6666… m

M(x) = – 2,5x + 4(x – 1) – 5(x – 6)

⇒ – 2,5I2 + 4(I2 – 1) – 5(I2 – 6) = 0
⇒ – 2,5I2 + 4I2 – 4 – 5I2 + 30 = 0
⇒ – 3,5I2 = –26 ⇒

I2 = 7,4286 m

Réponses poutre 5A : Mmax = 5,0000 kN à X = 6,000 m; I1 = 2,6667 m et I2 = 7,4286 m.

5.5

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.6

Poutre 5B
Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que
les positions d’inflexion.
F1 = 200 N

F2 = 500 N

w = 1 000 N/m

M
0

x

R

(m)

1,0

0,5

Équations de V(x)
Région

F1

F2

w

R

0 < x < 0,3

V(x) =

– 200

0

0

0

0,3 < x < 0,5

V(x) =

– 200

– 500

0

0

0,5 < x < 1

V(x) =

– 200

– 500

–1000(x –0,5)

V(x) =

– 200

– 500

– 500

+ 1200

1

<x

0

=0

Calcul de V(x)
x (m)

F1

F2

w

R

0–

V(x) =

0

0

0

0

=

0+

V(x) =

– 200

0

0

0

= – 200

0,3–

V(x) =

– 200

0

0

0

= – 200

0,3+

V(x) =

– 200

– 500

0

0

= – 700

0,5

V(x) =

– 200

– 500

0

0

= – 700

1–

V(x) =

– 200

– 500

– 500

0

= – 1 200

x>1

V(x) =

– 200

– 500

– 500

+ 1200

=

0

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.7

Poutre 5B (suite)
F1 = 200 N

F2 = 500 N

w = 1 000 N/m

M
0

x

R

(m)

1,0

0,5

Équations donnant M(x)
Région

F1

F2

w

R

M

0 ≤ x ≤ 0,3

M(x) =

– 200x

0

0

0

0

0,3≤ x ≤ 0,5

M(x) =

– 200x

–500(x–0,3)

0

0

0

0,5 ≤ x ≤ 1

M(x) =

– 200x

–500(x–0,3)

–500(x–0,5)2

0

M(x) =

– 200x

–500(x–0,3)

–500(x–0,75)

+1200(x–1)

1≤x

F1

F2

+675

w

(en N-m)
R

M

Calcul de M(x)
x (m)

0

=0

0

M(x) =

0

0

0

0

0

= 0

0,3

M(x) =

–60

0

0

0

0

= –60

0,5

M(x) =

–100

–100

0

0

0

= –200

0,6

M(x) =

–120

–150

–5

0

0

= –275

0,7

M(x) =

–140

–200

–20

0

0

= –360

0,8

M(x) =

–160

–250

–45

0

0

= –455

0,9

M(x) =

–180

–300

–80

0

0

= –560

1-

M(x) =

–200

–350

–125

0

0

= –675

1+

M(x) =

–200

–350

–125

0

+675

= 0

M(x) =

–200x

–500(x–0,3)

–500(x–0,75)

+1200(x–1)

+675

= 0

+

>1

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.8

Poutre 5B (suite)
F1 = 200 N

F2 = 500 N

w = 1 000 N/m

M
0

V (N)

0

0,5

R

1,0

Diagramme de l’effort tranchant

x
(m)

x (m)

-200
–200 N

-400
-600
–700 N

-800
-1 000
-1 200

–1200 N

-1 400
0

0,5

1,0

Diagramme du moment fléchissant

x (m)

-700
-600

Position du début et de la fin de
chaque droite (Dr) ou parabole
(Par) pour M(x):

-500
-400

0 à …….
0,3 : …..
Dr
de …….

-300

0,3 à …….
0,5 : …..
Dr
de …….

–200 N-m

0,5 à …….
1 : …..
Par
de …….

-200
–60 N-m

-100

x (m)

0
0

0,5

1,0

M (N-m)
Valeur maximale (en valeur absolue) de l’effort tranchant
= Vmax = ⎥ - 1 200 N⎥
Valeur maximale (en valeur absolue) du moment fléchissant = Mmax =⎥ - 675 N.m⎥

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.9

Poutre 5C
Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que
les positions d’inflexion.
F2 = 5,00 kN

Fw = 6 kN

F1 = 4,00 kN

w = 1,00 kN/m

RG

RD

x
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1° Calcul des réactions aux appuis:

ΣM(x=1) = –4×(1 – 0) + 5×(5 – 1) + 6×(7 – 1) – RD×(9 – 1) = 0
⇒ RD = ( –4 + 20 + 36) ÷ 8
⇒ RD = 6,5 kN
ΣM(x=9) = –4×(9 – 0) + RG×(9 – 1) – 5×(9 – 5) – 6×(9 – 7) = 0
⇒ RG = ( 36 + 20 – 12) ÷ 8
⇒ RG = 8,5 kN
Vérification :
ΣFy = – 4 + 8,5 – 5 – 6 + 6,5 = 0 ⇒ Ok!

(m)

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.10

F2 = 5,00 kN

Poutre 5C (suite)

Fw = 6 kN

F1 = 4,00 kN

w = 1,00 kN/m

RG =8,500 kN

RD = 6,500 kN

x
0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

(m)

10

Équations de V(x)
Région

F1

RG

w

F2

RD

0 <x<1

V(x) =

–4

0

0

0

0

1<x< 4

V(x) =

–4

+ 8,5

0

0

0

4 <x< 5

V(x) =

–4

+ 8,5

– 1(x-4)

0

0

5<x< 9

V(x) =

–4

+ 8,5

– 1(x–4)

0

0

9 < x < 10

V(x) =

–4

+ 8,5,

– 1(x-4)

–5

+ 6,5

10 < x

V(x) =

–4

+ 8,5

–6

–5

+ 6,5

Calcul de V(x)
x (m)

F1

RG

w

F2

RD

(en kN)

0-

V(x) =

0

0

0

0

0

=

0+

V(x) =

–4

0

0

0

0

= –4

1-

V(x) =

–4

0

0

0

0

= –4

1+

V(x) =

–4

+ 8,5

0

0

0

= + 4,5

4

V(x) =

–4

+ 8,5

0

0

0

= + 4,5

5-

V(x) =

–4

+ 8,5

0

0

0

= + 3,5

5+

V(x) =

–4

+ 8,5

–1

–5

0

= – 1,5

9–

V(x) =

–4

+ 8,5

–1

–5

0

= – 5,5

9+

V(x) =

–4

+ 8,5

–5

–5

+ 6,5

= +1

10

V(x) =

–4

+ 8,5

–6

–5

+ 6,5

=

0

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

Poutre 5C (suite)

5.11

F2 = 5,00 kN

F1 = 4,00 kN

Fw = 6,00 kN
w = 1,00 kN/m

RG =8,500 kN

RD = 6,5 kN

x
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(m)

10

Équations de M(x)
Région

F1

RG

w

F2

RD

0≤x≤1

M(x) =

– 4x

0

0

0

0

1≤x≤4

M(x) =

– 4x

+ 8,5(x –1)

0

0

0

4≤x≤5

M(x) =

– 4x

+ 8,5(x –1)

– 0,5(x – 4)2

0

0

5≤x≤9

M(x) =

– 4x

+ 8,5(x –1)

– 0,5(x – 4)2

– 5(x – 5)

0

9 ≤ x ≤ 10

M(x) =

– 4x

+ 8,5(x –1)

– 0,5(x – 4)2

– 5(x – 5)

+ 6,5(x – 9)

10 ≤ x

M(x) =

– 4x

+ 8,5(x –1)

– 6(x – 7)

– 5(x – 5)

+ 6,5(x – 9)

Calcul de M(x)
x
(m)

F1

RG

w

F2

RD

(en kN.m)

0

M(x) =

0

0

0

0

0

=

1

M(x) =

–4

0

0

0

0

=

–4

4

M(x) =

– 16

+ 25,5

0

0

0

=

9,5

4,5

M(x) =

– 18

+ 29,75

– 0,125

0

0

= 11,625

5

M(x) =

– 20

+ 34

– 0,5

0

0

= 13,5

6

M(x) =

– 24

+ 42,5

–2

–5

0

= 11,5

7

M(x) =

– 28

+ 51

– 4,5

– 10

0

= 8,5

8

M(x) =

– 32

+ 59,5

–8

– 15

0

=

9

M(x) =

– 36

+ 68

–12,5

– 20

0

= -0,5

9,5

M(x) =

–38

+ 72,25

–15,125

–22,5

+3,25

= – 0,125

10

M(x) =

– 40

+ 76,5

– 18

– 25

+ 6,5

=

0

4,5

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.12

Poutre 5C (suite)
F2 = 5,00 kN

F1 = 4,00 kN

w = 1,00 kN/m

RG =8,500 kN

RD = 6,5 kN

x
0

1

2

V (kN)

3

4

5

7

6

8

9

10

(m)

Diagramme de l’effort tranchant

6
+4,5

4

+3,5

2
+1

x

0

(m)

–1,5

-2
-4

–4
–5,5

-6
0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

Diagramme du moment fléchissant

-4

–4

-2

–0,5

–0,125

0

x
(m)

2

Position du début et de la fin de
chaque droite (Dr) ou parabole
(Par) pour M(x):

4
+4,5

6

0 à …….
1 : …..
Dr
de …….

8
10

+9,5

12

+11,625

14

+8,5

+11,5

+13,5

0

1

M (kN-m)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 à …….
4 :
de …….
4 à …….
5 :
de …….

Dr
…..
Par
…..

5 à …….
9 :
de …….
9 à …….
10 :
de …….

Par
…..
Par
…..

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.13

Poutre 5C (suite)

Calcul précis de Mmax

Il faut calculer M(x) pour les positions où V(x) = 0, car c’est pour une de ces
positions que M(x) atteindra sa valeur maximale (en valeur absolue)

V = 0 pour x = 0; 1; 5 ; 9 et 10
x
M(x)

0
0

1
–4

5
+ 13,5

9
+ 0,5

10
0

⇒ Mmax = 13,5 kN.m à x = 5 m
Calcul précis des positions d’inflexion

Région 1 < x < 4 :

M(x) = – 4x + 8,5(x – 1)

⇒ – 4I1 + 8,5I1 – 8,5 = 0
⇒ 4,5I1 = 8,5
Région 5 < x < 9 :



I1 = 1,8888… m

M(x) = – 4x + 8,5(x – 1) – 0,5(x – 4)2 – 5(x – 5)

⇒ – 4I2 + 8,5(I2 – 1) – 0,5(I22 – 8I2 + 16) – 5(I2 – 5) = 0
⇒ – 4I2 + 8,5I2 – 8,5 – 0,5I22 + 4I2 – 8 – 5I2 + 25 = 0
⇒ – 0,5I22 + ( – 4 + 8,5 + 4 –5)I2 – 8,5 – 8 + 25 = 0
⇒ – 0,5I22 + 3,5I2 + 8,5

=0

− 3,5 ± 3,5 2 − 4(−0,5)8,5
= 3,5 ± 5,40833
⇒ I2 =
2 × (−0,5)

⇒ I2 = 8,90833 m

(I2 = –1,90833 m doit être rejeté car région 5 < x < 9 )

Réponses poutre 5C : Mmax = 13,50 kN.m à X = 5,000 m; I1 = 1,888 m et I2 = 8,9083 m.

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.14

Poutre 5D

Pour la poutre suivante, tracer V(x) et M(x) et calculer le moment fléchissant maximum ainsi que
les positions d’inflexion.
(Fw1 = 6 kN/m)
w1 = 1,00 kN/m

(Fw2 = 8 kN/m)

w2 = 2,00 kN/m

RG
0

RD
1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

10

(m)

1° Calcul des réactions aux appuis:

ΣM(x=1) = 6×(3 – 0) + 8×(8 – 0) – RD×(8 – 0) = 0
⇒ RD = ( 18 + 64 ) ÷ 8

⇒ RD = 10,25 kN

ΣM(x=8) = RG×(8 – 0) – 6×(8 – 3) + 8×(8 – 8) + RD×(8 – 8) = 0
⇒ RG = ( 30 ) ÷ 8

⇒ RG = 3,75 kN

Vérification :
ΣFy = 3,75 – 6 – 8 + 10,25 = 0

⇒ Ok!

Équations de V(x)
Région

0 <x<6

V(x) =

6 <x<8

V(x) =

8 < x < 10

V(x) =

RG

w1

w2

RD

3,75
3,75
3,75

–1(x – 0)
–6
–6

0
– 2(x – 6)
– 2(x – 6)

0
0
+ 10,25

Calcul de V(x)
x (m)

RG

w1

w2

RD

(en kN)

0-

V(x) =

0

0

0

0

=

0+

V(x) =

3,75

0

0

0

= + 3,75

6

V(x) =

3,75

–6

0

0

= – 2,25

8-

V(x) =

3,75

–6

–4

0

= – 6,25

8+

V(x) =

3,75

–6

–4

+ 10,25

= +4

10

V(x) =

3,75

–6

–8

+ 10,25

=

0

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.15

Poutre 5D (suite)

w2 = 2,00 kN/m
w1 = 1,00 kN/m

RG = 3,75 kN

RD = 10,25 kN

x
0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

(m)

10

Équations de M(x)
Région

RG

w1

w2

RD

0≤x≤ 6

M(x) =

+3,75(x – 0)

– 0,5(x – 0)2

0

0

6≤x≤8

M(x) =

+ 3,75x

– 6(x – 3)

– 1(x – 6)2

0

8≤ x ≤ 10

M(x) =

+ 3,75x

– 6(x – 3)

– 1(x – 6)2

+10,25(x – 8)

Calcul de M(x)
x
(m)

RG

w1

w2

RD

(en kN.m)

0

M(x) =

0

0

0

0

=0

1

M(x) =

+ 3,75

– 0,5

0

0

= 3,25

2

M(x) =

+ 7,5

–2

0

0

= 5,5

3

M(x) =

+ 11,25

– 4,5

0

0

= 6,75

4

M(x) =

+ 15

–8

0

0

=7

6

M(x) =

+ 22,5

– 18

0

0

= 4,5

7

M(x) =

+ 26,25

– 24

–1

0

= 1,25

8

M(x) =

+ 30

– 30

–4

0

=–4

9

M(x) =

+ 33,75

– 36

–9

+ 10,25

=–1

10

M(x) =

+ 37,5

– 42

– 16

+ 20,5

=0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.16

w2 = 2,00 kN/m

Poutre 5D (suite)

w1 = 1,00 kN/m

RG = 3,75 kN

RD = 10,25 kN

x
0
4

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

(m)

Diagramme de l’effort tranchant

V (kN)

+4

+3,75

2

x

0

(m)
–2
–2,25

–4
–6

–6,25

–8
0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

Diagramme du moment fléchissant

–4

–4

–3
–2
–1

–1

x

0

(m)

1
+1,25

2

Position du début et de la fin de
chaque droite (Dr) ou parabole
(Par) pour M(x):

3

0 à …….
6 : …..
Par
de …….

4

6 à …….
8 : …..
Par
de …….

5

+4,5

+5,5

8 à …….
10 : …..
Par
de …….

6
+6,75

7
0

1

M (kN-m)

2

+7

3

4

5

6

7

8

9

10

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

5.17

Poutre 5D (suite)

Calcul précis de Mmax

Il faut calculer M(x) pour les positions où V(x) = 0, car c’est pour une de ces
positions que M(x) atteindra sa valeur maximale (en valeur absolue)
V(x) = 0 dans la région 0 < x < 6 , ainsi que pour x = 8.
Région 0 < x < 6

:

V(x) = 3,75 – x

⇒ V(x) = 0 lorsque 3,75 – x = 0 ⇒ x = 3,75
⇒ M(x=3,75) = 3,75× 3,75 – (1× 3,752 / 2) = 7,03125
Pour x = 8

M(x=8) = – 4 (voir tableau)

⇒ Mmax = 7,03125 kN.m à x = 3,75 m
Calcul précis des positions d’inflexion

Région 6 < x < 8 :

M(x) = + 3,75x – 6(x – 3) – 1(x – 6)2

⇒ + 3,75I1 – 6(I1 – 3) – (I1 – 6)2 = 0
⇒ + 3,75I1 – 6(I1 – 3) – (I12 – 12I1 + 36) = 0
⇒ + 3,75I1 – 6I1 + 18 – I12 + 12I1 – 36 = 0
⇒ – I12 + (3,75 – 6 + 12)I1 + 18 – 36 = 0
⇒ – I12 + 9,75I1 – 18 = 0
⇒ I1 =

− 9,75 ± 9,75 2 − 4(−1)(−18)
= 4,875 ± 2,40117
2 × (−1)

⇒ I1 = 7,27617 m
⇒ (I1 = 2,47383 m doit être rejeté car on est dans la région 6 < x < 8 )

Réponses poutre 5D : Mmax = 7,031 kN.m à X = 3,75 m; I1 = 7,2762 m

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

Poutre 5E

(Fw = 1,6 kN)
F1 = 1,0 kN

D5.18

F2 = 2,0 kN

w = 0,800 kN/m

M
x
(m)
0

0,5

1,0

1,5

2,0

Équations de V(x)
Région

F1

w

F2

R

0 < x < 1,4

V(x) =

–1

– 0,8x

0

0

1,4 < x <2 –

V(x) =

–1

– 0,8x

–2

0

2+ < x

V(x) =

–1

– 1,6

–2

+ 4,6

Calcul de V(x)
x (m)

F1

w

F2

R

kN

0–

V(x) =

0

0

0

0

=0

0+

V(x) =

–1

0

0

0

= –1

1,4–

V(x) =

–1

– 1,12

0

0

= – 2,12

1,4+

V(x) =

–1

– 1,12

–2

0

= – 4,12

2–

V(x) =

–1

– 1,6

–2

0

= – 4,6

V(x) =

–1

– 1,6

–2

+ 4,6

+

x>2

=

0

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

Poutre 5E (suite)

F1 = 1,0 kN

5.19

F2 = 2,0 kN

w = 0,800 KN/m

M
x
(m)
0

0,5

1,0

1,5

2,0

Équations donnant M(x)
Région

F1

w

F2

R

M

0 ≤ x ≤ 1,4

M(x) =

–x

– 0,4(x – 0)2

0

0

0

1,4 ≤x <2–

M(x) =

–x

– 0,4(x – 0)2

– 2(x – 1,4)

0

0

M(x) =

–x

– 1,6 (x – 1)

– 2(x – 1,4)

+ 4,6(x – 2)

+M

2+ < x
x (m)

F1

w

Calcul de M(x)
F2

R

M

kN-m

0

M(x) =

0

0

0

0

0

= 0

0,2

M(x) =

– 0,2

– 0,016

0

0

0

= – 0,216

0,5

M(x) =

– 0,5

– 0,1

0

0

0

= – 0,6

1,0

M(x) =

– 1,0

– 0,4

0

0

0

= – 1,4

1,4

M(x) =

– 1,4

– 0,784

0

0

0

= – 2,184

1,6

M(x) =

– 1,6

– 1,024

– 0,4

0

0

= – 3,024

1,8

M(x) =

– 1,8

– 1,296

– 0,8

0

0

= – 3,896

2-

M(x) =

–2

– 1,6

– 1,2

0

0

= – 4,8

2+

M(x) =

–2

– 1,6

– 1,2

0

+ 4,8

= 0

M(x) =

–x

– 1,6 (x – 1)

– 2(x – 1,4)

+ 4,6(x – 2)

+ 4,8

= 0

+

>2

M(x) =

=

Ch. 5 EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLÉCHISSANT DANS LES POUTRES

D5.20

Poutre 5E (suite)
F1 = 1,0 kN

F2 = 2,0 kN

W = 0,800 kN/m

M
x
(m)
0

0,5

V (N)

1,0

1,5

2,0

Diagramme de l’effort tranchant

0

x (m)

–1
–2

–1
–2,12

–3
–4

–4,12
–4,6

–5
–6

0

0,5

1,0

1,5

Diagramme du moment fléchissant

2,0

0
–1

–0, 216 –0, 6
–1, 4

–2
–2,184

–3

Position du début et de la fin de
chaque droite (Dr) ou parabole
(Par) pour M(x):

–3,024

–4

0
1,4
de ……. à ……. :
1,4
2–
de ……. à ……. :

–3,896

–5

–4,8

–6

0

x (m)
0,5

1,0

1,5

2,0

M (kN-m)

Valeur maximale (en valeur absolue) de l’effort tranchant
= Vmax = 4,6 kN à x = 2,0 m
Valeur maximale (en valeur absolue) du moment fléchissant = Mmax = 4,8 kN.m à x = 2,0 m

Par
…..
Par
…..


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