Correction Rattrapage Master1 S1 2011 2012 .pdf

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Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques

Théorie des Opérateurs Linéaires I
Master1 AF - AH - MCO

Correction du Rattrapage

Date: 01 Avril 2012

2011-2012
Time:
( reading time)

Exercice 1
1. Soient f; g 2 L2 (X) ; alors d’aprés l’inégalité de Hôlder et la dé…nition
de L2 (X) ;
Z
Z
1=2 Z
1=2
2
2
jf gj d
jf j d
jgj d
< 1;
X
X
X
R
donc f g 2 L1 (X) et la formule (f; g) = X f gd est bien dé…nie.
2. Montrons maintenant que la formule précédente dé…nit un produit scalaire sur L2 (X)
en véri…ant que toutes les propriétés de ce dernier sont réalisées. En e¤et,
R
a) (f; f ) = X jf j2 d
0;
R
2
b) (f; f ) = 0 , X jf j d = 0 , f = 0 p:p:;
R
R
R
c) ( f + g; h) = X ( f + g) hd =
f
hd
+
ghd = (f; h) + (g; h) ;
X
X
R
R
d) (f; g) = X f gd = X gf d = (g; h):

Exercice 2

1. Comme fcn g 2 l1 et fxn g 2 l1 ; nous avons

kfcn gk1 = sup fjcn j : n 2 Ng < 1
et

1
X
n=1

Donc, comme pour tout n 2 N

jcn xn jp

alors d’aprés le critère de comparaison
lp et l’inégalité
1
X
jcn xn j
n=1

se déduit de (1).

jxn jp < 1:
kfcn gkp1 jxn jp ;

P1

n=1

(1)

jcn xn jp converge. Par conséquent fcn xn g 2

kfcn gkp1

1
X
n=1

jxn jp

— 2—

2. Dans ce cas, fcn xn g 2 l1 alors d’aprés la question 1., il s’en suit que T est bien dé…ni.
De plus
jT (fxn g)j =

1
X

cn xn

n=1

1
X
n=1

jcn xn j

donc T est borné et sa norme kT k

kfcn gk1

1
X
n=1

jxn j = kfcn gk1 kfxn gk1 :

kfcn gk1 .

3. Dans ce cas, fcn xn g 2 l2 alors d’aprés la question 1., il s’en suit que T est bien dé…ni.
De plus
kT (fxn g)k22 =

1
X

jcn xn j2

kfcn gk21

donc T est borné et sa norme kT k

kfcn gk1 .

n=1

1
X
n=1

jxn j2 = kfcn gk21 kfxn gk22 :



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