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ENTPE 95

épreuve commune

MINISTERE DE L'EQUIPEMENT,

CONCOURS COMMUN 1995
ENTPE,ENSG,ENTM,ENSTIMD

DES TRANSPORTS ET DU TOURISME

COMPOSITION DE PHYSIQUE COMMUNE
Temps accordé : 4 heures

L'épreuve comporte deux problèmes indépendants
(6 pages)

PREMIER PROBLÈME
PREMIÈRE PARTIE
Soit un miroir convexe, de sommet S, de centre C, utilisé dans l'approximation de Gauss, de rayon R = SC
(figure 1)

A

S

A'

C

x

Figure 1

I- 1 a) Expliquer ce qu'est l'approximation de Gauss.
b) Quelle(s) différence(s) faites vous entre Principe de Fermat et Stigmatisme ?
c) Rappeler les formules de conjugaison du miroir avec origine au sommet reliant la position d'un point
objet A de l'axe Sx à son image A'. On posera x = SA et x' = SA ' . Placer les foyers,.Calculer la vergence;
en quelle unité exprime-t-on la vergence ?
d) Soit un objet à l'infini, centré sur l'axe du miroir, vu sous un angle α ; déterminer son image à travers
le miroir ; position, taille, nature de l'image ; la construire.
Application numérique : on donne α = 2 secondes d'arc et R = R2 = 4,465 m. Déterminer la taille de
l'image.

I- 2 On associe 2 miroirs : M1, concave, de sommet S1, de rayon R1 et M2 convexe de sommet S2, de rayon R2 ;
On donne R1 = 19,972 m, S2 S1 = 8,184 m. L'ensemble constitue l'objectif d'un télescope (Pic du Midi),
monté en "Cassegrain" (figure 2)

S2

S

x

1

M2
Figure 2
M

1

a) Soit un objet lumineux, ponctuel, à l'infini sur l'axe ; déterminer son image après réflexion des rayons
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J.6748

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lumineux sur M1 puis sur M2.
b) Soit un objet lumineux, étendu, à l'infini, de diamètre apparent α. Déterminer son image comme
en 1 d.
Application numérique : α = 2 secondes d'arc.
c) En admettant que le système des 2 miroirs est équivalent à une lentille mince, déterminer la position du
centre de cette lentille et sa distance focale image ; on pourra utiliser une construction géométrique
simple.

NB : Dans la suite on supposera que cet objectif est assimilable à une lentille mince convergente de 50 m de
distance focale f.

DEUXIÈME PARTIE : TROUS D'YOUNG
On place devant l'objectif du télescope (figure 3) un écran percé de 2 trous identiques, distants de a et
symétriques par rapport à l'axe du télescope ; on observe une étoile quasi ponctuelle émettant une radiation
quasi monochromatique de longueur d'onde 550 nm, et vue dans la direction faisant l'angle α (négatif) avec
l'axe.
Plan focal
y
+

T1
α

a
x

F
T2
M2
M1

Figure 3

II- 3 a) Décrire le phénomène observé dans le plan focal de l'objectif. Quelle couleur correspond à cette
longueur d'onde ? Quelle est la particularité pour l'oeil humain de cette longueur d'onde ?
b) En ne tenant pas compte de l'image de diffraction, calculer la répartition de l'intensité lumineuse
dans le plan focal.
c) Définir et calculer l'interfrange.

II- 4 Que devient cette intensité si on tient compte de la diffraction ?
II- 5 On observe en fait une étoile double dont les deux composantes, émettent chacune une vibration de
même intensité à 550nm ; on pointe le télescope sur l'une des composantes ; le diamètre apparent
de l'ensemble est α.

a) Calculer la nouvelle répartition d'intensité, en négligeant l'image de diffraction.
b) Imax et Imin étant respectivement les valeurs maximales et minimales de l'intensité, déterminer la
visibilité définie par : V =

I max − I min
I max + I min

II- 6 a) La distance a des trous étant variable, on constate que l'éclairement devient uniforme pour une valeur

minimale de a = a0 En déduire la valeur de α
b) Déterminer a0 pour pouvoir observer α = 2 secondes d'arc.
c) Quelle devrait être la valeur de a0 pour pouvoir évaluer le diamètre apparent d'une étoile double valant
8 10-3 secondes d'arc ?

DEUXIÈME PROBLÈME
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Ce problème traite de différentes applications de la conduction de la chaleur à partir de la loi de Fourier. On se
place dans un milieu (M) continu, conducteur de la chaleur, isotrope et homogène, caractérisé par sa masse
volumique ρ, sa chaleur massique c et sa conductivité thermique λ, toutes uniformes et constantes. On définit un
vecteur

G
J q (x, , z,t) densité de courant thermique dont le flux

∫∫

S

G G
J q dS à travers une surface S donnée

représente la quantité de chaleur traversant cette surface par unité de temps. La loi de Fourier relie cette densité
de courant à la température locale T(x,y,z,t) par une expression linéaire

G

J q = − λgrad T .

Les différentes parties peuvent être traitées de manière indépendante, en admettant le résultat de
la question 1- 1 b

PREMIÈRE PARTIE : ÉQUATIONS GÉNÉRALES

I- 1 a) En faisant un bilan énergétique dans un volumeV du milieu, et en supposant que celui-ci ne contient
G G
∂T
aucune source d'énergie, démontrer la relation ∫∫∫ ρc
dV = − ∫∫ J q dS , S étant la surface
V
S
∂t
limitant V.

b) En déduire l'équation de la chaleur

λ
∂T
, diffusivité
= h ΔT (équation 1) en posant h =
ρc
∂t

thermique dont on précisera l'unité.

c) On suppose dans cette question qu'il existe dans le milieu des sources d'énergies caractérisées par pe,
énergie interne crée par unité de temps et de volume dans le matériau.
Comment se modifie l'équation de la chaleur ?

I- 2) Le milieu ne possède pas de sources de chaleur et on suppose que la température ne dépend que le la
coordonnées z et du temps. Comment s'écrit alors l'équation de la chaleur (équation 2) ?

I- 3 a) Montrer que l'équation de la chaleur (2) possède des solutions T(z,t) = f(z).g(t)
b) Déterminer les équations différentielles que vérifient séparément f(z) et g(t) . On introduira dans les
deux équations une constante k réelle homogène à l'inverse d'une longueur.
c) En déduire une solution particulière de T(z,t), donnée pour une valeur de k, k pouvant être positif ou
négatif.
+∞

d) Montrer rapidement que la solution générale T(z,t) peut s'écrire : T(z,t) = ∫ A(k)e ikh − k ht dk
2

−∞

si l'on suppose que k peut prendre continûment une infinité de valeurs.

e) On note T0(z)= T(z,0) la valeur de T(z,t) à l'instant t = 0 .
On définit en mathématiques la transformation de Fourier de la façon suivante : étant donnée une fonction
+∞

de la forme

Ω( ω ) = ∫ u(t)e -iωt dt , on peut écrire u(t) =
−∞

1 +∞
Ω( ω )e iωt dω

−∞

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En déduire l'expression complète, sous forme d'une intégrale simple, de T(z,t) sachant que
+∞

I=∫ e
−∞

ik μ- γk 2

dk =

π
e
γ

− μ2


I- 4 a) A l'instant initial le plan z = 0 est porté à haute température. Cette distribution initiale d'un contenu
calorifique fini appliqué de façon discontinue en z = 0, s'exprime proportionnellement à la distribution de
Dirac δ(z) dont il suffit de savoir qu'elle est définie par :



+∞

−∞

δ( z )f(z)dz = f(0) .

On posera T0(z) = θ0 δ(z) où θ0 est une constante.

⎛ − z2 ⎞
exp⎜

⎝ 4ht ⎠
, représente l'allure de cette distribution de température T(z) à
Montrer que T(z,t) = θ 0
2 πht
deux instants t1 et t2, avec t2 > t1 .

b) Montrer que chaque plan z = z0 est atteint par une bouffée de chaleur à un instant que l'on précisera.

DEUXIÈME PARTIE : REFROIDISSEMENT D' UNE AILETTE

On considère une ailette de refroidissement constituée du matériau (M), de section rectangulaire constante de
côtés a et b de longueur L parallèles à un axe z'z (figure 1).

T0
L
T0

b



uz
a

z
Figure 1

Elle est fixée à une paroi à température T0 et baigne dans un milieu de température T0 .
L'échange de chaleur entre un point de l'ailette à température T et le milieu ambiant de température T0 se fait par
convection.
La quantité de chaleur Q cédée chaque seconde par unité de surface de l'ailette au milieu extérieur est donnée par
Q = α (T - T0) avec α coefficient de convection constant.

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On supposera a >> b et on posera m =
2




II- 5 Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit en régime permanent la température T(z) de l'ailette en
faisant un bilan d'énergie entre deux sections de cotes z et z +dz.
II- 6 a) Préciser la condition aux limites en z = L, en supposant que

α
<< 1 .
λ

b) Résoudre complètement cette équation différentielle.
II- 7 a) Quelle serait la loi T(z) si l'ailette avait une longueur infinie ?
b) Evaluer une condition portant sur L et m pour qu'une ailette réelle puisse être assimilée de façon
acceptable à une ailette de longueur infinie.

II- 8 a) Quelle est la quantité de chaleur évacuée par unité de temps par l'ailette de longueur L ?
b) Quelle serait la quantité de chaleur évacuée par unité de temps par une ailette de longueur infinie?

TROISIÈME PARTIE : CONDUCTION ENTRE DEUX SPHÈRES

III- 9 Soient deux sphères concentriques (S1) et (S2) de rayons R1 et R2 , avec R1 < R2 , portées respectivement
aux températures T1 et T2 , toutes deux constantes, avec T1 > T2 . L'espace compris entre (S1) et (S2) est
rempli du matériau (M) ne comportant pas de sources d'énergies.
On appelle résistance thermique le rapport : Rth =

T1 − T 2
, avec Φ le flux de chaleur traversant
Φ

le conducteur (M).
a) Calculer Rth .

b) Donner l'expression de la loi T(r) dans le milieu conducteur.
III- 10 Les deux sphères sont de même capacité calorifique Γ et de grande conductivité thermique de façon à
ce que l'on puisse négliger la capacité calorifique du conducteur (M) et que la température de chaque
sphère soit uniforme à chaque instant.
L'ensemble est isolé de façon à ce qu'il n'y ait aucun échange thermique entre ce système et l'extérieur.
(S1) et (S2) sont portées respectivement aux température initiales T1,0 et T2,0 , avec T1,0 > T2,0 ..
Donner les lois d'évolution des températures T1(t) et T2(t).

III- 11 a) Donner l'expression de la variation d'entropie de (S1) et de (S2) entre l'état initial et l'état final pris
par le système après uniformisation de sa température, sous forme d'intégrale du temps qu'on ne
cherchera pas à calculer.

b) Exprimer la variation d'entropie du système entre l'état initial et l'instant t en fonction de T1(t) et
T2(t) et conclure.

QUATRIÈME PARTIE : CONDUCTION ENTRE DEUX PLANS
IV- 12 On considère un système composé de deux plans parallèles (P1) et (P2) orthogonaux à l'axe z'z,
distants de e, maintenus respectivement aux températures constantes T1 et T2 , (T1 > T2 ) entre lesquels se
trouve le matériau (M) sans sources d'énergie.
Ces plans sont de grande taille de sorte qu'on peut négliger les effets de bords et les considérer comme
infinis.
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Donner la valeur et l'orientation de vecteur

G
G
J q entre les plaques, noté J 0 en régime permanent.

IV- 13 On place entre les plaques une sphère (S) de centre O et de rayon a,Gde conductivité thermique
idéalement nulle et l'on veut déterminer l'allure des lignes de courant J q une fois que s'est établi un
nouveau régime permanent. Le rayon de la sphère est très petit devant la distance séparant les plans.
a) Montrer en considérant les conditions aux limites que la superposition d'un champ électrostatique

G

G G

G

G

uniforme E = E 0 u z et du champ d'un dipôle de moment électrique p = − pu z placé en O est susceptible
de fournir une solution de l'équation que doit vérifier la température T en tout point.
On considère un plan diamétral de la sphère et orthogonal à (P1) et (P2). L'axe orienté Oz est pris comme
axe polaire dans ce plan.

G
b) Donner les expressions des composantes radiales J qr et orthoradiales J qθ de J q en fonction
de J0, a, r, et θ dans ce plan.

G
IV- 14 En quels points de S le module de J q est-il maximum ? En quels points est-il nul ? En déduire l'allure
des lignes de courant.

FIN

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