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Université Abdelhamid Ibn Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master AF-AH-MCO
Matière : Théorie des Opérateurs Linéaires II
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 1
(04 Mars 2012)

Inversibilité des Opérateurs Linéaires Bornées
Exercice 1 Pour tout h 2 C [0; 1] ; soit Th 2 L L2 [0; 1] dé…nie par
f 2 L2 [0; 1] :

(Th f ) (x) = h (x) f (x) ;

(1)

Si h (x) = 1 + x; montrer que Th est inversible.
Exercice 2 Montrer que si X; Y; Z sont des espaces vectoriels normés et T1 2
L (X; Y ) et T2 2 L (Y; Z) inversibles, alors :
a) T1

1

est inversible avec inverse T1 ;

b) T2 T1 est inversible avec inverse T1 1 T2 1 :
Exercice 3 Soit c = fcn g 2 l1 et soit Tc 2 L l2 dé…nie par
Tc (fcn g) = fcn xn g :
a) Si inf fjcn j : n 2 Ng > 0 et dn =
Tc Td = Td Tc = I:
b) Si

1
cn ;

2
= fcn : n 2 Ng ; montrer que Tc

c) Si cn =

1
n;

montrer que d = fdn g 2 l1 et que
I est inversible.

montrer que Tc n’est pas inversible.

Exercice 4 Soit X un espace de Banach et supposons que fTn g est une suite
d’opérateurs inversibles de L (X) convergente vers T 2 L (X). Montrer que si
Tn 1 < 1 pout tout n 2 N; alors T est inversible.
P1
Exercice 5 Soit f n g une suite dans K: Montrer que si n=1 n xn est …nie
pour tout x = fxn g 2 l1 alors f n g 2 l1 :
Exercice 6 Pour tout h 2 C [0; 1] ; soit Th 2 L L2 [0; 1] dé…nie par (1).
Si h (x) = x; montrer que Th n’est pas inversible.

1


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