Rattrapage Master1 S1 2011 2012 .pdf

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Université Abdel Hamid Ibn Badis Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et Informatique
Département de Mathématiques

Théorie des Opérateurs Linéaires I
Master1 AF - AH - MCO

Rattrapage

Date: Dimanche 01 Avril 2012

Time: 11.00-12.30
( reading time)

Exercice 1 Soient (X; ; ) un espace mesuré et f; g 2 L2 (X) :
1. Montrer que f g 2 L1 (X) :
2. Montrer que la fonction
( ; ) : L2 (X)
dé…nie par
(f; g) =

L2 (X) ! K
Z

f gd

X

est un produit scalaire sur L2 (X).
Exercice 2 Soit fcn g 2 l1 et fxn g 2 l1 ; avec 1

p < 1.

1. Montrer que
et que

fcn xn g 2 lp
1
X
n=1

p

jcn xn j

kfcn gkp1

1
X
n=1

jxn jp :

2. Montrer que l’opérateur linéaire T : l1 ! K dé…ni par
T (fxn g) =

1
X

cn xn

n=1

est borné et estimer sa norme kT k.
3. Est ce que l’opérateur linéaire T : l2 ! l2 dé…ni par
T (fxn g) = fcn xn g
est borné?

2011-2012



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