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IUT du Havre
Mathématiques Semestre 2

Département Informatique

Série d’exercices no13
Relations d’Ordre

Rappel :
I Une relation dans un ensemble E est une relation d’ordre
ssi elle est à la fois ré‡exive, antisymétrique et transitive.
I Une relation d’ordre dans E est dite d’ordre total si, pour deux
éléments x et y quelconques de E; on a toujours x y ou y x
(deux éléments de E sont toujours comparables).
I Une relation d’ordre qui n’est pas d’ordre total est dite d’ordre partiel.
Exercice 1 Soit E un ensemble non vide.
Véri…er que (la relation d’inclusion) est une relation d’ordre sur P (E) :
Dans quel cas est-elle une relation d’ordre total sur P (E) ?
Exercice 2 On considère dans l’ensemble N la relation divise.
1. Montrer que cette relation est une relation d’ordre partiel.
2. On considère la partie A = f2; 4; 6; 8; 12; 16g de N .

Donner le diagramme sagittal de la relation "divise" restreinte à A:

Rappel : Soient une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E:
I m est un majorant de A ssi : (m 2 E) ^ (8x 2 A x m) :
I m0 est un minorant de A ssi : (m 2 E) ^ (8x 2 A m0 x) :
I g est plus grand élément de A ssi : (g 2 A) ^ (8x 2 A x g) :
I p est plus petit élément de A ssi : (p 2 A) ^ (8x 2 A p x) :
Exercice 3 Soient
une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie
de E. Montrer que A admet au plus un plus grand élément et un plus petit
élément.
Rappel : Soient une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E:
I Soit B l’ensemble des majorants de A: Si B a un plus petit élément
(nécessairement unique) M , on dit que M est la borne supérieure de A
et on note M = sup(A):
I Soit C l’ensemble des minorants de A: Si C a un plus grand élément
(nécessairement unique) m, on dit que m est la borne inférieure de A
et on note m = inf(A):

1

Exercice 4 Soit E = f1; 2; 3; 4g.
1. Préciser P (E) :
2. On considère P (E) muni de la relation
une partie de P (E). Déterminer :

et A = ff1; 2g ; f1; 3g ; f1; 2; 3gg

(a) L’ensemble des majorants de A, l’ensemble des minorants de A:
(b) Le plus grand élément de A, le plus petit élément de A (s’ils existent).
(c) sup(A) et inf(A) (si elles existent).
Exercice 5 On munit N de la relation divise et on considère A = f2; 4; 6; 8; 12; 16g
une partie de N . Déterminer
1. L’ensemble des majorants de A, l’ensemble des minorants de A:
2. Le plus grand élément de A, le plus petit élément de A (s’ils existent).
3. sup(A) et inf(A) (si elles existent).
Exercice 6 On considère l’ensemble B = f0; 1g et on dé…nit sur l’ensemble B 3
la relation par :
(x1 ; x2 ; x3 )
1. A-t-on (1; 0; 1)

(x1 ; x2 ; x3 ) ssi : x1 6 y1 ; x2 6 y2 et x3 6 y3 :
(1; 1; 1) ? (1; 0; 1)

(1; 1; 0) ? (1; 1; 0)

(1; 0; 1) ?

3

2. Montrer que est une relation d’ordre sur B . Est-ce une relation d’ordre
partiel ou total ?
3. Donner, si elles existent, sup(A) et inf(A) où A = f(1; 0; 1) ; (1; 1; 0)g :
Rappel : Soient une relation d’ordre sur un ensemble E et A une partie de E:
I m est un élément maximal de A ssi : (m 2 A) ^ (8x 2 A m x =) x = m) :
I m est un élément minimal de A ssi : (m 2 A) ^ (8x 2 A x m =) x = m) :
Exercice 7 Reprendre les données de l’Exercice 4 et préciser l’ensemble des
éléments maximaux de A et l’ensemble des éléments minimaux de A:
Exercice 8

Soit R muni de la relation d’ordre 6.

1. Donner, pour I = [0; 1[
(a)
(b)
(c)
(d)

R, en justi…ant les réponses :

l’ensemble des majorants ; l’ensemble des minorants ,
s’ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément,
s’ils existent, des éléments minimaux, des éléments maximaux,
la borne inférieure, la borne supérieure.

2. Mêmes questions avec l’ensemble
J=

1;

1
;
2

1
; ::;
3

1
; :::
n

=

2

x 2 R ; 9n 2 N

x=

1
n

:


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