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Les fractions algébriques 3ème générale .pdf



Nom original: Les fractions algébriques 3ème générale.pdf
Titre: Les fractions algébriques
Auteur: Matthieu

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Les fractions algébriques

Les fractions algébriques
1. Rappel


Voici une fraction

1
.
2

De quoi est elle constituée ? ..................................................................................................
Puis-je l’écrire d’une autre manière ? ...................................................................................


En voici une autre

9
.
15

Que puis-je faire avec celle-ci ? ............................................................................................
Puis-je l’écrire d’une autre manière, c'est-à-dire, utiliser d’autres nombres sans en changer
la valeur ? Comment s’appelle ce procédé ?
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
Qu’ai-je obtenu finalement ? ..................................................................................................


Voici encore une autre fraction

a
2

Que possède-t-elle de spécial que je n’ai pas dans les deux cas précédents ? .......................
................................................................................................................................................


Et maintenant

x4
x 6x4
2

Comment s’appelle les éléments placés au numérateur et au dénominateur ? ......................
C’est donc une .......................................................................................................................

Classe de 3ème

1

Les fractions algébriques
2. Définition

…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..

3. Calcul d’une valeur numérique d’une fraction algébrique


Calcule les valeurs numériques des fractions suivantes pour …

x=2

x=2

x
x4

5 x 1
x2  4

x=2

x=–1

2x
2
x  2 x 1

x3  1
x2  2

Classe de 3ème

2

Les fractions algébriques
x=1

x=3

5x5
4x4

6x2
9  x2

3.1 Définition
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………

4. Condition d’existence
a) Trouve les conditions d’existence des fractions suivantes.

1)

3x
x5

2)

2 c
3c 1

3)

5a  1
7

4)

5a2
7

Classe de 3ème

3

Les fractions algébriques

5)

b4
b (b  4)

7)

3x2
x²  6 x  9

Classe de 3ème

6)

3a7
3a4

4

Les fractions algébriques
b) Trouve les conditions d’existence des fractions suivantes.

5 a 1
a2  9

2)

7
x x

y2  1
3)
2 y²  8 y

4)

4x
x  2 x 1

6)

 x 1
4 x 2  4 x 1

1)

5)

5
2 a  12 a  18
2

Classe de 3ème

2

2

5

Les fractions algébriques
c) Trouve les conditions d’existence des fractions suivantes.

1)

5
ab

2)

3a
bc

3)

1
ab

4)

5
x  y2

5)

2a
6 a 3b

6)

2
x 2x

Classe de 3ème

2

2

6

Les fractions algébriques
5. Simplification des fractions algébriques
a) Calcule le plus rapidement possible.
1)

77 . 5
 ……………………………………………………………………………………..
7.5

2)

100  7
 …………………………………………………………………………………...
114  7

3)

3 . (5  2 )
 ………………………………………………………………………………...
2 . (3  4 )

4)

77  5
 …………………………………………………………………………………….
75

5)

50  2
 …………………………………………………………………………………….
25  1

6)

7.( 5 1)
 ………………………………………………………………………………..
4

Qu’avez-vous utilisé comme méthode de calcul ?

 …………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………

 …………………………………………………………………………………………



…………………………………………………………………………………..



……………………………………………………………………………………

Classe de 3ème

7

Les fractions algébriques
b) Simplifie les fractions suivantes (tous les éléments littéraux sont différents de 0).
1)

3 a2 b
………………………………………………………………………………………
5 a b3

2)

8 x
………………………………………………………………………………………..
4 x3

3)

 12 a 4 b5
………………………………………………………………………………….
16 a 2 b3

4)

25 x y 3 z 2
………………………………………………………………………………...
15 x y z 3

5)

a b3
………………………………………………………………………………………...
a3 b

Simplifier une fraction algébrique, c’est diviser le numérateur et le dénominateur par leurs
facteurs communs supposés non nuls.
Pour simplifier une fraction algébrique :
 On factorise le numérateur et le dénominateur ;
 On énonce les conditions d’existence de cette fraction
 On divise le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs en remplaçant
chacun d’eux par 1.

Classe de 3ème

8

Les fractions algébriques
c) Simplifie les fractions suivantes (tous les dénominateurs sont différents de 0).
1)

5(ab)
=…………………………………………………………………………………
3(a b)

 12 x 2 . ( x  y )
2)
=…………………………………………………………………………
15 x . ( x  y )

3)

3.( a  b )
=………………………………………………………………………………...
5.( b  a )

4)

( x  y ).( 2a b)
=…………………………………………………………………….
(3 x  y ).( 2a b)

5)

(2 y  3 x ) . ( x  y )
=……………………………………………………………………..
5 x . (y  x )

d) Simplifie les fractions suivantes (tous les dénominateurs sont différents de 0).
1)

5a 5b
=…………………………………………………………………………………..
3a 3b

2)

3x6
=…………………………………………………………………………………….
x2  4

3)

2a6
=…………………………………………………………………………………...
4 a  12

4)

a xb x
=…………………………………………………………………………………..
a 2  b2

5)

a2  6 a  9
=……………………………………………………………………………….
a2  9

6)

4a4b
=…………………………………………………………………………………..
5b5a

Classe de 3ème

9

Les fractions algébriques
e) Simplifie les fractions suivantes (tous les dénominateurs sont différents de 0).

1)

3 x2  3
=……………………………………………………………………………………
44x

2)

x 2  25
=…………………………………………………………………………………...
25  5 x

3)

3 a2  a b
=……………………………………………………………………………….
6 a b  2 b2

4)

4 a 2 . ( a 2  b2 )
=…………………………………………………………………………..
3 a2  3 a b

5)

3x6
=…………………………………………………………………………………...
x2  2 x

Classe de 3ème

10

Les fractions algébriques

f) Simplifie les fractions suivantes.

1)

3 x ²  12 x
= …………………………………………………………………………
9 x ²  12 x  4

N=

2)

D=

4x3  4 x2  x
= ………………………………………………………………………….
x2  6 x  9

N=

Classe de 3ème

D=

11

Les fractions algébriques

3)

x2  1
= …………………………………………………………………………………
x3  x

N=

D=

24 x 2  16 x 3  9 x
4)
= ………………………………………………………………………
9 x 2  16

N=

Classe de 3ème

D=

12

Les fractions algébriques

5)

8 x  27 x 2
= ………………………………………………………………….
4 x3  2 x2  x

N=

Classe de 3ème

D=

13

Les fractions algébriques
6. Opérations avec les fractions algébriques
6. 1. Réduction des fractions au même dénominateur

6.1.1 Introduction
Réduis au même dénominateur les fractions suivantes
1)

...........................................................................................................................................................

2)

......................................................................................................................................................

3)

......................................................................................................................................................

4)

........................................................................................................................................

5)

.............................................................................................................................................................

6)

.......................................................................................................................................

Classe de 3ème

14

Les fractions algébriques
6.1.2 Procédé

Pour réduire des fractions au même
dénominateur:
1. On factorise les dénominateurs;
2. Le dénominateur commun est le
PPCM des dénominateurs. Il s'obtient
en multipliant tous les facteurs
communs ou non, chacun d'eux
affecté de son plus grand exposant;
3. On multiplie le numérateur et le
dénominateur de chaque fraction par
le(s) facteur(s) qui permet(tent)
d’obtenir le dénominateur commun.

6.1.3 Application

Réduis les fractions algébriques au même dénominateur.
............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

Classe de 3ème

15

Les fractions algébriques

6.2 Addition et soustraction de fractions algébriques
6.2.1 Introduction

Calcule.
1)

.........................................................................................................................................................

2)

....................................................................................................................................................

3)

....................................................................................................................................................

4)

......................................................................................................................................

5)

...........................................................................................................................................................

6)

.....................................................................................................................................

Classe de 3ème

16

Les fractions algébriques
6.2.2 Règle d'addition de fractions

Pour additionner ou soustraire deux
fractions:
1) On les réduit au même
dénominateur;

2) On additionne ou on soustrait les
numérateurs après avoir effectué
les distributivités nécessaires et
supprimé les parenthèses tout en
conservant le dénominateur;
3) On simplifie, si possible, la fraction
finale obtenue.

6.2.3 Applications

a) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

17

Les fractions algébriques

b) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

18

Les fractions algébriques

c) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

19

Les fractions algébriques

d) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

20

Les fractions algébriques

6.3. Multiplication
6.3.1 Introduction

Calcule
1)

..........................................................................................................................................................

2)

.....................................................................................................................................................

3)

.....................................................................................................................................................

4)

.......................................................................................................................................

5)

............................................................................................................................................................

6)

......................................................................................................................................

Classe de 3ème

21

Les fractions algébriques

6.3.2. Procédé de multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions:
1) On multiplie les numérateurs et les
dénominateurs entre eux;
2) On simplifie, si possible, la fraction
obtenue.

6.3.3. Applications

a) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

22

Les fractions algébriques
b) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

23

Les fractions algébriques

6.4. Division
6.4.1 Introduction

Calcule
1)

...........................................................................................................................................................

2)

......................................................................................................................................................

3)

........................................................................................................................................................

4)

..............................................................................................................................................

5)

.............................................................................................................................................................

6)

.......................................................................................................................................

Classe de 3ème

24

Les fractions algébriques

6.4.2. Procédé de division de fractions

Pour diviser une fraction par une fraction (non nulle), on multiplie la première fraction
par l'inverse de la seconde

Exemple:

6.4.3. Applications

a) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

25

Les fractions algébriques

b) Effectue et simplifie si possible ( les dénominateurs de ces fractions sont tous
différents de 0)

Classe de 3ème

26

Les fractions algébriques

7. Equations fractionnaires
7.1 Introduction

Détermine les conditions d'existence de ces fractions et calcule la(es) valeur(s) possible(s) de
x.

...................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

Classe de 3ème

27

Les fractions algébriques

7.2 Procédé de résolution

Une équation fractionnaire est une équation où l'inconnue apparaît au dénominateur.
Avant de la résoudre, il faut déterminer les conditions d'existence de chaque fraction.
Pour résoudre l'équation, on réduit les deux membres au même dénominateur et on les
multiplie par ce dénominateur non nul.
Certaines solutions de l'équation ainsi trouvées peuvent ne pas être solutions de l'équation
donnée car elles ne satisfont pas aux conditions d'existence.
Exemple:

Conditions d'existence:

Cette solution est à rejeter en vertu des conditions d'existence.
L'équation n'admet pas de solution.

Classe de 3ème

28

Les fractions algébriques
7.3 Application

Résous les équations suivantes

Classe de 3ème

29

Les fractions algébriques

Classe de 3ème

30

Les fractions algébriques
8. Transformations de formules
8.1. Théorie

En physique, on est souvent amené à transformer une formule et à exprimer une variable en
fonction des autres.
On considère la formule comme une équation à résoudre et la variable à exprimer comme
étant l'inconnue.
Exemple dans la formule

, pour exprimer W en fonction de P et de t, on considère W

comme l'inconnue de cette équation

8.2. Application
Dans chacune des formules suivantes, exprime chaque variable en fonction des autres

Classe de 3ème

31

Les fractions algébriques

Classe de 3ème

32


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