Thalès et les proportions en 3 générale .pdf



Nom original: Thalès et les proportions en 3 générale.pdf
Titre: Thalès et les proportions
Auteur: Matthieu

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Thalès et les proportions

Thalès et les proportions
1. Introduction
1.1. En vue de doser ses cocktails toujours de la même manière, un barman désire faire graver
sur ses verres une règle graduée indiquant la hauteur de liquide centimètre par centimètre.
a) Trace la règle graduée qu'il faudra graver sur la vue de face du verre présenté ci-dessous
et détermine de la manière la plus précise, l'écart entre deux graduations.
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Classe de 3ème

1

Thalès et les proportions

b) Détermine graphiquement 65 mm de hauteur du liquide, ensuite vérifie par calcul la
longueur de ce liquide à l’aide des graduations que tu as tracées précédemment.
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c) Quelle est la hauteur du liquide contenu dans le verre présenté et qui correspond à une
marque gravée située à 49 mm du fond du verre ?

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1.2. Partage ce segment en 7 parties de même longueurs.

Classe de 3ème

2

Thalès et les proportions

2. Théorème de Thalès
2.1 Cas particulier du théorème de Thalès
2.1.1

Voila la route qui conduit chez les Selaht.
arbre A
arbre C
arbre B
arbre A'

La commune a décidé de planter des arbres du côté droit de la route. Seulement elle aimerait
que la distance entre l'arbre A et l'arbre B ainsi que la distance entre l'arbre B et l'arbre C
soient égales respectivement à la distance entre l'arbre A' et l'arbre B' ainsi que celle entre
l'arbre B' et l'arbre C'. On sait où la commune veut planter l'arbre A'. Quelle méthode devraitelle utiliser pour trouver l’emplacement précis où planter les autres arbres?

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Classe de 3ème

3

Thalès et les proportions

Des droites parallèles (au moins trois) déterminément sur deux droites parallèles qui les
coupent des segments homologues de longueurs égales.

Classe de 3ème

4

Thalès et les proportions
2.1.2

a) La comtesse de Selaht, a investi dans la construction d'un parc pour les amoureux de la
nature juste à côté de sa résidence. Voici le plan du chantier :

= 240 m
= 1 200 m
= 400 m
= 2 000 m
= 320 m
= 1 600 m

BD  AC et CE  AC BD ∥ CE

Calcule les rapports suivants :


= ..................................................................................................................



= ..............................................................................................................................



= ..............................................................................................................................



= ..............................................................................................................................



= ..............................................................................................................................



= ..............................................................................................................................

Que constates-tu ?
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..........................................................................................................................................
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Classe de 3ème

5

Thalès et les proportions

b) Pour combler au maximum les amoureux de la nature, Mme la comtesse a dressé un
plan de tous les parcs à moins de 50 km de sa résidence. Il y en a 5 (A, B, C, D et E).
Ces parcs sont plus magnifiques les uns que les autres! Du simple buisson au
majestueux séquoia géant en passant par de magnifique pavot de Californie, ces parcs
raviront tous les passionnés de la flore.

Calcule les rapports suivants :


= ...........................................................................................................................



= ...........................................................................................................................



= ...........................................................................................................................



= ............................................................................................................................



= ...........................................................................................................................



= ............................................................................................................................

Que constates-tu ?
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
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Classe de 3ème

6

Thalès et les proportions

Une parallèle à l'un des côtés d'un triangle partage les deux autres (ou leurs prolongements) en
segments de longueurs proportionnelles.

Classe de 3ème

7

Thalès et les proportions

Attention

Il ne faut pas confondre les égalités relatives au théorème de Thalès et
celles relatives aux triangles semblables.

Triangles semblables
CB ∥ ED ⇒

Théorème de Thalès

CB ∥ ED ⇒

Classe de 3ème

8

Thalès et les proportions

2.1.3

Une parallèle aux bases d'un trapèze partage les deux autres côtés (ou leurs prolongements) en
segments de longueurs proportionnelles.

Classe de 3ème

9

Thalès et les proportions

2.2. Exercices
a) Dans chaque cas, détermine x.

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Classe de 3ème

10

Thalès et les proportions

b) Dans les configurations de Thalès ci-dessous, détermine la valeur de x et de y.
BE ǁ CF ǁ DG

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Classe de 3ème

11

Thalès et les proportions

BA ǁ GD ǁ FE

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......................................................................................................................................................
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Classe de 3ème

12

Thalès et les proportions

c) Dans un trapèze ABCD (AB ∥ DC), on trace une droite d ∥ AB qui coupe
[AD] en x et [BC] en Y. Complète le tableau ci-dessous.

1

3,4

2

1

4,2

5,04

3

4

5
2
1. ..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

2. ..........................................................................................................................................
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3. ..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

4. ..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

5. ..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................

Classe de 3ème

13

Thalès et les proportions

2.3 Formulation 1 (avec les projections parallèles)

Les projections parallèles conservent le rapport des longueurs.
Données
A, B et C

d1

D, E et F

d2

AD BE ∥ CF

Thèse

Démonstration
Par les points D et E, on trace les
droites a et b parallèles à d1.
La droite a coupe BE en G et la droite b coupe CF en H.
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Classe de 3ème

14

Thalès et les proportions

Remarque
On peut énoncer le théorème de Thalès avec d'autres segments que ceux qui sont utilisés dans
la thèse de la page précédente.
Ce qui donne trois égalités pour le même théorème:

2.4 Formulation 2 (avec les segments homologues)

Des droites parallèles (au moins trois) déterminent sur deux droites qui les coupent des
segments homologues de longueurs proportionnelles.
Données
A, B et C

d1

D, E et F

d2

AD BE ∥ CF

Thèse

Démonstration
La 2ème formulation du théorème de Thalès découle directement de la 1ère.
Nous le verrons dans la suite de ce chapitre mais une des propriétés des proportions est que
dans toute proportion, on peut permuter les moyens.
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Classe de 3ème

15

Thalès et les proportions

2.5 Extension du théorème de Thalès
La première formulation du théorème de Thalès permet d'étendre celui-ci

a

b

c
d1

d2

d3

Dans quelles conditions sont placées les droites?
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......................................................................................................................................................
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Classe de 3ème

16

Thalès et les proportions

3. Exercices
a) Inscris en dessous de chaque dessin s’il s’agit d’une configuration de
Thalès ou pas. Justifie ta réponse

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

………………………………………………………………….

………………………………………………………………….

Classe de 3ème

17

Thalès et les proportions

b) Dans chaque cas, détermine x.

La représentation graphique proposée ne correspond pas aux mesures imposées.

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Classe de 3ème

18

Thalès et les proportions

4. Thalès pour construire
4.1 La quatrième proportionnelle
Définition
La quatrième proportionnelle des réels positifs a, b et c est le réel x te que

.

Construction
Pour déterminer graphiquement la quatrième proportionnelle de trois réels positifs, on utilise
le théorème de Thalès.
Il existe plusieurs solutions. En voici deux.
Première solution
Trace deux demi-droites de même origine A. Sur l'une d'elles, reporte deux segments
consécutifs [AB] et [BC] de longueurs respectivement égales à a et b.
Sur l'autre demi-droite, reporte le segment [AD] de longueur c. Trace la droite BD et, par le
point C, la droite parallèle à la droite BD qui coupe la droite AD au point E. Le segment [DE]
est le segment de longueur x.

Classe de 3ème

19

Thalès et les proportions

Deuxième solution
Trace deux demi-droites de même origine A.
Sur l'une d'elle, reporte deux segments consécutifs [AB] et [BC] de longueurs respectivement
égales à a et c.
Sur l'autre demi-droite, reporte le segment [AD] de longueur b.
Trace la droite BD et par le point C, la droite parallèle à la droite BD qui coupe la droite AD
au point E.
Le segment [DE] est le segment de longueur x.

Classe de 3ème

20

Thalès et les proportions

4.2 Partage d'un segment en n parties de même longueur
Pour partager un segment [AB] en 5 parties de même longueur:



Trace une demi-droite d'origine A;
Reporte sur celle-ci cinq segments consécutifs d’une même longueur quelconque:
A P1  P1 P2  P2 P3  P3 P4  P4 P5




Trace les points P1, P2, P3 et P4 puis trace les droites parallèles à P5B;
Par application du théorème de Thalès, les points d'intersection de ces parallèles avec
le segment [AB] déterminent cinq segments de même longueur:
A Q1  Q1 Q2  Q2 Q3  Q3 Q4  Q4 B .

Classe de 3ème

21

Thalès et les proportions

4.3 Coordonnées du milieu d'un segment
Les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] s'obtiennent en calculant la moyenne
arithmétique des abscisses et la moyenne arithmétique des ordonnées des extrémités du
segment.
Données
A (xA ; yA)
B (xB ; yB)
M milieu de [AB]
Thèse
M

Démonstration

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......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
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Classe de 3ème

22

Thalès et les proportions

Cas particulier
Si A

et M milieu de [OA], alors M

=

5. Exercices
a) Trace une droite graduée, munie du repère (O, I) tel que

=6 cm. Place sur ce

segment les points E, F et G dont les abscisses respectives sont ;

Classe de 3ème

et

.

23

Thalès et les proportions

b) Détermine graphiquement et par calcul la quatrième proportionnelle des nombres:
1) 3 ; 5 et 2

2) 7 ; 8 et 5

Classe de 3ème

24

Thalès et les proportions

3) 5 ; 10 et 3

4) 8 ; 3 et 9

Classe de 3ème

25

Thalès et les proportions

c) Soit un triangle ABC tel que

,

et

.

Par un point D appartenant à [AB], on mène la parallèle à BC qui coupe AC en E.
Détermine le point D pour que

Classe de 3ème

26

Thalès et les proportions

d) Dans chaque cas, détermine graphiquement et vérifie par calcul les coordonnées du
milieu du segment.

1. [A B] avec A (0;0) et B(6;4)
..............................................................................................................................
2. [C D] avec C(0;1) et D(6;5)
..............................................................................................................................
3. [E F] avec E(2;0) et F(8;4)
..............................................................................................................................
4. [G H] avec G(2;1) et H(8;6)
..........................................................................................................................................

Classe de 3ème

27

Thalès et les proportions

6. Réciproque du théorème de Thalès
Enoncé
Si deux droites sont coupées par deux droites parallèles et si une troisième droite coupe les
deux premières en des point situés du même côté par rapport à chaque parallèle et de telle
sorte que le rapport des longueurs des segments homologues ainsi déterminé soit constant,
alors la troisième droite est parallèle aux deux premières.
Données
A,B et C
D,E et F

d1
d2

C et F sont situés du même coté par
rapport à AD et BE

Thèse
CF ∥ BE ∥ AD
Démonstration
Nous allons utiliser un procédé de raisonnement appelé démonstration par l'absurde. Son
mécanisme est le suivant.
1. On suppose que la thèse est fausse.
2. On montre que cette supposition conduit à un résultat absurde en contradiction avec
l'hypothèse
3. On en conclut alors que la supposition faite est fausse, donc que la thèse est vraie
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Classe de 3ème

28

Thalès et les proportions

7. Exercices
a) Sachant que
= 15 cm,
= 20 cm,
droites HJ et IK sont-elles parallèles ?

= 18 cm et

= 24 cm. Les

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.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

b) Sachant que

= 12 cm,

= 11 cm,

= 8 cm et

= 6 cm. Les droites

IM et LK sont-elles parallèles ?

.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

Classe de 3ème

29

Thalès et les proportions

7. Les propriétés des proportions
7. 1. Introduction
La figure ci-dessous représente une configuration de Thalès.

a

b

c
d1

d2

Complète les égalités suivantes de deux manières différentes.

Classe de 3ème

30

Thalès et les proportions

7.2 Propriétés
1) Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
...........................................................................................................................
Justification: .....................................................................................................................

..........................................................................................................................................

2) Si on permute les moyens d'une proportion, on obtient une nouvelle proportion
.........................
Justification: .....................................................................................................................

..........................................................................................................................................

3) Si on permute les extrêmes d'une proportion, on obtient une nouvelle proportion
.........................
Justification: .....................................................................................................................

..........................................................................................................................................

4) Si on permute, entre eux, les moyens et les extrêmes d'une proportion, on obtient une
nouvelle proportion
.........................
Justification: .....................................................................................................................

..........................................................................................................................................

Classe de 3ème

31

Thalès et les proportions

7.3 Exercices
a) Résous les équations suivantes.


















Classe de 3ème



32

Thalès et les proportions

Voici quatre configurations de Thalès. Corrige les proportions et calcule x.

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.......................................................................................
.......................................................................................

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Classe de 3ème

33

Thalès et les proportions

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.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

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........................................................................................

Classe de 3ème

34

Thalès et les proportions

8. Démonstrations
a) Démontre que le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle
au troisième côté et en vaut la moitié (c'est le théorème des milieux aussi appelé le
petit Thalès).

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b) Dans le triangle ABC isocèle en A, on trace la hauteur [BH]. Par le point C, on mène
la droite perpendiculaire à [AC]. Elle coupe le prolongement de [AB] en D.
Démontre que

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Classe de 3ème

35

Thalès et les proportions

c) Voici trois demi-droites d'origine O.
Si tu sais que XY ∥ X'Y' et XZ ∥ X'Z'
Démontre que YZ ∥Y'Z'

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d) Démontre que le rapport des aires de deux triangles de même base est égal au rapport
de leurs hauteurs.

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Classe de 3ème

36

Thalès et les proportions

e) Démontre que le rapport des aires de deux triangles de même hauteur est égal au
rapport de leurs bases.

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f) Démontre que le rapport des aires de deux parallélogrammes de même base (hauteur)
est égal au rapport des longueurs de leurs hauteurs (bases).

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Classe de 3ème

37

Thalès et les proportions

g) Démontre que le rapport des aires de deux parallélogrammes de même hauteur est
égal au rapport des longueurs de leurs bases.

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Classe de 3ème

38



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