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Les distances
Activité 1 : Méli-mélo de cercles
Découverte
Lors d’une soirée entre amis, nous avons bu plusieurs
verres dans le salon. À la fin de la soirée, je m’aperçois
que des cercles de tailles différentes ont été formés par
les dessous des verres. Quelles peuvent être les
différentes positions des cercles ? Réalise d’abord cet
exercice sur une autre feuille.
Nous allons comparer la position de deux cercles.
 C1 est un cercle de centre O1 et de rayon 2 cm.
 C2 est un cercle de centre O2 et de rayon 1,5 cm.
1. Dans la première colonne, construis les diffèrentes positions des 2 cercles.
2. Dans la deuxième colonne, determine le nombre de points d’intesections des
deux cercles.
3. Dans la troisième colonne, compare |O1O2| avec r1 + r2 et avec r1 – r2.

Positions des deux cercles

Nombre de
points
d’intersection
des deux cercles

Comparaison des
deux distances

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….
|O1O2| ……. r1 – r2

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….

|O1O2| ……. r1 – r2

1

Positions des deux cercles

Nombre de
points
d’intersection
des deux cercles

Comparaison des
deux distances

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….
|O1O2| ……. r1 – r2

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….
|O1O2| ……. r1 – r2

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….
|O1O2| ……. r1 – r2

Les deux cercles sont ……………………………………………..
|O1O2| ……. r1 +r2
…………………….
|O1O2| ……. r1 – r2

2

Exercices
Prévois les positions des cercles des exercices ci-dessous
C1 est une cercle de centre O1 et de rayon r1 et C2 est un cercle de centre O2
et de rayon r2. On a |O1O2| = 9 cm.
1) Si tu sais que r1 = 5 cm et r2 = 4 cm, quelle est la position des deux cercles ? Justifie ta
réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………………………

2) Si tu sais que r1 = 10 cm et r2 = 1 cm, quelle est la position des deux cercles ? Justifie
ta réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………………………

3) Si tu sais que r1 = 8 cm et r2 = 2 cm, quelle est la position des deux cercles ? Justifie ta
réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………………………

4) Si tu sais que r1 = 12 cm et r2 = 1 cm, quelle est la position des deux cercles ? Justifie
ta réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………………………………
3

Propriété
Construis un cercle C1 de centre O1 et de rayon 3 cm et un cercle C2 de centre O2 et de rayon
2 cm sécants en A et B et dont |O1O2| = 4 cm.

a) Quelle est la droite des centres ? ……………………………………………………………………………………….
b) Quelle est la corde commune ? ………………………………………………………………………………………….

Représente-les sur le dessin que tu as construit précédemment.
c) Quelle est la position de la droite des centres et de la corde commune ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

d) Afin de démontrer cette affirmation, réponds aux questions suivantes :
1. Quel est l’axe de symétrie de la figure formée par les cercles C1 et C2 ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Quelle est l’image de *AB+ par la symétrie orthogonale dont la droite
précédente est l’axe ? …………………………………………………………………………………………….

3. Qu’en déduis-tu de cet axe de symétrie par rapport à [AB] ?
……………………………………………………………………………………………………………………………………

Propriété
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4

Activité 2 : Distance d’un point à une droite
Découverte
Bernard aimerait que la Mairie construise une route qui relierait sa maison à la Grand
Rue MAIS il aimerait que cette route soit la plus courte possible.
Pour cela, la Mairie a fait appel à l’entrepreneur SUPER et à l’entrepreneur JOYEUX.
L’entrepreneur SUPER propose de construire la route représentée par le segment *MS+
tandis que l’entrepreneur JOYEUX propose de construire la route représentée par le
segment [MJ].

Réponds aux questions suivantes :
1) Quel entrepreneur a réalisé le plus petit chemin ? …………………………………………………………………
2) Est-ce que cet entrepreneur a réalisé le chemin le plus court entre la maison de Bernard
et la Grand Rue ? ………………………………………………………………………………………………………………………….

3) Comment l’entrepreneur aurait dû construire la route afin qu’elle soit la plus courte
possible ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) Construis cette route sur le schéma.
Définition
La distance d’un point à une droite est la distance entre
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Notation pour la distance du point X à la droite a : d(X, a)

5

Activité 3 : Positions relatives d’une droite et d’un cercle
Découverte
Afin de déterminer les positions d'une droite et d'un cercle, imagine toutes les positions que
peut prendre le soleil (qui représentera le cercle) et l'horizon (qui représentera la droite) lors
du coucher de soleil. Réalise d’abord cet exercice sur une autre feuille.



C est un cercle de centre O et de rayon 2 cm ;
a est une droite.

Pour chaque cas :
1. Dans la première colonne :
a. Trace, en vert, d(O, a) ;
b. Note P le pied de la perpendiculaire à la droite a issue de O.
2. Dans la deuxième colonne, détermine le nombre de points d’intersections de la
droite a et du cercle C ;
3. Dans la troisième colonne, compare d(O, a) avec le rayon r du cercle C.

Position de la droite a et du cercle C

Nombre de
points
d’intersections

Comparaison des
deux distances

………………..

d(O , a) ……. r

………………..

d(O , a) ……. r

La droite est …………………………………. au cercle

La droite est ……………………………….… au cercle

6

Position de la droite a et du cercle C

Nombre de
points
d’intersections

Comparaison des
deux distances

………………..

d(O , a) ……. r

………………..

d(O , a) ……. r

La droite est …………………………………. au cercle

Cas particulier
La droite est le ……………………………….. du cercle

Exercice
Prévois la position du cercle et de la droite dans les exercices précédents.
C est un cercle de centre O et de rayon r, a représente une droite et P représente le pied
de la perpendiculaire à la droite a issue de O.
1) Si tu sais que r = 5 cm et que d(O, P) = 4,5 cm, quelle est la position de la droite et du
cercle ? Justifie ta réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………

2) Si tu sais que r = 9 cm et que d(O, P) = 12 cm, quelle est la position de la droite et du
cercle ? Justifie ta réponse.
…………………………………………………………………………………………..……………………………………………………
……………………………………..…………………………………………………………………………………………..……………
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………………
7

Activité 3 : Tangentes à un cercle
Propriété
Représente un cercle C de centre O et de rayon 3 cm et une droite a tel que d(O, a) = r.

a) Trace en vert d(O, a)
b) Place P sur a tel que d(O, a) = d(O, P)
La droite a est ……………………………… au cercle C.
Quelle est la position de [AP] et a ? ………………………………………………………….
P est le ……………………………………………………………………………………………..

Propriété
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………

Remarque :
Le point P (point commun entre le cercle et la droite) est appelé point de contact ou
point de tangence

8

Construction d’une tangente du cercle
Voici un cercle de centre O et de rayon r.
À l’aide de ce que tu as découvert précédemment, construis la tangente au cercle C(O, r) en
P et explique, ensuite, ton programme de construction.

Programme de construction d’une tangente du cercle en un point
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9

Exercice
1) Construis les deux tangentes t1 et t2 au cercle C passant chacune par une extrémité du
diamètre *AB+. Quelle est la position des deux tangentes l’une par rapport à l’autre ?
Justifie.

…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

2) Construis les tangentes t1 et t2 au cercle C de centre O parallèles à la droite m.
Explique les étapes de la construction.

……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………

10

Activité 4 : Fruits et fleurs
Découverte
Dans mon jardin, j’ai un pommier (représenté par le point P) et un rosier (représenté par le
point R). J’aimerais partager mon jardin en 2 parties. Pour cela, j’aimerais installer une
clôture de telle façon qu’elle soit à égale distance du pommier et du rosier. Représente, en
vert, la clôture sur le dessin ci-dessous.

Quelles sont les différentes caractéristiques de la clôture par rapport au segment [PR] ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Comment nomme-t-on une telle droite ? ……………………………………………………………………………….
J’aimerais planter des arbres fruitiers et des arbustes à fleurs de telle sorte que les arbres
fruitiers soient plus près du pommier que du rosier et que les arbustes à fleurs soient plus
près du rosier que du pommier. Colorie en rouge tous les endroits où je vais pouvoir planter
des arbres fruitiers et colorie en bleu tous les endroits où je pourrais planter des arbres à
fleurs.
Définition
L’ensemble des points situés à égale distance de deux points distincts est
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Définition de la médiatrice
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11

Propriété
1) Tout point de la médiatrice d’un segment de droite est équidistant des extrémités de ce
segment.

Nous allons prouver que |PA| = |PB| en s’aidant du texte ci-dessous.
Tout d’abord, colorie en vert les indications notées sur la figure qui prouvent que m
est la médiatrice de [AB].
sm (A) = ………….. car …………………………………………………………………………………………………
sm (P) = ………….. car …………………………………………………………………………………………………
sm (*AP+) = …………..
Que peux-tu dire des longueurs des segments [AP] et [BP] ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Pourquoi ? ……………………………………………………………………………………………………………….
Nous venons de prouver que tout point appartenant à la médiatrice d’un segment est à
égale distance des extrémités de ce segment.

12

2) Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce
segment.

Nous allons prouver que m est la médiatrice de *AB+ à l’aide du texte ci-dessous.
Colorie en vert les indications notées sur la figure qui prouvent que les points P et Q
sont équidistants de A et de B.
PAB est un triangle ………………………………. car ……………………………………………………………
PQ est donc la …………………………………. relative à la base car ……………………………………
Or, dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base est aussi …………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Donc, on en déduit que m est la ………………………………………….. de *AB+ car
…………………………………………………………………………………………………………………………………

Nous venons de prouver que tout point se trouvant à égale distance des extrémités d’un
segment appartient à la médiatrice de ce segment.

13

Propriété
Construis :
 Un cercle C de centre O et de rayon 3 cm ;
 Une corde [AB] du cercle tel que O n’est pas un point de la corde ;
 M est le milieu de [AB] ;
 m est le diamètre du cercle passant par M.

a) Quelle est la position de la droite m par rapport à la corde [AB] ?
……………………………………………………………………………………………………
b) Justifie cette affirmation en citant une propriété :
1. Du point O : …………………………………………………………………………………………………..
2. Du point M : …………………………………………………………………………………………………….
c) Que peux-tu dire de la droite OM ?
…………………………………………………………………………………………………..

Propriété
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

14

Construis le(s) cercle(s) passant par le point A. ensuite, détermine le nombre de cercles
passant par le point A.

Combien de cercles passant par le point A peut-on construire ? …………………………………
Conclusion
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Grâce à ce qu’on a vu précédemment, construis le(s) cercle(s) passant par les points A et B.
Ensuite, détermine le nombre de cercles passant par les points A et B.

Combien de cercles passant par les points A et B peut-on construire ? …………………………………
Conclusion
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

15

Activité 5 : Attaquants et défenseurs
Découverte
Les trois attaquants (H, Z et W) de l’équipe de football se sont placés de façon triangulaire.
L’entraineur de l’équipe défensive aimerait qu’un de ses défenseurs (C) se placent à égale
distance des trois attaquants (H, Z et W).

Où devra se placer le défenseur ? …………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Pourquoi le point C trouvé répond-il au problème posé ? ………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Un quatrième attaquant arrive ! Il aimerait se placer à la même distance du défenseur que
les trois autres attaquants.
Où devra-t-il se placer ? ………………………………………………………………………………………………………….
Construis l’ensemble des emplacements où le quatrième attaquant pourra se placer.
Pourquoi ces emplacements répondent-ils au problème posé ?...............................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Définition
L’ensemble des points situés à égale distance de trois points distincts est
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16

Le cercle que tu as construit s’appelle cercle circonscrit au triangle ZHW.
Le point C est le ………………………….. du cercle circonscrit au triangle ZHW, il se situe
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Le rayon de ce cercle est ………………………………………………………………………………………………………

Le cercle circonscrit à un triangle est un cercle passant par ……………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Grâce à ce qu’on a vu précédemment, construis le(s) cercle(s) passant par les points A, B et
C. Ensuite, détermine le nombre de cercles passant par les points A, B et C et explique le
programme de construction du cercle circonscrit à un triangle.

Combien de cercles passant par les points A, B et C peut-on construire ? ………………………………
Conclusion
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Programme de construction d’un cercle circonscrit
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
17

Propriété
Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle, alors ce triangle est rectangle
Voici un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.

Nous allons prouver que | ̂ | = 90°. Pour cela réponds aux questions ci-dessous :
a) Que peux-tu dire des longueurs des segments [AO], [OC] et [OB] ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………..

Donc, on peut déduire que *AC+ est un ………………………………………………… du cercle et
que O est le ……………………………………………… de *AC+.
c) Que peux-tu dire du triangle ABO ? ……………………………………………………………………………………
d) Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………….
Donc, …………………………………………….
e) Que peux-tu dire du triangle BCO ? ……………………………………………………………………………………
f) Pourquoi ? …………………………………………………………………………………………………………………………….
Donc, …………………………………………….

Or, dans un triangle, la somme des amplitudes des angles est égale à ……………………..
Donc, on a :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

On en déduit que le triangle ABC est ……………………………………………………………………………………………..
Nous venons de prouver qu’un triangle inscrit dans un cercle est un triangle rectangle. De
plus, le centre du demi-cercle se trouve au milieu de l’hypoténuse du triangle.
18

Exercice
1) Ce tronçon de la rivière est parsemé de rapides. Ces rapides sont situés à égale distance
des points stratégiques A et B, lieux où des appareils photographiques perfectionnés
sont installés. Recherche par construction tous les endroits de la rivière où se situent les
rapides. Représente ces rapides en vert.

2) Construis le cercle passant par les points A et B et dont le centre appartient à la droite d

19

3) Construis le cercle circonscrit au triangle ABC dont [AB] = 3 cm, [AC] = 3,5 cm et
[BC] = 4 cm.

4) Construis le cercle passant par le point X et tangent en Y à la droite d.

20

Activité 6 : Jeu de fléchette
Découverte

J’ai récemment joué aux fléchettes. Sur le dessin
ci-contre, on peut remarquer l’emplacement des
fléchettes que j’ai lancées. Peux-tu me dire le
nombre de points que j’ai réalisé en sachant que :
 On marque 20 points si la fléchette se
plante à égale distance des deux diamètres tracés ;
 On marque 10 points si la fléchette se
plante sur un des deux diamètres tracés ;
 On marque 5 points si la fléchette se plante
hors des droites tracées.

Que vas-tu tracer afin de déterminer tous les endroits du jeu où la fléchette sera à égale
distance des deux droites ? …………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Quelle est la caractéristique des droites que tu viens de tracer ? …………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Maintenant que tu as tout ce qu’il faut pour compter mes points, quel est mon score ?
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Colorie :
 En vert, tous les endroits du jeu où la fléchette rapportera 20 points ;
 En rouge, tous les endroits du jeu où la fléchette rapportera 10 points ;
 En bleu, tous les endroits du jeu où la fléchette rapportera 5 points.

Définition
L’ensemble des points situés à égale distance de deux droites sécantes est
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Définition de la bissectrice
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

21

Propriété
1) Tout point de la bissectrice d’un angle est équidistant des côtés de cet angle ou de leurs
prolongements.
Construis la bissectrice de l’angle ̂

Place les points M, N et P sur la bissectrice que tu viens de tracer. De chacun des points,
abaisse la perpendiculaire à chaque côté de l’angle.
Compare les distances :
d(M, AB) ………………….. d(M, AC)
d(N, AB) …………………… d(N, AC)
d(P, AB) …………………… d(P, AC)
Que peux-tu en déduire? ………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
La démonstration sera vue plus tard.
2) Tout point équidistant des côtés d’un angle ou de leurs prolongements appartient à la
bissectrice de cet angle.
La démonstration sera vue plus tard.

22

Grâce à ce qu’on a vu précédemment, construis le(s) cercle(s) tangents aux deux
demi-droites de même origine. Ensuite, détermine le nombre de cercles tangents à ces deux
demi-droites.

Combien de cercles tangents aux deux demi-droites peut-on construire ?
……………………………………………………………………………………………………………….

Conclusion
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

23

Activité 7 : Mais où placer l’hôtel ?
Découverte
Trois routes forment un triangle. Un promoteur souhaite construire un hôtel à égale distance
des trois routes.

Construis avec précision l’emplacement privilégié de cet hôtel (D).
Où se situe-t-il ? ……………………………………………………………………………………………………………………..
Pourquoi le point D trouvé répond-il au problème posé ? ……………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Trace en vert les chemins d’accès les plus courts de l’hôtel à chaque route.
Comment tracerais-tu une piste circulaire la plus grande possible mais située à l’intérieur du
triangle ? ………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Définition
L’ensemble des points situés à égale distance de trois droites sécantes est
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

24

Le cercle que tu as construit s’appelle cercle inscrit au triangle ABC
Le point D est le ………………………….. du cercle inscrit au triangle ABC, il se situe
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Le rayon de ce cercle est ………………………………………………………………………………………………………

Le cercle inscrit à un triangle est un cercle qui est ……………………….……………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Grâce à ce qu’on a vu précédemment, construis le(s) cercle(s) tangents aux trois côtés du
triangle. Ensuite, détermine le nombre de cercles tangents aux trois côtés du triangle et
explique le programme de construction du cercle inscrit à un triangle.

Combien de cercles tangents aux côtés du triangle peut-on construire ? ………………………………
Conclusion
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Programme de construction d’un cercle inscrit
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

25

Exercice
1) On donne les droites sécantes d et d’, le point A appartenant à d. Détermine le centre du
cercle tangent à d en A et tangent à d’. Trace ce cercle.

2) Construis, en vert, les points M appartenant à la droite d tels que d(M, a) = d(M, b)

26

Activité 8 : Exercices de synthèse
1) Complete le tableau ci-dessous et détermine la position des cercles C1(O1, r1) et C2(O2, r2)
Différence positive
des rayons
r1 – r2 ou r2 – r1

r1

r2

|O1O2|

2

5

10

9

8

17

7

11

15

12

5

7

11

6

4

Somme des rayons
r1 + r2

Positions des cercles

2) Détermine la valeur manquante pour satisfaire la position des cercles. Pour les cercles
extérieurs, note la plus grand valeur entière possible.

r1

r2

Différence positive
des rayons
r1 – r2 ou r2 – r1

3
5
8

|O1O2|

Somme des rayons
r1 + r2

Positions des cercles

13

Extérieurs

17

Tangents extérieurement

9

Tangents intérieurement

3) Soit C(O, r) et la droite m. Complète le tableau ci-dessous
r

d(O, m)

a)

4

9

b)

6

6

c)

11,1

8,4

d)

19,56

Position de la droite et du cercle

Tangents
27

4) Le Cosinus, un club de jeunes, organise un concours. Dissimulées dans le village, trois clés
permettent d’ouvrir un coffre dans lequel se cache un cadeau. Recherche par
construction les trois clés en te référant aux indications suivantes :





Première clé : A
|AE| = |AC| = |AM|
Deuxième clé : B
d(B, EM) = 3 cm et B est entre C et M
Troisième clé : D
|CD| = 3 cm et D se trouve entre E et C

5) Un cow-boy et sa monture galopent le long d’une route du Colorado. Chaque fois qu’il
voit deux indiens (A et B) à la même distance, il tire un coup de fusil pour prévenir ses
compagnons.
Réalise une consctruction pour indiquer avec
précision les endroits de la route où il tirera un
coup de feu.
Combien de coup de fusils a-t-il tiré ?
…………………………

28

6) Ce manège tournant fait sensation. On s’installe dans un des fauteuils (A ou B) et le plateu
circulaire commence à tourner.
a) Une caméra (C) placée sur le
cercle à égale distance des points A et B,
filme la scène.
Détermine l’endroit precis du cercle où la
caméra est installée si C et O sont situés
du meme côté du segment [AB]
b) Deux projecteurs sont montés, sur
le cercle, pour permettre une prise de
vue optimale.
Détermine les deux endroits précis du
cercle où les deux projecteurs (P1 et P2)
sont plantés si le triangle formé par les
deux fauteuils et un projecteur est un
triangle rectangle.

7) La place du dompteur (D) est primordiale. Avant de
faire entrer le quatrième tigre, il doit se positionner de
la manière suivante : il se trouve d’une part à égale
distance des tigres A (Amadéus) et B (Balthazar), et
d’autre part, à égale distance des axes AC et BC, plus
proche de Balthazar (B) que de Cornélius (C). place le
point D à l’endroit prévu.

29

8) Soit C1(O1, r1) et C2(O2, r2) deux cercles. Sachant que r1 = 4 cm et r2 = 3 cm.
Que doit valoir |O1O2| pour que :
a) Les cercles soient sécants ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
b) Les cercles soient intérieurs ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
c) Les cercles soient tangents extérieurs ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
d) Les cercles soient concentriques ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
e) Les cercles soient tangents intérieurs ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
f) Les cercles soient extérieurs ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
9) Soit C un cercle de centre O et de rayon 3,5 cm et une droite a.
Que doit valoir d(O, a) pour que :
a) La droite soit sécante au cercle ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
b) La droite soit extérieure au cercle ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….
c) La droite soit tangente au cercle ?
……………………………………………………………………………………………………………………………….

10) Sur une feuille à glisser dans ton classeur, construis le cercle circonscrit à chaque triangle
dont les côtés mesurent respectivement :
a) 3 cm ; 4 cm ; 5 cm
b) 3 cm ; 5 cm ; 7 cm
11) Sur une feuille à glisser dans ton classeur, construis le cercle inscrit dans les triangles dont
les côtés mesurent respectivement :
a) 10 cm ; 8 cm ; 6 cm
b) 12 cm ; 8 cm ; 6 cm

30




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