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Math 2Bac Sx National de 2003 A 2008 Avec Corrigés .pdf



Nom original: Math 2Bac Sx National de 2003 A 2008 Avec Corrigés.pdf
Auteur: MoZarD

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‫‪ ‬ﺑﺴﻢ‪ ‬ﺍﷲ‪ ‬ﺍﻟﺮﺣﻤﻦ‪ ‬ﺍﻟﺮﺣﻴﻢ‬
‫‪ ‬ﻭﺍﻟﺼﻼﺓ‪ ‬ﻭﺍﻟﺴﻼﻡ‪ ‬ﻋﻠﻰ‪ ‬ﻣﻦ‪ ‬ﻻ‪ ‬ﻧﺒﻲ‪ ‬ﺑﻌﺪﻩ‪ ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺧﻴﺮ‪ ‬ﺍﻷﻧﺎﻡ‪ ‬ﻭﻋﻠﻰ‪ ‬ﺁﻟﻪ‪ ‬ﻭﺻﺤﺒﻪ‪ ‬ﺃﺟﻤﻌﻴﻦ‬

‫‪ ٬ ‬ﻭﻟﻠﺮﺟﻮﻉ‪ ‬ﻟﻠﻔﻬﺮﺱ‪ ‬ﺇﺿﻐﻂ‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬ﻟﺘﺼﻔﺢ‪ ‬ﺃﻱ‪ ‬ﺩﺭﺱ‪ ‬ﺇ‪ ‬ﺿﻐﻂ‪ ‬ﻋﻠﻰ‪ ‬ﻋﻨﻮﺍﻧﻪ‪ ‬ﻓﻲ‪ ‬ﺍﻟﻔﻬﺮﺱ‪ ‬ﻭﻛﺬﻟﻚ‪ ‬ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻳﻦ‬
‫‪ ‬ﻋﻠﻰ‪ ‬‬

‫‪ ‬ﺗﺠﻤﻴﻊ‪ ‬ﻭﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ ‬ﻭﻓﻬﺮﺳﺖ‬
‫‪Almohannad ‬‬
‫ﻋﻀﻮ‪ ‬ﺑﻤﻨﺘﺪﻳﺎﺕ‪ ‬ﺩﻓﺎﺗﺮ‬

‫‪ ‬ﻫﺬﻩ‪ ‬ﺍﻟﻤﻮﺍﺿﻴﻊ‪ ‬ﻗﺪﻣﺖ‪ ‬ﻣﻦ‪ ‬ﻃﺮﻑ‪: ‬‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2003 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2003 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2003 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2003 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2004 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2004 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2004 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2004 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2005 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2005 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2005 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2005 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2006 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2006 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2006 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2006 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2007 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2007 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2007 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2007 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2008 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻧﻴﻮ‪ 2008 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2008 ‬ﺍﻟﻤﻮﺿﻮﻉ‬
‫‪ ‬ﻳﻮﻟﻴﻮﺯ ‪ 2008 ‬ﺍﻟﺤﻞ‬

‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪Memb res .lycos.fr/hamidbouayoun ‬‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪Membres.lycos.fr/hamidbouayoun ‬‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪ ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺤﻴﺎﻥ‪ ‬ﺛﺎ‪  . ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ ‬ﻭﺭﺯﺍﺯﺍﺕ‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪SAIDBOUZAWIT­  lyc…e Abdelali Benchakroune ‬‬
‫‪http://arabmaths.ift.fr ‬‬
‫‪Prof: BEN ELKHATIR  Lycée :Khémisset­ALFATH ‬‬
‫‪WWW .0ET1.COM ‬‬
‫‪MOUZDAHIR LAHSAN  http://arabmaths.ift.fr ‬‬
‫‪ ‬ﺫ‪ : ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﻣﻴﺴﻮﺭﻱ‬
‫‪ ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺤﻴﺎﻥ‪ ‬ﺛﺎ‪  . ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ ‬ﻭﺭﺯﺍﺯﺍﺕ‬
‫‪ ‬ﺫ‪ : ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﻣﻴﺴﻮﺭﻱ‬
‫‪ ‬ﺫ‪ : ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﻣﻴﺴﻮﺭﻱ‬
‫‪http://arabmaths.ift.fr ‬‬
‫‪ ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺤﻴﺎﻥ‪ ‬ﺛﺎ‪  . ‬ﻣﺤﻤﺪ‪ ‬ﺍﻟﺴﺎﺩﺱ‪ ‬ﻭﺭﺯﺍﺯﺍﺕ‬
‫‪ ‬ﺍﻟﻤﺮﺑﻲ‪ ‬ﻋﻀﻮ‪ ‬ﺑﻤﻨﺘﺪﻳﺎﺕ‪ ‬ﺩﻓﺎﺗﺮ‬
‫‪ ‬ﻏﻴﺮ‪ ‬ﻣﺘﻮﻓﺮ‬



‫ ‬
‫ ‬

‫ ‬


‫ ‪2003 :‬‬
‫)
(‬

‫ ‬
‫‪ 3‬‬
‫ ‪:‬‬
‫‪7 :‬‬
‫ ‬

‫ا ا ول‬
‫‪ (1‬ل اء ا ا ‪I = ∫ ln ( x ) dx‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ (2‬ا ا ‪x e x dx‬‬

‫‪ln 4‬‬

‫∫ = ‪ ! ) J‬و ‪( t = e x‬‬

‫‪0‬‬

‫ا ا ‬
‫!‪0 %‬ي آ(‪ , - $ .‬آﺭات (' ء &‪ %‬ا ‪#$‬اد ‪ 2 ، 1 ، 1 ، 0 ، 0 ، 0‬وآﺭ&( ‬
‫ ‪0‬داو! &‪4 %‬ن ا ‪#‬د! ‪1 ، 0‬‬
‫) ‪ ! 6‬ا (( ( ‪.( . 5‬‬
‫=‪0<$ %‬ا;( و‪8 9:‬ن وا ‪ #‬آﺭ&( ا (‪..‬‬
‫‪ (1‬ا ا ل آ ا ‪: (>#%‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.5‬‬

‫‪ " : A‬ﺭ&( ا ‪ .B= ( 0%‬ا ‪0‬ن "‪.‬‬
‫‪# " :B‬اء ا ‪#‬د! ا ‪ - $ ( E‬ا ﺭ&( ا ‪# ( 0%‬م "‪.‬‬
‫‪G = (2‬ﺭ ا ‪(F‬ﺭ ا <‪0‬ا;‪ X 9‬ا ‪J‬ي !ﺭ ‪ I‬آ ‪0 E G%‬ع ا ‪#‬د! ا ‪ - $ ( E‬ا ﺭ&( ‬
‫ا ‪. ( 0%‬‬
‫ ‪#‬د ‪0= L‬ن ا ل ا ‪(F‬ﺭ ا <‪0‬ا;‪.X 9‬‬

‫ا ا ‬
‫ ( ‪#$ m‬دا ‪ ( 0 !#O$‬ر‪2 M‬‬

‫و‪&# $‬ﻩ ‪ α‬و= ‪G‬ﺭ ‪ $0 E 9:‬ا ‪#$‬اد ا ‪ !#O‬‬

‫ا د )‪J= ) mz 2 − 2 z + m = 0 :(E‬آﺭ أن ‪ m‬ه‪ 0‬ﺭا‪ m S:‬و ‪.( m = mm‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬

‫‪1− i‬‬
‫‪1+ i‬‬
‫= ‪ z′‬و‬
‫‪ ( (1‬أن ‪ 9‬ا د )‪ (E‬ه ‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪z′‬‬
‫‪ (2‬اآ آ ‪ z′‬و ‪ z′′‬و‬
‫‪z ′′‬‬

‫= ‪. z ′′‬‬

‫‪ V - $‬ا ‪.9U U‬‬

‫ ‬
‫‪ 9: (3‬ا ‪0‬ى ا ‪#O‬ي ا ‪0‬ب إ ‪G = ، ( O, u , v ) YZ # Y -‬ﺭ ا ‪ A IO‬و‪ B‬و‪C‬‬

‫ا ‪ 9‬أ ‪ - $ 5L %‬ا ‪0‬ا ‪ 9‬ه‪ z′ 9‬و ‪ z′′‬و ‪ ( ,. z′ + z ′′‬أن ا ﺭ ‪ OACB 9$‬ﺭ ‪.‬‬

‫ا ا ا ‬
‫‪ 9:‬ا ‪ 'B‬ء ا ‪0‬ب إ ‪G = ،YZ # Y -‬ﺭ ا ‪ A (2,0,2) `O‬وا ‪0‬ى‬

‫) ‪ ( P‬ذا ا د ‪x + y − z − 3 = 0‬‬
‫‪0.5‬‬

‫‪# (1‬د & ‪ 4(U‬را ﺭ! ‪ (D) Y(O‬ا ر ‪ A‬وا ‪0‬دي ‪ - $‬ا ‪0‬ى ) ‪. ( P‬‬

‫‪0.5‬‬

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‫‪G = (3‬ﺭ ا ‪ ( S ) B‬ا ‪ 9‬ﺭآ ه ‪ A‬وا ‪ `O& 9‬ا ‪0‬ى ) ‪ ( P‬و‪ S:‬ا ‪#‬ا;ﺭة ا ‪9‬‬
‫ ﺭآ ه ‪ B‬و‪2 5$ V‬‬

‫‪0.5‬‬

‫أ‪# -‬د ‪ V‬ع ا ‪. ( S ) B‬‬

‫‪0.5‬‬

‫ب‪ -‬اآ د د! ر&( ‪. ( S ) B‬‬

‫ ـــــــــ ــــــــ ‬
‫= ‪G‬ﺭ ا ‪#‬ا ‪ f‬ا ﺭ‪:9 ! - $ :‬‬

‫‪f ( x ) = ln (1 − x3 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( x ) = 4 x x − 3 x 2 ‬‬

‫ ‪x < 0‬‬
‫ ‪x ≥ 0‬‬

‫و ( )‪ (C‬ا ‪ - %‬ا ‪# U‬ا ‪.YZ # Y 9: f‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ (1‬أ‪ ( -‬أن ا ‪#‬ا ‪ f‬ﺹ ‪ 9:‬ا ‪.0 `O‬‬
‫) ‪ln (1 + t‬‬
‫ب‪ ( -‬أن ا ‪#‬ا ‪ O V4 L f‬ق ‪ 9:‬ا ‪J= ) 0 `O‬آﺭ ‪h‬ن ‪= 1‬‬
‫‪t‬‬

‫‪.( lim‬‬
‫‪t →0‬‬

‫‪1.5‬‬

‫‪ ( (2‬أن ا ‪#‬ا ‪L & f‬ﺹ( ‪ - $‬ا ‪ ]−∞, 0[ ( E‬و [∞‪ [1, +‬و& ا!‪ - $ !#‬ا ‪ E‬ل ]‪. [ 0,1‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪ (3‬أ‪ -‬ا ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪. lim f ( x‬‬
‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫)‬

‫‪−3‬‬

‫‪ln ( − x ) ln (1 − x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪+‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫‪0.5‬‬

‫ب‪ SO%& -‬أ=ﻩ ‪، x < 0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫ج‪ -‬ادرس ا ‪B‬ﺭ‪ ($‬ا ‪.(C) - % ((; 5=4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ (4‬أ=<‪ l‬ا ‪.(C) - %‬‬
‫‪L h ( (5‬ﺹ‪0‬ر ا ‪#‬ا ‪ - $ f‬ا ‪ E‬ل [‪. ]−∞, 0‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪1‬‬

‫أ‪ ( -‬أن ‪ O& h‬ا ‪ E‬ل [‪ E 0%= ]−∞, 0‬ل ‪.M#!#%& E! J‬‬
‫ب‪# -‬د ) ‪ x h −1 ( x‬ا ‪ E‬ل ‪.J‬‬
‫‪G = (6‬ﺭ ا ( ) ‪ ( un‬ا ﺭ‪:9 ! :‬‬

‫‪4‬‬
‫‪9‬‬

‫= ‪ u0‬و ‪. n un +1 = 4un un − 3un2‬‬

‫! ‪ 9 ! (:‬ا ل = ;‪ p‬درا ا ‪#‬ا ‪. f‬‬
‫‪0.5‬‬

‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬

‫أ‪-‬‬

‫‪4‬‬
‫ ( ﺭ أن ‪≤ un ≤ 1‬‬
‫‪9‬‬

‫ ‪. n‬‬

‫ب‪ ( -‬أن ا ( ) ‪ & ( un‬ا!‪. !#‬‬
‫ج‪ -‬ا ‪ p‬أن ا ( ) ‪ O ( un‬ر >‪ Y‬ا =‪. 5 ! 5‬‬

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬

. I  x lnx  x   2 ln 2  1
2dt
. (t  e x  dx 
)  J  4 I  8 ln 2  4
t
2
1

(1
(2

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

. pB  

xi
pX  xi 

C C C
11

2
14
C8
1
4

1
4

0

C 42
3

2
C8 14

2
4

.

pA 

C C
4

2
7
C8
2
6

1

2

C 31C 41 3

7
C82

C 32  C11C 41 1

4
C 82

2
2

(1
(2
3
C11C 31
3

2
28
C8

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

1 i
1 i
, z" 
m
m
z'   
 

 

.
 1,  ‫ إذن‬z '  1,    ‫ و‬z"  1,   
z"  2 
 4

 4


mm  2

(1

' 1  mm  1  z ' 

(2

. ‫ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬OABC  OC  OA  OB  aff C   aff A  aff B  (3
OA
z'
 z'  
. ‫ ﻣﺮﺑﻊ‬OABC   OB, OA   arg   2  ‫ ﻣﻌﯿﻦ و‬OABC 

1


OB z"
 z"  2

x  2  t

. D  y  t
z  2  t


: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬
t  IR

(1

Bx, y, z   D  P  t  IR / 2  t   t  2  t   3  0 (2
 t  1  B3,1,1
( d  d A, P  ، ‫ ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮة‬r ، ‫ ﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ‬R )
-‫( أ‬3
R2  r 2  d 2
223
. R  7  ( d  AB  3 ‫ ) أو‬d 
 3 ‫ و‬r2
3

S : x  2 2  y 2  z  2 2  7

-‫ب‬

: ‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬

f x   lim
f x   0  f 0 
. lim


0

f x 
 lim
4 x  3 x  0 -‫ب‬
0
0
x
3
f x 
ln 1  x 3
2 ln 1  x
lim

lim

lim

x
.
0
0
0
0
x
x
 x3
.0 ‫ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ‬f  f d ' 0   f g ' 0 

. f d ' 0  0 
ln 1  t  

f g ' 0   0   lim
 1 .
0
t



lim




f ' x  

. x  0

-‫( أ‬1

0

 3x 2

1  x3

3

. ( x x  x2 )

x  0





x   ,0 



f ' x   6 x 1  x



f ' x  0

(2



: ‫ إذن‬، 1, ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬1  x  0 ‫ و‬0,1 ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬1  x  0 ‫و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

 4

. lim f x   lim x 2 
 3    ‫ و‬lim f x   -‫( أ‬3



 x

ln 1  x 3
ln  x 3  x 3  1 3 ln x   ln 1  x 3
x  0


-‫ب‬
x
x
x
3 ln x  ln 1  x 3


x
x
f x 
.   ‫ ﺑﺠﻮار‬Oy ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه‬C  lim
 lim 4 x  3 x   -‫ج‬


x
f x 
.   ‫ ﺑﺠﻮار‬Ox ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه‬C  lim
0

x

















: ‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬4

. h ,0  0, ‫ ﻧﺤﻮ‬ ,0 ‫ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬h ‫ إذن‬ ,0 ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬h -‫( أ‬5
-‫ب‬
y  h 1 x  x  hy / x  0,‫ و‬y   ,0





x  ln 1  y 3  y 3  1  e x
  y   e x  1
3

. x  0 h 1 x   3 e x  1

‫إذن‬

 y  3 e x  1
4
4
( ‫)اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ‬
 U 0   1 : n  0 ‫ ﻣﻦ أﺟﻞ‬-‫( أ‬6
9
9
4
4
4 
f    f U n   f 1 ‫ إذن‬ ,1 ‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f :  U n  1 ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬
9
9
9 
4 16
. 
 U n 1  1 ‫ﯾﻌﻨﻲ‬
9 27
4
. n  IN
: ‫إذن‬
 Un 1
9
16
4
.( n  0 ‫ )اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ ﻣﻦ أﺟﻞ‬U 1 
 U 0  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬: ‫ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ‬-‫ب‬
27
9
4 
f (U n 1 )  f (U n ) ‫ إذن‬ ,1 ‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f : U n 1  U n ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬
9 
.‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ‬U n ‫إذن‬
U n  2  U n 1 ‫ﯾﻌﻨﻲ‬

‫‪ 16 ‬‬
‫‪4 ‬‬
‫ج‪ -‬ﻧﻀﻊ ‪ f . I   ,1‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪. f I    ,1  I‬‬
‫‪ 27 ‬‬
‫‪9 ‬‬
‫‪ U n ‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ) ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ و ﻣﻜﺒﻮرة ( إذن ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ ‪ l‬ﺗﺤﻘﻖ ‪. f l   l‬‬
‫‪1‬‬
‫إذن ‪ l  :‬أو ‪ l  1‬أو ‪ f l   l  l  0‬و ﻣﻨﮫ ‪. lim U n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬

‫اﻟﻤﻤﻠﻜﺔ اﻟﻤﻐﺮﺏﻴﺔ‬

‫اﻻﻡﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲ اﻟﻤﻮﺣﺪ ﻟﻨﻴﻞ ﺵﻬﺎدة اﻟﺒﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ‬

‫وزارة اﻟﺘﺮﺏﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ و اﻟﺸﺒﺎب‬

‫دورة ﻳﻮﻟﻴﻮز ‪2003‬‬

‫اﻟﺸﻌﺒﺔ‪ :‬ع ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ – ع ت أ – ع ز‬
‫اﻟﻤﺪة‪ 3 :‬ﺳﺎﻋﺎت‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬
‫‪02, 5‬‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ ﻡﺒﺎﺵﺮ ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ P‬و اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ( S‬اﻟﻤﻌﺮﻓﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاي ﺏﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‬

‫‪( p) :‬‬

‫اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻴﺘﻴﻦ‪x + y − z + 3 = 0 :‬‬

‫و ‪x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z + 1 = 0‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻡﺮآﺰ و ﺵﻌﺎع اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ -2‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻡﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫‪1,5‬‬

‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻥﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬و اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫‪02,5‬‬
‫‪1‬‬

‫‪0,5‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬

‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻡﻞ ‪ln x dx‬‬

‫‪e1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪. I = ∫1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪2t‬‬
‫‪b‬‬
‫‪=a+‬‬
‫‪ -2‬أ‪ -‬أوﺝﺪ ‪ a‬و ‪ b‬ﺏﺤﻴﺚ‬
‫‪1+ t‬‬
‫‪1+ t‬‬

‫‪1‬‬

‫‪02,5‬‬

‫‪.(S ) :‬‬

‫ب‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﺘﻜﺎﻡﻞ ‪dx‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1+ 2 + x‬‬

‫‪2‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ t‬ﻡﻦ }‪. \ − {−1‬‬

‫∫ = ‪ ) J‬ﻳﻤﻜﻦ وﺽﻊ ‪( t = 2 + x‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬
‫ﻳﺤﺘﻮي آﻴﺲ ﻋﻠﻰ ﺳﺖ آﺮات ﻻ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﺏﻴﻨﻬﺎ ﺏﺎﻟﻠﻤﺲ‪ ،‬و ﺗﺤﻤﻞ اﻷﻋﺪاد ‪ -2‬و ‪ -1‬و ‪ 0‬و ‪ 1‬و ‪ 1‬و ‪. 2‬‬
‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﻥﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ ﻓﻲ ﺁن واﺣﺪ ﺛﻼث آﺮات ﻡﻦ اﻟﻜﻴﺲ‪.‬‬
‫‪ -1‬ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﺤﺪﺛﻴﻦ‪:‬‬
‫‪ " : A‬ﻡﻦ ﺏﻴﻦ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺴﺤﻮﺏﺔ‪ ،‬ﺗﻮﺝﺪ آﺮة ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺗﺤﻤﻞ "‬
‫‪ " : S‬ﻡﺠﻤﻮع اﻷﻋﺪاد اﻟﻤﻜﺘﻮﺏﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺴﺤﻮﺏﺔ ﻡﻨﻌﺪم "‬

‫‪0,5‬‬

‫أ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪A‬‬

‫‪1‬‬
‫ب – ﺏﻴﻦ أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ S‬ﻳﺴﺎوي‬
‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ -2‬ﻥﻜﺮر اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺴﺎﺏﻖ أرﺏﻊ ﻡﺮات ) ﻥﻌﻴﺪ ﻓﻲ آﻞ ﻡﺮة اﻟﻜﺮات اﻟﻤﺴﺤﻮﺏﺔ إﻟﻰ اﻟﻜﻴﺲ(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪02,5‬‬

‫ﻡﺎ هﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺪث ‪ S‬ﺛﻼث ﻡﺮات ﺏﺎﻟﻀﺒﻂ‪.‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬
‫‪ -1‬أ‪ -‬أآﺘﺐ ﻋﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ) ‪. ( 4 + i‬‬
‫‪2‬‬

‫‪0,5‬‬
‫‪1‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﻞ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ^ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z 2 + ( 2 − 3i ) z − 5 (1 + i ) = 0‬‬
‫‪ -2‬ﻥﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ هﻲ ‪ a = 1 + 2i‬و ‪ b = −3 + i‬و ‪. c = 6i‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬

‫‪c−a‬‬
‫أ‪ -‬أآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي‬
‫‪b−a‬‬

‫‪.‬‬

‫ب – اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ و ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ‪.‬‬

‫‪09‬‬

‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‬
‫اﻟﺠﺰء اﻷول‬
‫ﻥﻌﺘﺒﺮ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0; +‬ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫‪f ( x) = x − 2 x + 2‬‬
‫‪0,5‬‬

‫‪ -1‬ﺏﻴﻦ أن ∞‪lim f ( x ) = +‬‬

‫‪0,5‬‬

‫‪ -2‬أدرس ﻗﺎﺏﻠﻴﺔ اﺵﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ -3‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪ [ 0;1‬و ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [1;+‬‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻥﻲ‬
‫ﻥﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫‪ u0 = 2‬و ) ‪∀n ∈ ` un+1 = f ( un‬‬
‫ﻳﻤﻜﻨﻚ ﻓﻲ ﻡﺎ ﻳﻠﻲ اﺳﺘﻌﻤﺎل ﻥﺘﺎﺋﺞ دراﺳﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ -1‬ﺏﻴﻦ ﺏﺎﻟﺘﺮﺝﻊ أن ‪∀n ∈ ` 1 ≤ un ≤ 2‬‬
‫‪ -2‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‪.‬‬
‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ) ‪ (u n‬ﻡﺘﻘﺎرﺏﺔ ﺛﻢ أﺣﺴﺐ ﻥﻬﺎﻳﺘﻬﺎ‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
‫ﻥﻌﺘﺒﺮ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ [ 0; +‬ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬

‫)‪g ( x ) = ln( x − 2 x + 2‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻡﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ ﻡﻤﻨﻈﻢ‪.‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪0,5‬‬

‫‪ -1‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ ) ‪lim g ( x‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫ب‪ -‬أدرس اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻥﻬﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ -2‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ) g‬ﻥﻘﺒﻞ أن ∞‪= −‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ -3‬أﻥﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. (C‬‬

‫)‪g ( x ) − g ( 0‬‬
‫‪x‬‬

‫‪ -4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [1; +‬‬
‫‪0,5‬‬
‫‪1‬‬

‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ h‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻡﻦ [∞‪ [1;+‬ﻥﺤﻮ ﻡﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﻴﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ ‪.‬‬

‫ب‪ -‬ﺣﺪد )‬

‫‪ h −1 ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻡﻦ ‪. J‬‬

‫‪( lim‬‬

‫‪x →0 +‬‬

.‫ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ‬

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬
2
r  1 ‫ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻔﻠﻜﺔ و‬1,0,1  S : x  1  y 2  z  1   1  0 (1
2

. S  ‫ ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ‬P   d , P 

1 2  2

 1  r (2
1 4  4
P ‫ ﻣﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬P ‫ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ ھﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬H  S  ‫ و‬P  ‫ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس‬H a, b, c  (3
a  1  t
b  2t


. t  IR / 
: ‫ وﻣﻨﮫ‬،  ‫ ﻣﻮﺟﮭﺔ ل‬P  ‫ اﻟﻤﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬n 1,2,2 ‫إذن‬
c  1  2t
a  2b  2c  2  0
1
 4 2 1
H  , ,   t   1  t  2 2t   2 1  2t  2  0 ‫إذن‬
3
 3 3 3

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬
(1

e1
1
I   1 ln x dx   ln x dx 
1 x
e x
1

1

e

1
 1

1

I   ln 2 x    ln 2 x   ln x   ln' xlnx
x
 2
1 2
1

. I  1 ‫إذن‬

‫و‬

e

a  2
2t
b
at  a  b
. b  2 ‫ و‬a  2  

a

-‫( أ‬2
1 t
1 t
a  b  0 1  t
3 2t
. J 
dt  dx  2t dt ‫ و‬x  t 2  2  t  2  x -‫ب‬
2 1 t
3
2
3
3
.J   2
: -‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل أ‬
dt  2t  ln 1  t 2  2  2 ln 
2
1 t
4

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

pA 

C
4
1
 p A 

5
5
C
3
4
3
6

 "1‫ﻛﺮات ﻻ ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬3 ‫"ﺳﺤﺐ‬: ‫ ھﻮ‬A ‫ اﻟﺤﺪث‬-‫( أ‬1

-1‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬1 ‫ أو ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬-2‫وﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬1‫"ﻛﺮﺗﺎن ﺗﺤﻤﻼن اﻟﺮﻗﻢ‬: ‫ ھﻮ‬S ‫ اﻟﺤﺪث‬-‫ب‬
: ‫ " إذن‬0 ‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬-2 ‫ و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬2‫ أو ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬0 ‫و ﻛﺮة ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ‬

pS  

C 22 C11  C11C11C11  C 21 C11C11 1

5
C 63

1
. p  C 43  
5

3

 1  16
‫ إذن‬، ‫ ﺛﻼث ﻣﺮات ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ‬S ‫ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﺤﻘﻖ‬p ‫( ﻧﺴﻤﻲ‬2
1   
 5  625

. 4  i   15  8i
2

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬
‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬1

(  ‫ )اﻟﺠﺬرﯾﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﯿﻦ ل‬d   4  i     2  3i   20 1  i  15  8i -‫ب‬
 2  3i  4  i
 2  3i  4  i
. z" 
1  2 i ‫ و‬z ' 
 3  i ‫إذن‬
2
2
ca  
c  a  1  4i  1  4i  4  i 
.
 1,  


 i ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬2
ba  2
ba 4i
17
AC c  a
. A ‫ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬ABC 

 1 -‫ب‬
AB b  a

ca
. A ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ‬ABC   AB, AC   arg
   2 


2
ba
2

: ‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬

: ‫اﻟﺠﺰء اﻷول‬


2
2
. lim f x    ‫ إذن‬f x   x1 
  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬1
x  
x x

f x  f 0
f x  f 0 x  2 x
2
‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬2
lim
  

 1
x 0
x
x
x
x
. 0  ‫ ﻏﯿﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ‬f ، ‫إذن‬
. x  1 ‫ ھﻲ إﺷﺎرة‬f ' x ‫ إذن إﺷﺎرة‬f ' x   1 

1
x



x 1
x

: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,‫ ﻣﻦ‬x ‫( ﻟﻜﻞ‬3
: ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﯿﺮات‬

:‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

‫ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﺤﻘﻘﺔ‬. 1  U 0  2  2 : n  0 ‫( ﻣﻦ أﺟﻞ‬1
f 1  f U n   f 2 ‫ ﻓﺈن‬1,2‫ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f ‫ ﺑﻤﺎ أن‬. 1  U n  2 ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬
( 4  2 2  2 ) 1  U n 1  2 ‫ و ﻣﻨﮫ‬1  U n 1  4  2 2 ‫إذن‬
. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬1  U n  2 : ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬

‫‪ (2‬ﻧﺒﯿﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪:‬‬
‫ﻣﻦ أﺟﻞ ‪n  0‬‬

‫‪:‬‬

‫‪U n 1  U n‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪. IN‬‬

‫‪ U 0  2‬و ‪U1  4  2 2‬‬

‫إذن ‪U 1  U 0‬‬

‫ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ U n 1  U n‬ﺑﻤﺎ أن ‪ f‬ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‪ 1,2‬ﻓﺈن ‪U n  2  U n 1  f U n 1   f U n ‬‬
‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ U n 1  U n :‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪ ، IN‬أي أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‪ U n ‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ‪.‬‬
‫‪ (3‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‪ U n ‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد‪ 1‬ﻓﮭﻲ إذن ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫ﻧﻀﻊ ‪ . I  1,2‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬و ‪ f I   1,4  2 2  I‬و ‪ U n ‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ‪،‬‬

‫إذن ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ ‪ l‬ﺗﺤﻘﻖ ‪ f l   l‬وھﺬا ﯾﻌﻨﻲ أن ‪ l  2 l  2  l‬أي‬

‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬

‫‪ (1‬أ‪lim f x    -‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪. lim g x    ‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪g x ‬‬
‫‪ln x  2 x  2 x  2 x  2‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪.‬‬
‫ب‪ 0 -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 x 2‬‬
‫‪ln x  2 x  2‬‬
‫‪x2 x 2‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪ lim‬و ‪ 0‬‬
‫ﻷن ‪ 1 :‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪x  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2 x 2‬‬
‫‪ C ‬ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار ‪.  ‬‬
‫‪f ' x‬‬
‫‪. x  0,  , g ' x ‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
‫‪f x‬‬
‫إذن إﺷﺎرة‪ g' x ‬ھﻲ إﺷﺎرة ‪ f x   0 ) f ' x ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪.( IR ‬‬
‫‪lim‬‬

‫‪‬‬

‫و ﻣﻨﮫ ﺟﺪول إﺷﺎرة‪ g' x ‬ھﻮ ‪:‬‬

‫‪x  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪. l 1‬‬

:‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬3

. h1,  0, ‫ ﻧﺤﻮ‬1,‫ ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬، 1,‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬h -‫( أ‬4
x  0,, y  1,
y  h 1 x  x  hy : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬- -‫ب‬
: ‫إذن‬
x
e  y  2 y  2  x  ln y  2 y  2

ex 1 

 y  1 



2

ex 1 1 

1 





y 

 y  1  0 ‫ و‬e

x

1  0

2

ex 1  y 

0, ‫ﻣﻦ‬



x ‫ ﻟﻜﻞ‬h 1 x   1  e x  1


2

: ‫و ﻣﻨﮫ‬



‫ ‬
‫ ‬

‫ ‬


‫ ‪2004 :‬‬
‫)
(‬

‫ا ا ول ) ‪ 3‬و (‬

‫ ‬
‫‪ 3‬‬
‫ ‪:‬‬
‫‪7 :‬‬
‫ ‬

‫ ‬
‫ا ء ) ‪ ! ( E‬ب إ ‪O, i , j , k‬‬

‫)‬

‫(‬

‫ ‪ $% & ( S ) "#‬ا ) ‪* M ( x, y, z‬ﺡ('‪x 2 + y 2 + z 2 − 4 y + 2 z + 2 = 0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪ "(* (1‬أن ) ‪ $# 2 ( S‬آ‪0‬ه )‪ Ω ( 0, 2, −1‬و ‪. r = 3 3%‬‬

‫‪ (2‬أ‪9 -‬ﺡ ‪ " 8‬أن ا ‪ : 9 A ( −1,1, 0 ) $7‬إ ا ‪. ( S ) $#‬‬

‫ب‪ -‬اآ = د ‪ $‬ا ! ى )‪ (P‬ا س ‪ % ( S ) $#‬ا ‪. A $7‬‬

‫‪ (3‬أ‪9 -‬ﺡ ‪ " 8‬أن‪ x + y + z − 2 = 0 :‬د ‪ $‬د‪ #A‬ر‪ ! $(9‬ى ) ‪ ( Q‬ا ر‬
‫ ‬
‫ " ا ‪ B (1,3, −2 ) $7‬و )‪( % $( $3& n (1,1,1‬ﻩ‪.‬‬
‫ب‪ "(* -‬أن ) ‪ ( S ) C7 A ( Q‬و‪ 82‬دا‪ E‬ة ﺡ دا آ‪0‬ه و ‪. 3%‬‬

‫ا ا ‬

‫) ‪ 3‬و (‬

‫ ‪ $% & :2‬ا‪ %F‬اد ا ‪ $A‬ا د ‪. ( E ) : z 2 − 4iz − 4 (1 + i ) = 0 :$‬‬

‫ ‪ 0‬ب ‪ z1‬و ‪ z2‬ﺡ ‪ :‬ا د ‪* ( E ) $‬ﺡ(' ‪Re ( z1 ) > 0‬‬
‫‪1‬‬

‫‪ "(* (1‬أن (‪ 0‬ا د ‪ ( E ) $‬ه‬

‫‪1‬‬

‫‪ a = 2i C (2‬و ) ‪b = 2 (1 + i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ I J ∆ =  2 2 (1 + i ) ‬د ‪ z1‬و ‪. z2‬‬

‫‪9‬ﺡ ‪ " 8‬أن ‪ z1 = a + b‬و ‪ z2 = a − b‬واآ = ‪ a‬و ‪ % b‬ا ‪ L#M‬ا ‪.:K K‬‬

‫‪ :2 (3‬ا ! ى ا ي ا ! ب إ ‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬

‫ ‬

‫) ‪( O, u , v‬‬

‫ا ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ا ‪ :‬ا ﺡ ‪ % 3O‬ا ا ‪ a :‬و ‪ b‬و ‪z1‬‬
‫ ‬
‫أ ـ ‪ LK‬ا ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و‪9‬ﺡ ‪ " 8‬أن‪ OC = OA + OB :‬وأن ‪. OA = OB‬‬
‫‪3π‬‬
‫≡ ) ‪. arg ( z1‬‬
‫ب ـ اﺱ ‪ Q‬أن ‪ J "( OBCA‬أن‪[ 2π ] :‬‬
‫‪8‬‬

‫ا ا ‬

‫) ‪( 3‬‬

‫‪A‬ﺡ ي آ(‪ O (* C!9 % S‬ت ‪ "# A T‬ا ((‪ O (* :S * 3 (* 0‬ن *( وان ‪9‬ﺡ ‪V‬ن‬
‫ا ‪ 1 O‬و‪VJ‬ث *( ‪ O‬ت ‪ I‬اء ‪9‬ﺡ ‪ L‬ا‪F‬ر‪ O‬م ‪ 2،2،1‬وأر*‪ O (* C‬ت ﺱ داء ‪9‬ﺡ ‪ L‬ا‪F‬ر‪ O‬م ‪.2 ،2 ،1 ،1‬‬
‫ !ﺡ= ‪ M%‬ا‪ (E‬و‪Z :2‬ن وا‪VJ I‬ث *( ‪ O‬ت " ا ‪. S(#‬‬
‫‪ (1‬أ‪ =!I‬ا‪ I‬ل آ‪ L‬ا‪ IF‬اث ا (‪: $‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.75‬‬

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‫‪ " : B‬ا ( ‪ O‬ت ا ‪VK‬ث ا !ﺡ *‪9 $‬ﺡ ‪ S L‬ا ‪." O‬‬
‫‪ "(* " " : C‬ا ( ‪ O‬ت ا !ﺡ *‪ % a 9 $‬ا‪ $O (* LOF‬وا‪ I‬ة ‪ I‬اء "‪.‬‬
‫‪ (2‬ا‪ =!I‬ا‪ I‬ل ا ﺡ ث‪A ∩ B :‬‬

( 10 )

‫ا ا ا‬

‫ا ــــــــــ ء ا ول‬

1
2
f ( x) = 1− x − x
:: A * % $2 ‫ ا‬x : ( ‫( ا ﺡ‬u $A‫ ا د‬$ ‫ ا ا‬f "#
2
e +1

. ( O, i , j ) :2 f $ ‫ ا‬LK ‫ ( ه ا ﺡ ا‬C ) ‫و‬
. " x L#

1
1
:‫ " أن‬8 ‫ﺡ‬9 -‫( أ‬1
= 1− x
e +1
e +1
−x

.$A‫ د‬2 $ ‫ دا‬f ‫ أن‬Q ‫ اﺱ‬-‫ب‬

0.5
0.5
0.5

. lim f ( x ) =!I‫( ا‬2
x →+∞

2

1  ex −1 
. " x L# f ′ ( x ) = −  x
 :‫ *(" أن‬-‫( أ‬3
2  e +1
. + % f $ ‫( ات ا ا‬u9 ‫ ول‬a %‫ أ‬-‫ب‬
. + " x L# 1 −

2
1
≤ x :‫ أن‬Q ‫ اﺱ‬-‫ج‬
e +1 2

1.25
0.5
0.5

x


 1 
.$&( ‫ ا‬xy‫ أول ه ﺱ( ه‬J lim  f ( x ) − 1 − x   = 0 :‫( *(" أن‬4
x →+∞
 2 



1
.(C) ‫{ ا ﺡ‬M ‫ أ‬J y = 1 − x ‫ي د ﻩ‬y ‫ ( ا ! ( ا‬O, i , j ) ‫ ا‬:2 {M ‫( أ‬5
2
1
 e +1 
−x
∫−1 1 + e x dx = ln  2  :‫ *(" أن‬t = e C} * -‫( أ‬6

0.5

1.5

1.25

0

0.75

"( ( ! ‫ وا‬L(‫ ﺹ‬2F‫( و ﺡ ر ا‬C) ‫ ا ! ى ا ﺡ ر *(" ا ﺡ‬0(I $I ! =!I‫ ا‬-‫ب‬
. x = 0 ‫ و‬x = −1 : ‫ ا ا‬% 3 ‫" د‬Ay ‫ا‬

‫ا ــــــــــ ء ا‬

2
. " n L# un +1 = 1 − un
‫ و‬u0 = 1 : : A * $2 ‫ ا‬$A‫ ا د‬$( ‫ ( ا‬un ) "#
e +1

0.5
0.5

. " n L# un > 0 :‫ أن‬Ca‫( *(" * ا‬1

: ‫ " أن‬،‫ول‬F‫ء ا‬0& ‫ ' ج " ا‬K ‫ ا !ال ا‬$&( ‫ * ﺱ ل‬،8 ‫ﺡ‬9 -‫( أ‬2

0.5

1
. " n L# un +1 ≤ un
2
.$( O 9 ( un ) $( ‫ أن ا‬Q ‫ اﺱ‬-‫ب‬
n

1
. lim un =!I‫ ا‬J " n L# un ≤   :‫( *(" أن‬3
x →∞
2

http://membres.lycos.fr/hamidbouayoun

0.75

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬

x  y  z  4 y  2 z  2  x  y  2   z  1  3
2

2

2

2

2

‫( ﻟﺪﯾﻨﺎ‬1

2

 0,2,1‫ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬S ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ ل‬x 2  y  2   z  1  3
2

‫إذن‬

2

. r  3 ‫و ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ‬
. A  3  A  S -‫أ‬

(2

. M x, y, z  P   A. AM  0  x  y  z  0 -‫ب‬

. d  2  B  Q ‫ و‬Q  : x  y  z  d  0  Q  ‫ ﻣﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬n 1,1,1 -‫( أ‬3
0  2 1 2
3
‫ وﻓﻖ داﺋﺮة ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ‬S  ‫ ﯾﻘﻄﻊ‬Q   d  r  d , Q 
-‫ب‬

3
3
. Q ‫ ﻋﻠﻰ‬ ‫ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ل‬H a, b, c ‫ و ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬R  r 2  d 2 

2 2
3

a  t
b  2  t

. H 1 , 7 ,  1  t  1  t  IR / 
: ‫إذن‬
3 3
3
3
c


1

t

a  b  c  2  0









: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

.   2 2 1  i   2i  1  i  ‫ و‬  16  161  i   16i
2



2







(1

z"  2 i  2 2 1  i   2 2  2  2 2 i ‫ و‬z '  2 i  2 2 1  i   2 2  2  2 2 i
. z '  z 2 ‫ و‬z"  z1  Rez"  0
 
 
. b  2,  ‫ و‬a  2,  (2
 4
 2
-‫( أ‬3

OC  OA  OB  aff C   aff A  aff B 
OA a
 1
. OA  OB 
OB b
‫ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬OBCA  OC  OA  OB -‫ب‬

. argz1   e1 , OC 2  . ‫ ﻣﻌﯿﻦ‬OBCA  OA  OB





















. e , OC  arg b   1 OB , OA  3 2   e1 , OC  e1 , OB  OB , OC 2 
2

8

pB  

C C
1

3
6
C9
3
5

3
4

1

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
، pA 

1
2

1
3
3
9

C C C 41 2

7
C

(1

("‫ "ﻻ ﺗﻮﺟﺪ أي ﺑﯿﺪﻗﺔ ﺣﻤﺮاء ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻟﺒﯿﺪﻗﺎت اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺔ‬: C ) pC   1  p C 
pC  
. pA  B  

C3
16
5
 p C  63 
21
C 9 21

C 21 C11C 21
1

" B1 R1 N1 ": A  B (2
3
21
C9

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬

1
e
e 11
1


 1 x
-‫( أ‬1
x
x
e 1 1 e
1 e
e 1
‫ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺼﻔﺮ‬IR -‫ب‬
1
2
1
1 

x  IR, f  x   1  x   x
 1  x  21  x
   f x  ‫و‬
2
2
e 1
 e 1
. lim f x    (2
.

x

x  IR,

x

x

x  

. x  IR,

2
1
2e x
1  e 2 x  2e x  1 
1  ex 1
 -‫( أ‬3
f ' x    

   x
2 ex 1 2
2  e x  1 2 
2  e  1 







: ‫ إذن‬، IR ‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬f

1





 f ' x   0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬IR  ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫ب‬

1
2
x x
 0 ‫ ﯾﻌﻨﻲ‬f x   f 0  x  0 : ‫ إذن‬، IR  ‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ‬f -‫ج‬
2
e 1
2
1
. x  IR  : 1  x
 x ‫و ﻣﻨﮫ‬
e 1 2

 1 
. lim e x    lim  f x  1  x   0 (4
x  
x  
 2 

1
y  1  x ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ‬  ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻣﺎﺋﻼ ﺑﺠﻮار‬C 
2

‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬5

1 t
1 1
1
 dt 
 e 1
dx  
   
dt  ln

 ‫إذن‬
x
1 1  e
e 1 t
e 1 t
 t 
 2 

.

0

dx  

dt
 t  e  x -‫( أ‬6
t

0
1 

 e  1 5
 e 1
  2 ln
.    f x  dx   x  x 2   2 ln

 um  -‫ب‬
1
4  1

 2  4
 2 
0

-II
. U 0  1  0 : n  0 ‫( ﻣﻦ أﺟﻞ‬1

. U n 1  1 

1

2
e

U n 1

 0 ‫أي‬

2
e

U n 1

 1 ‫ وﻣﻨﮫ‬eU n  1  2 ‫ إذن‬U n  0 ‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬

. n  IN

2
1
 U n ‫ ( ﻓﻨﺠﺪ‬U n  0 ) x  U n ‫ ﻧﻀﻊ‬. x  IR 
e 1 2
Un

: ‫إذن‬

Un  0

2
1
 x ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬2
e 1 2
1
. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n 1  U n ‫أي‬
2
1
1
.‫ ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬U n   U n 1  U n   U n  0  U n 1  U n ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
2
2
:1

x

0

1
U 0  1     1 : n  0 ‫( ﻣﻦ أﺟﻞ‬3
2
1
.( U n 1  U n ‫)ﻷن‬
2

1
U n 1   
2

n 1

‫وﻣﻨﮫ‬

1
1
Un   
2
2

n 1

1
‫ إذن‬U n   
2

n

‫ﻧﻔﺘﺮض أن‬

1
. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n   
2
n

. lim U n  0

n

‫إذن‬
n

1
1
 lim   0 ‫ و‬0  U n    ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
2
2


3
:
7 :





2004 :
( )






( ‫)
ن و‬
. n un +1 =

‫ا ا ول‬

3
n

u
‫ و‬u0 = 1 : ‫ ( ا‬un ) ‫ ا ا د‬
3un2 + 1
. n un > 0 ‫ أن‬-‫( أ‬1
. & '( ( un ) ‫ أن ا‬-‫ب‬

( un )

. ‫ ر‬

‫ ' * أن‬+‫ ا‬-‫ج‬

1
. n un +1 ≤ un ‫ أن‬-‫( أ‬2
3

0.5
0.5
0.25
0.5

n

1
. lim un ./0‫ ا‬12 n un ≤   :‫ ' * أن‬+‫ ا‬-‫ب‬
x →+∞
3

( ‫ ﻁ و‬3 )


( O, i , j , k ) 5

‫ا ا‬

16' 1 7 ‫ب إ‬9/' ‫ ا <; ء ا‬

. x + y − 3 = 0 :‫ ( ا @ي د ﻩ‬P ) ‫ى‬9 / ‫ وا‬C (1,1, −2 ) ‫ و‬B ( 0,3, −3) ‫ و‬A (1, 2, −2 ) ‫ا ' ﻁ‬

( P ) ‫ى‬9 / + ‫وا‬

. ( P ) ‫ى‬9 / ‫ ا‬A Ω ( 0,1, −1)
' ‫ ا‬/ ./0‫ ا‬-‫( أ‬1

Ω ( 0,1, −1) ‫ه‬C‫ ( ا آ‬S ) < (‫ ' * أن د د ر‬+‫ ا‬-‫ب‬

x + y + z − 2 y + 2 z = 0 : ‫ه‬

. / E C ‫ و‬B ‫ و‬A ‫ ' * أن ا ' ﻁ‬+‫ ا‬12 AB ∧ AC ‫ د‬0 -‫( أ‬2
. ( ABC ) ‫ى‬9 / (‫ د د ر‬x − z − 3 = 0 :‫ أن‬-‫ب‬
2

2

0.5
1

2

. ( ABC ) ‫ى‬9 / +

(S )

< ‫ ا‬F G( -‫( أ‬3

. ( ABC ) ‫ى‬9 / ‫ ( وا‬S ) ‫ ' *
( س‬+‫ وا‬ΩC / ‫ ا‬./0‫ ا‬-‫ب‬

( ‫ ﻁ‬3 )

(E)

0.75

0.75
0.5
0.25
0.5

‫ا ا‬

2 z 2 − 2iz − 1 = 0 : ‫ اد ا ا د ا‬AI‫ ا‬A9 J

.( Re ( z1 ) > 0 K G ‫ ا د‬L0 ‫ ه‬z2 ‫ و‬z1 ) . ( E ) ‫ ا د‬0 -‫( أ‬1

0.75

. O O ‫ ا‬P ‫ ا‬7 A z2 ‫ و‬z1 G ‫ ا‬. ‫ اآ‬-‫ب‬

( O, e1 , e2 ) 16' 1 7 ‫ب إ‬9/' ‫ى ا ي ا‬9 / ‫( ا‬2

0.5

1 1
1 1
. s = i ‫ و‬b = − + i ‫ و‬a = + i : ‫ا ه‬9 ‫ ا‬7 A Q& G ‫ ا أ‬S ‫ و‬B ‫ و‬A ‫ ا ' ﻁ‬
2 2
2 2
a−s
.
:‫ ا د ا ي‬O O ‫ ا‬P ‫ ا‬7 A . ‫ اآ‬-‫أ‬
b−s
. S ‫او‬C ‫ ا‬1R &‫ & و‬/ ‫ وي ا‬/ SAB K O ‫ ' * أن ا‬+‫ ا‬-‫ب‬
.S OASB A ‫ أن ا‬-‫ج‬

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0.75
0.5
0.5

‫) ‪ 3‬ﻁ (‬

‫ا ا ا ‬

‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬

‫ ‪9 G‬ي آ ‪L G( & 7 A U1 f‬ن ا &‪ ،1 1‬و‪ 7 A‬أر ‪ & S‬ت (‪ G‬ا &‪2 1‬‬
‫) ‪ i‬ا ‪.( f Q' C‬‬
‫و ‪9 G‬ي آ ‪L2 7 A U 2 f‬ث آ ات ‪ 0‬اء وأر ‪ S‬آ ات ‪ ;j‬اء ) ‪ i‬ا ‪ f Q' C‬آ@ ‪.( l‬‬
‫ ‪9PA .G/‬ا‪ & R‬وا‪ 0‬ة ا ‪. U1 f‬‬
‫‪ (1‬أ‪ ./0‬ا‪ 0‬ل ا ‪ 2 G‬ن ا ن ‪.‬‬
‫‪ " :A‬ا & ا ‪ G( 9G/‬ا &‪." 1 1‬‬
‫‪ " :B‬ا & ا ‪ G( 9G/‬ا &‪." 2 1‬‬
‫‪ (2‬ه@ا ا ‪r/‬ال ا ‪ J‬ا ‪9P‬ا‪ R‬ا ‪.‬‬
‫ ‪ & .G/‬وا‪ 0‬ة ا ‪ U1 f‬و ‪ J/‬ر& ‪: Q‬‬
‫ إذا آ ن ه@ا ا &‪ 1‬ه‪9 1 9‬م ‪ .G/‬آ ة وا‪ 0‬ة ا ‪. U 2 f‬‬‫ وإذا آ ن ه@ا ا &‪ 1‬ه‪9 2 9‬م ‪ .G/‬آ ( ‪u‬ن وا‪ 0‬ا ‪. U 2 f‬‬‫ ‪ A n‬د ا ات ا ‪ G‬اء ا ‪ 9G/‬ا ‪U 2 f‬‬

‫و ‪ E2‬ا ‪ G‬ث " ا ‪9 G‬ل ; ﻁ ‪ n 7 A‬آ ة ‪ 0‬اء "‬
‫‪1.5‬‬

‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫= ) ‪ p ( E1‬و‬
‫أ‪ -‬أن‪:‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬

‫‪0.5‬‬

‫ب‪ -‬ا‪ ./0‬ا‪ 0‬ل ا ‪ G‬ث ‪ A A‬أن ا ‪ G‬ث ‪.F G E1‬‬

‫= ) ‪. p ( E2‬‬

‫) ‪ 8‬ﻁ (‬

‫ ـــــــــ ــــــــ ‬

‫ ‪ f‬ا ا ا د ‪ w‬ا ‪ x G‬ا ‪f ( x ) = ln ( x − 2 x + 2 ) :‬‬
‫‪2‬‬

‫ ‬
‫و )‪ (C‬ه‪ 9‬ا '‪ 7'G‬ا ‪ O‬ا ‪. ( O, i , j ) 16' 1 f‬‬
‫‪ (1‬أ‪ F G( -‬أن‪x x 2 − 2 x + 2 = ( x − 1) + 1 :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪0.25‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪0.5‬‬

‫ ‪.‬‬

‫ ‪ 12 7 A‬ا‪ lim f ( x ) ./0‬و ) ‪. lim f ( x‬‬

‫ب‪ -‬ا‪ * ' +‬أن ‪f‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (2‬أن‪x f ( 2 − x ) = f ( x ) :‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ ‪ 12‬ا‪ * ' +‬أن ا ‪ 1 /‬ا @ي د ﻩ ‪x = 1‬‬

‫( ‪ 2‬ا '‪.(C) 7'G‬‬
‫‪0.5‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬

‫‪ 1 2‬‬
‫‪ (3‬أ‪ F G( -‬أن‪x f ( x ) = 2 ln ( x ) + ln 1 − + 2  :‬‬
‫‪ 2 x ‬‬
‫ب‪ -‬ا‪ * ' +‬أن‪= 0 :‬‬

‫‪ (4‬أ‪ -‬أن‪:‬‬

‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬

‫)‪2 ( x − 1‬‬

‫‪+1‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪( x − 1‬‬

‫‪ 12 lim‬أو ه' ‪ +‬ه@‪ y‬ا ' ‪. J‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫= ) ‪x f ′ ( x‬‬

‫ ‪.‬‬

‫ب‪ -‬أ‪A‬ﻁ { ول (‪ w‬ات ا ا ‪. 7 A f‬‬

‫ ا ‪ J‬ل [∞‪. [1, +‬‬

‫‪9G‬ر‬

.

x f ′′ ( x ) =

2x ( 2 − x)

( x − 1)2 + 1



2

:‫ أن‬-‫( أ‬5

.(C) 7'G' ‫ ادرس ( ا‬-‫ب‬
.(C) 7'G' ‫~ ا‬P ‫( أ‬6

[1, +∞[

0.75

.y G( 1 J ‫ ل‬J 9G [1, +∞[ ‫ ل‬J ‫ ( ا‬h ‫ أن‬-‫أ‬

0.5

x h −1 ( x ) ‫ د‬0 -‫ب‬

0.5

:‫ أن‬t = x − 1 S9 -‫( أ‬8

0.5

∫ f ( x ) dx = ∫
1

0

0

−1

ln (1 + t 2 ) dt

t2
∫−1 ln (1 + t ) dt = ln 2 − 2∫−1 1 + t 2 dt :‫اء أن‬C{I ‫ ل‬+ -‫ب‬
2

0.5

‫ ل‬J ‫ ا‬7 A f ‫ر ا ا‬9 & h (7

.J

0

0.5

0

t2
1
.( t
= 1−
:‫‚ أن‬0i )
2
1+ t
1+ t2

t2
π
∫−1 1 + t 2 dt = 1 − 4
0

0.5

:‫ أن‬-‫ج‬

0.5

‫ ﺹ‬I‫ر ا‬9G ‫( و‬C) 7'G' ‫ر ا‬9 G ‫ى ا‬9 / ‫ ا‬C 0 0 / * ' +‫ ا‬-‫د‬

0.25

x = 0 ‫ و‬x = 1 ‫ا‬9 ‫ ا‬7 A ‫ ا @ د ه‬/ ‫وا‬

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:‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬
. U n 1 

3
n

U
 0 ‫ وﻣﻨﮫ‬U n3  0 ‫ إذن‬U n  0 ‫ ﻧﻔﺘﺮض أن‬. U 0  1  0 : n  0 ‫ ﻣﻦ أﺟﻞ‬-‫( أ‬1
2
1Un
. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n  0 ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬
 U n2 U n  1
 0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
1  U n2
. ‫ ﻓﮭﻲ إذن ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬، 0‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ و ﻣﺼﻐﻮرة ب‬U n  -‫ج‬

. ‫ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‬U n  ‫ إذن‬U n 1  U n 





U n3
U n3
. IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n 1
U 0

‫ إذن‬3U n2  1  3U n2 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬2
2
2
3U n  1 3U n
1

U

U n 1
n

3

U  1 U
 n 1 3 n  2

n

1
: ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
IN ‫ ﻣﻦ‬n ‫ ﻟﻜﻞ‬U n    ‫ ﻧﻀﺮب ﻃﺮﻓﺎ ﺑﻄﺮف )ﻛﻞ اﻷﻃﺮاف ﻣﻮﺟﺒﺔ( ﻧﺠﺪ‬
3


1
U 2  U 1
3

1

U 1  3 U 0
1
 U n ‫أي‬
3

3
n

n

1
1
. lim U n  0 ‫ إذن‬U n  0 ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬lim   0   1   1
3
3

. d , P  

0 1 3

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬

-‫( أ‬1
 2
2
‫ وﻣﻨﮫ‬r  2 ‫ إذن‬، P  ‫ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬S , r  -‫ب‬

S  : x 2  y  12  z  12  2
S  : x 2  y 2  z 2  2 y  2 z  0
 
AB  AC   i  k

: ‫إذن ﻣﻌﺪﻟﺔ دﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ھﻲ‬

 AB 1,1,1 ‫ و‬AC 0,1,0  -‫( أ‬2

. ‫ ﻏﯿﺮ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﯿﺔ‬C‫ و‬B‫و‬A ‫ إذن اﻟﻨﻘﻂ‬AB  AC  0

ABC :  x  z  d  0 ‫ إذن‬، ABC  ‫ ﻣﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬AB  AC ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
. ABC : x  z  3  0 ‫ و ﻣﻨﮫ‬d  3 ‫ إذن‬B0,3,3 ABC 

-‫ب‬

. ABC  ‫ ﻣﻤﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى‬S ‫ إذن اﻟﻔﻠﻜﺔ‬d , ABC  

0 1 3
2

 2  r ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬3

C  ABC  ‫ و ﻟﺪﯾﻨﺎ‬C  S  ‫ إذن‬C  2  C 1,0,1 -‫ب‬
. ABC ‫ و‬S  ‫ ھﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس‬C
: ‫إذن‬

:‫اﻟﻨﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬
. z"  z1 ‫ و‬z '  z 2 ‫ أي‬Rez"  0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ إذن‬. z" 

1 1
1 1
 i ‫ و‬z '    i   '  1 -‫( أ‬1
2 2
2 2
 2 3 
 2 
. z2  
‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
,  ‫ و‬z1  
, 
2
4
2
4




as
1 i
as  
.
‫إذن‬
‫( أ – ﻟﺪﯾﻨﺎ‬2

i
 1, 
b  s 1 i
bs  2
SA a  s
. S ‫ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬SAB ‫إذن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬

 1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
SB b  s
as 
. S ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻲ‬SAB ‫ ﯾﻌﻨﻲ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ SA, SB   arg
  2  ‫و‬


bs 2

OS  OA  OB ‫ وﻣﻨﮫ‬aff S   aff A aff B  ‫ ﯾﻌﻨﻲ‬s  a  b ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ج‬
S ‫ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﮫ‬SAB ‫ و ﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ‬، ‫ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬OASB ‫إذن اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ‬
.‫ ﻣﺮﺑﻊ‬OASB ‫ﻓﺈن‬

pB  

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬
1
(1
pA 

4
‫و‬
6
3
1 1
 1 3   2 C C  1 8 11
p E1         3 2 4   

-‫( أ‬2
 3 7   3 C 7  7 21 21

1 3 1
. pA  E1   pA. p A E1     ‫و‬
3 7 7

2 C 32
2
. pE 2    2 
‫و‬
3 C 7 21
pA  E1 
p E1 A 
‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
pE1 
3
. p E1 A 
‫إذن‬
11

:‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ‬
2
. IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬x  2 x  2  x  2 x  1  1  x  1  1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬1
2
. lim f x    ‫ و‬lim f x    . D f  IR ‫ إذن‬IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬x  1  1  0 -‫ب‬


. IR ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬f 2  x   f x  ‫ إذن‬f 2  x  4  4 x  x 2  4  2 x  2  x 2  2 x  2 ‫( ﻟﺪﯾﻨﺎ‬2
 
x  IR f 2a  x   f x O, i , j ‫ ﻓﻲ م م م‬C  ‫ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬x  a ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬:‫اﻻﺳﺘﻨﺘﺎج‬
. C  ‫ ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬x  1 ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬: ‫إذن‬
2

2

، x  1 ‫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬M ‫ ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ‬M' x' , y ' ‫ و ﻟﺘﻜﻦ‬y  f x  M x, y  C  ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬: ‫أو‬
 x  x'
1
 x'  2  x

‫ وھﺬا ﯾﻜﺎﻓﺊ‬ 2
: ‫إ ذن‬
y'  f x' ‫ ﻓﺈن‬f 2  x   f x  ‫ و ﺑﻤﺎ أن‬. 
 y'  y
 y '  y
. x  1 ‫ ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذي اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬C  ‫ و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬M ' C  ‫إذن‬

.

  2 2 
 2 2 
x  1,‫ وﺑﻤﺎ أن‬. f x   ln  x 2 1   2   ln x 2  ln1   2  -‫( أ‬3
 x x 
  x x 
  2 2 
 2 2 
f x   ln  x 2 1   2   2 ln x  ln1   2 
‫ إذن‬ln x 2  2 ln x ‫ﻓﺈن‬
x
x
x
x



 

 2 2 
ln1   2 
f x 
ln x
0
ln x
x x 
(
 lim 2
 
 0 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
 0 ‫ و‬lim
 0 ) lim
x  
x  

x
x
x

x
.   ‫ ﯾﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﯿﺎ ﻓﻲ اﺗﺠﺎه ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ ﺑﺠﻮار‬C  ‫إذن‬

f ' x  

. x  IR

. x  IR f " x  





x

2

2 x 2  2 x  2  4x  1

2

x  1  1
2

2



2 x 2 '
2x  1

-‫( أ‬4
x  2x  2
x  12  1
-‫ب‬
2



2 x2  x 

x  1  1
2

2

-‫أ‬

: ‫ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ‬f " x ‫ ﻧﻠﺨﺺ إﺷﺎرة‬-‫ب‬

B2, ln2 ‫ و‬A0, ln2 ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻟﮫ ﻧﻘﻄﺘﻲ اﻧﻌﻄﺎف‬

(5

‫( اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬6

. h1,  0, ‫ ﻧﺤﻮ‬1,‫ ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬، 1,‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬h -‫( أ‬7
x  0,, y  1,
y  h 1 x  x  hy : ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ب‬
( x  0  ex 1  0 )





y  1   e x  1  e x  y  1  1  x  ln y  1  1 ‫إذن‬
2

2

x  0, h 1 x   1  e x  1 ‫ إذن‬. y  1  e x  1 ‫ ﻓﺈن‬y  1  0 ‫و ﺑﻤﺎ أن‬









. dt  dx ‫ و‬f t   ln t 2  1  t  x  1 ‫ إذن‬f x   ln x  1  1 ‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬8
2





.  f x dx   ln 1  t 2 dt ‫و ﻣﻨﮫ‬
: ‫إذن‬

vt   t ‫ و‬u ' t  

 



2t
1 t2

 

1

0

0

1





‫ ﻓﻨﺠﺪ‬v ' t   1 ‫ و‬ut   ln 1  t 2 ‫ ﻧﻀﻊ‬-‫ب‬

  

0
2t 2
t2
dt

ln
2

2
1
1 1  t 2 dt
1
1 1  t 2
0
0
t2
1

t2
1
0




.
dt

1

dt

t

arctg
t

1

‫إذن‬
 1
‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫ج‬

1
2
2
2

1 1  t
1
4
1 t
1 t
1 t2
‫ وﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﯿﻞ و اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ اﻟﻠﺬﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬C ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬A ‫ ﻟﺘﻜﻦ‬-‫د‬
0

 
.‫ ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ‬A   f x dx  ln 2   21    ln 2   2 
‫ إذن‬، x  0 ‫ و‬x  1
1
4
2

0

ln 1  t 2 dt  t ln 1  t 2

0

0

‫ ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﻤﻮﺿﻮع ﻣﻦ أﺳﺌﻠﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻨﮭﺎ و ﺗﻤﺮﯾﻨﯿﻦ و ﻣﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬‫‪ -‬ﯾﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ‪.‬‬

‫أﺳﺌﻠﺔ ‪:‬‬

‫)أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ و ﻧﺼﻒ(‬

‫‪ (1‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ C‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪1). z  21  2i z  1  4i  0 :‬ن(‬
‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪ 3i‬‬
‫‪ (2‬ﺑﯿﻦ أن ‪  1 :‬‬
‫‪1) . ‬ن(‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪2e 3  1‬‬
‫‪ (3‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء‪ ،‬ﺑﯿﻦ أن ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ )  2‬ﯾﻤﻜﻨﻚ وﺿﻊ ‪1.5)( t  x  1‬ن(‬
‫‪ (4‬ﺑﯿﻦ أن ‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x x 1 6‬‬
‫‪x 2 ln x  dx ‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬

‫‪e‬‬

‫‪ 1) .‬ن (‬

‫‪) :‬ﻧﻘﻄﺘﺎن و ﻧﺼﻒ(‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪،‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪ P ‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪ x  y  3  0‬و اﻟﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ‬

‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﮭﺎ ‪. x  1  y 2  z  1  2‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى‪ P ‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ‪1). S‬ن(‬
‫‪ (2‬ﺣﺪد ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﯿﺎت ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس ‪ S‬و ‪1.5). P ‬ن(‬
‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫)ﺛﻼث ﻧﻘﻂ(‬

‫ﯾﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ﺛﻼث ﻛﺮات ﺑﯿﻀﺎء وﺳﺒﻊ ﻛﺮات ﺳﻮداء ﻻ ﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﺑﯿﻨﮭﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ‪.‬‬
‫‪ (1‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ و ﻓﻲ آن واﺣﺪ ﻛﺮﺗﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق‪ .‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬و ‪ B‬اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ ‪:‬‬
‫‪ ": A‬اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﻟﻮﻧﮭﻤﺎ أﺳﻮد"‬
‫‪ ": B‬ﻣﻦ ﺑﯿﻦ اﻟﻜﺮﺗﯿﻦ اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﯿﻦ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻛﺮة ﻟﻮﻧﮭﺎ أﺳﻮد"‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.25).‬ن(‬
‫و أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ B‬ﯾﺴﺎوي‬
‫ﺑﯿﻦ أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬ﯾﺴﺎوي‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺘﺠﺮﺑﺔ اﻟﻌﺸﻮاﺋﯿﺔ اﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ :‬ﻧﺴﺤﺐ ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ﺑﯿﻀﺎء ﻧﺘﻮﻗﻒ ﻋﻦ اﻟﺴﺤﺐ و إذا ﻛﺎﻧﺖ ﺳﻮداء‬
‫ﻧﻀﻌﮭﺎ ﺟﺎﻧﺒﺎ ﺛﻢ ﻧﺴﺤﺐ ﻛﺮة ﺛﺎﻧﯿﺔ و أﺧﯿﺮة ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ‪ .‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ C‬و ‪ D‬اﻟﺤﺪﺛﯿﻦ اﻟﺘﺎﻟﯿﯿﻦ ‪:‬‬
‫‪ ": C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻓﻲ اﻟﺴﺤﺒﺔ اﻷوﻟﻰ"‬
‫‪ ": D‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء"‬
‫أ‪ -‬اﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪0.75). C‬ن(‬
‫‪8‬‬
‫‪1).‬ن(‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿﻦ أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ D‬ﯾﺴﺎوي‬
‫‪15‬‬

‫ﻣﺴﺄﻟﺔ ‪:‬‬

‫)ﻋﺸﺮ ﻧﻘﻂ(‬

‫اﻟﺠﺰء اﻷول ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ‪ g‬و ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‪ 0,‬ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ‪ g x   x  1  lnx  :‬و‪. hx   x  x  2lnx ‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ g' x ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪ 0,‬ﺛﻢ ادرس ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﯿﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪0.75). g‬ن(‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ g x   0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.25) . 0,‬ن(‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.5). 0,‬ن(‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن‬
‫‪hx   1  g x  x  1lnx ‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿﻦ أن ‪ x  1lnx   0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.5). 0,‬ن(‬
‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪ hx   0‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.5). 0,‬ن(‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‪ 0,‬ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪ f x   1  x ln x  ln x ‬و ﻟﯿﻜﻦ‪ C f ‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬

‫‪2‬‬

‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪.‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ lim f x ‬و أول اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ھﻨﺪﺳﯿﺎ‪0.5) .‬ن(‬
‫‪x 0‬‬

‫ب‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ lim f x ‬ﺛﻢ ﺣﺪد اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﮭﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‪ C f ‬ﺑﺠﻮار ‪1).  ‬ن(‬
‫‪x  ‬‬

‫‪ ln x ‬‬
‫‪.( f x   1  x ln x .1 ‬‬
‫)ﻻﺣﻆ أن ‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪hx ‬‬
‫‪ f ' x  ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.5) . 0,‬ن(‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن‬
‫‪x‬‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ‪0.25). 0,‬ن(‬
‫‪ (3‬ﻟﯿﻜﻦ‪  ‬اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‪ C f ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A1,1‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  ‬ھﻲ ‪0.5). y  x‬ن(‬
‫ب‪ -‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن ‪ f x  x  lnx  1g x  :‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل‪0.5) . 0,‬ن(‬
‫ج‪ -‬ادرس إﺷﺎرة ‪ f x  x‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﻮﺿﻊ اﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ‪  ‬واﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪1). C f ‬ن(‬

‫‪ (4‬أﻧﺸﺊ ‪ C f ‬و‪  ‬ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪).‬ﻧﻘﺒﻞ أن ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f ‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف أﻓﺼﻮﻟﮭﺎ ﻣﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ ‪1‬و‪0.75)(1.5‬ن(‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‪ u n ‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪ u 0  e :‬و ‪ u n 1  f u n ‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪. IN‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿﻦ ﺑﺎﻟﺘﺮﺟﻊ أن ‪ 1  u n  e‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ‪0.5). IN‬ن(‬
‫‪ (2‬ﺑﯿﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‪ u n ‬ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ‪ ).‬ﯾﻤﻜﻨﻚ اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺴﺆال ‪(3‬ج‪ -‬ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ(‪1).‬ن(‬
‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﯿﺔ‪ u n ‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﺛﻢ اﺣﺴﺐ ﻧﮭﺎﯾﺘﮭﺎ‪1).‬ن(‬

‫ﺗﺼﺤﻴﺢ اﻹﻣﺘﺤﺎن اﻟﻮﻃﻨﻲﺛﺎﻧاﻟﻤﻮﺣﺪ‬
‫اﻟﺪورة اﻟﻌﺎدﻳﺔ ‪2005 / 06 / 10‬‬

‫أﺳﺌﻠﺔ ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬

‫ا‬
‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬

‫‪ ,‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. ( E ) : z − 2 (1 + 2i ) z + 1 + 4i = 0 :‬‬
‫‪2‬‬

‫اﻟﻤﻤﻴﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻮ ‪∆′ = b ′2 − ac = (1 + 2i ) − 1. (1 + 4i ) = 1 + 4i − 4 − 1 − 4i = −4 = ( 2i ) :‬‬
‫‪−b ′ + α 1 + 2i + 2i‬‬
‫‪−b ′ − α 1 + 2i − 2i‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫=‬
‫إذن ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ هﻤﺎ ‪= 1 + 4i :‬‬
‫=‬
‫= ‪ z1‬و ‪= 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺣﻴﺚ ‪ α = 2i‬هﻮ أﺣﺪ اﻟﺠﺬرﻳﻦ اﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ ﻟﻠﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪ . ∆′‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬هﻲ ‪. S = {1,1 + 4i } :‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 +i‬‬
‫‪3 1‬‬
‫⎞ ‪⎛π‬‬
‫⎤ ‪⎛π ⎞ ⎡ π‬‬
‫=‬
‫⎥ ‪+ i = cos ⎜ ⎟ + i sin ⎜ ⎟ = ⎢1,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫⎠‪⎝6‬‬
‫⎦‪⎝6⎠ ⎣ 6‬‬

‫‪.‬‬
‫‪12‬‬

‫‪12‬‬
‫⎞‬
‫⎤‪π‬‬
‫⎤‪⎡ π‬‬
‫‪⎡ 12‬‬
‫ﺣﺴﺐ ﻋﻼﻗﺔ ﻣﻮاﻓﺮ ‪ ,‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪⎟⎟ = ⎢1, ⎥ = ⎢1 ,12 × ⎥ = [1, 2π ] = [1, 0 ] = 1‬‬
‫⎦‪6‬‬
‫⎦‪⎣ 6‬‬
‫⎣‬
‫⎠‬
‫‪1 3‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪⎪u (x ) = 3 x‬‬
‫‪⎧u ′(x ) = x 2‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻀﻊ ‪ :‬و‬
‫⎨ ‪.‬‬
‫⎨ إذن ‪ :‬و‬
‫‪⎩v (x ) = ln x‬‬
‫‪⎪v ′(x ) = 1‬‬
‫⎩⎪‬
‫‪x‬‬
‫‪ u‬و ‪ v‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ وﻗﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [1,e‬و ‪ u ′‬و ‪ v ′‬داﻟﺘﻴﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ . [1,e‬ﺣﺴﺐ اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء ‪ ,‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪e‬‬

‫‪⎛ 3 +i‬‬
‫⎜⎜‬
‫‪⎝ 2‬‬

‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⎡1‬‬
‫‪⎤ 1 e‬‬
‫⎦⎤ ‪x ln(x )dx = ∫ u ′(x )v (x )dx = [u (x ).v (x ) ] − ∫ u (x )v ′(x )dx = ⎢ x 3 ln(x ) ⎥ − ∫ x 2dx = e 3 − ⎡⎣x 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪⎣3‬‬
‫‪⎦1 3 1‬‬
‫‪e‬‬

‫‪e‬‬

‫‪2e 3 + 1‬‬
‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪(x − 1)′‬‬
‫‪1 dx‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪x − 1 dx‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ (4‬ﻧﻀﻊ ‪ , t = x − 1 :‬إذن ‪:‬‬
‫‪2 x −1‬‬
‫‪2 x −1‬‬

‫‪e‬‬

‫= ‪x 2 ln(x )dx‬‬

‫)‬

‫‪ x = 2 ⇔ t = 1‬و ‪x −1 ) . x = 4 ⇔ t = 3‬‬

‫‪e‬‬

‫‪2‬‬

‫‪e‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫∫‬

‫‪1‬‬

‫(‬

‫‪dx‬‬
‫= ‪ dt‬إذن‬
‫‪x −1‬‬
‫‪ x‬ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻦ ]‪ [ 2, 4‬ﻧﺤﻮ ⎦⎤ ‪ ⎡⎣1, 3‬وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻺﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ]‪. ( [ 2, 4‬‬

‫= ‪ . 2dt‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ x = 1 + t 2 :‬و‬

‫ﺣﺴﺐ اﻟﻤﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺘﻐﻴﻴﺮ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ ,‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬

‫‪( 3 ) − Arc tan (1) ) = 2 ⎛⎜⎝ π3 − π4 ⎞⎟⎠ = π6‬‬

‫(‬

‫‪3 dt‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪3‬‬
‫∫‪= 2‬‬
‫‪= 2 [ Arc tan(t ) ]1 = 2 Arc tan‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1+ t‬‬
‫‪x x −1‬‬

‫‪4‬‬

‫∫‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬
‫‪ (1‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪ ( S ) : ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 2 :‬؛ إذن ) ‪ ( S‬ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺮآﺰهﺎ )‪ Ω (1, 0,1‬وﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ , R = 2‬وﻟﺪﻳﻨﺎ‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬
‫وﺑﻤﺎ أن اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ Ω‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ‪= 2 = R :‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫=‬

‫‪1+ 0 − 3‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1 +1 + 0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪(P ) : x + y − 3 = 0‬‬

‫= ) ) ‪, d ( Ω, ( P‬‬

‫‪ (2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ n P (1,1, 0‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻨﻈﻤﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ , ( P‬إذن ‪ n P‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ Ω‬واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬
‫وﻣﻨﻪ ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( هﻮ ‪:‬‬

‫‪⎧x = 1 + α‬‬
‫⎪‬
‫∈ ‪ . ⎨ y = α / α‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
‫‪⎪z = 1‬‬
‫⎩‬

‫) ‪ H ( x , y , z‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس اﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ( S‬و اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬

‫‪⎧x = 1 + 1 = 2‬‬
‫⎪‬
‫‪ ⎨ y = 1‬؛ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ H ∈ ( ∆ ) ∩ ( P ) :‬؛ إذن ‪ 1 + α + α − 3 = 0 ⇒ α = 1‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪⎪z = 1‬‬
‫⎩‬

‫)‪H ( 2,1,1‬‬

‫‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬

‫اﻟﺼﻨﺪوق ‪:‬‬

‫‪B B B‬‬

‫‪N N N N N N N‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪ (1‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﻴﺎ وﺗﺂﻧﻴﺎ آﺮﺗﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺪوق ؛ إذن اﻷﻣﺮ ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﺘﺄﻟﻴﻔﺎت ﻟﻜﺮﺗﻴﻦ واﻟﺮﻣﺰ اﻟﻤﺴﺘﻌﻤﻞ ‪. C np‬‬
‫‪ " : A‬اﻟﻜﺮﺗﺎن اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﺎن ﻟﻮﻧﻬﻤﺎ أﺳﻮد "؛ ) ‪ ": B .( NN‬ﻣﻦ ﺑﻴﻦ اﻟﻜﺮﺗﻴﻦ اﻟﻤﺴﺤﻮﺑﺘﻴﻦ ﺗﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ آﺮة ﻟﻮﻧﻬﺎ أﺑﻴﺾ "؛ )‪ BN‬أو‪( BB‬‬
‫‪A 2 10 × 9‬‬
‫‪A 2 7×6‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪21 7‬‬
‫= ‪ . C 102 = 10‬وﻣﻨﻪ ‪:‬‬
‫= ‪ C 72 = 7‬و ‪= 45‬‬
‫إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ A‬هﻮ‪ p ( A ) = 72 :‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 21 :‬‬
‫= ) ‪p (A‬‬
‫=‬
‫‪2! 1× 2‬‬
‫‪2! 1× 2‬‬
‫‪C 10‬‬
‫‪45 15‬‬
‫‪C 31 ×C 71 + C 32 3 × 7 + 3 3 × 8‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫= ) ‪ ) p ( B‬ﺳﺤﺐ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء وآﺮة ﺳﻮداء أو ﺳﺤﺐ آﺮﺗﻴﻦ ﺑﻴﻀﺎوﻳﻦ(‬
‫إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث‪ B‬هﻮ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C 10‬‬
‫‪45‬‬
‫‪45‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ (2‬ﺷﺠﺮة اﻹﻣﻜﺎﻧﻴﺎت ‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪B‬‬
‫=‬
‫‪9 3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪NNNNNN‬‬
‫‪N. B B B‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6 2‬‬
‫‪N‬‬
‫=‬
‫‪9 3‬‬
‫‪C 31‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ": C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء ﻓﻲ اﻟﺴﺤﺒﺔ اﻷوﻟﻰ " ‪ .‬إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ C‬هﻮ ‪:‬‬
‫= ‪. p (C ) = 1‬‬
‫‪C 10 10‬‬
‫‪ ": D‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ آﺮة ﺑﻴﻀﺎء " ‪ .‬إﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪: D‬‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ C‬و ‪ C‬ﺣﺪﺛﺎن ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺴﺠﻤﺎن واﺗﺤﺎدهﻤﺎ ‪ Ω‬؛ إذن ‪ C‬و ‪ C‬ﻳﻜﻮﻧﺎن ﺗﺠﺰﻳﺌﺎ ﻟﻠﻔﻀﺎء ‪ Ω‬؛ وﻣﻨﻪ ﻓﺈن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺪث ‪ D‬هﻮ ‪:‬‬

‫) (‬

‫) (‬

‫) (‬

‫) ‪p ( D ) = p (C ) × pC ( D ) + p C × pC ( D ) = p ( D ∩ C ) + p C × pC ( D ) = p (C ) + p C × pC ( D‬‬

‫‪3‬‬
‫وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬
‫‪10‬‬

‫= ) ‪p (C‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫=‬
‫‪10 10‬‬

‫) (‬

‫‪p C = 1 − p (C ) = 1 −‬‬

‫‪3 7 1 9 + 7 16‬‬
‫‪8‬‬
‫= × ‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪10 10 3‬‬
‫‪30‬‬
‫‪30 15‬‬

‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ ‪:‬‬

‫و‬

‫‪C 31 3 1‬‬
‫= =‬
‫‪C 91 9 3‬‬

‫= ) ‪pC ( D‬‬

‫= ) ‪p (D‬‬

‫) ‪∀x ∈ ]0, +∞[ g (x ) = x − 1 − ln(x ); h (x ) = x + ( x − 2 ) ln(x‬‬

‫اﻟﺠﺰء اﻷول ‪:‬‬
‫‪1 x −1‬‬
‫= ‪. g ′(x ) = ( x − 1 − ln(x ) )′ = 1 −‬‬
‫‪ (1‬أ( ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ , x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫⇔ ‪ . g ′(x ) = 0‬ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪: ]0, +‬‬
‫وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪= 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 :‬‬
‫‪x‬‬

‫ﻓﺈن ‪:‬‬

‫ب( – ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪ ]0,1‬؛ إذن [∞‪ g ( ]0,1]) = ⎡⎢ g (1), lim+ g (x ) ⎡⎢ = [ 0, +‬و ‪. ∀x ∈ ]0,1] : g (x ) ≥ 0‬‬
‫‪x →0‬‬
‫⎣‬
‫⎣‬
‫ وﻟﺪﻳﻨﺎ‪ g‬ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ [1, +‬؛ إذن [∞‪ g ([1, +∞[ ) = ⎡ g (1), lim g ( x ) ⎡ = [0, +‬وﻣﻨﻪ ﻓﺈن ‪:‬‬‫∞‪x →+‬‬
‫⎣‬
‫⎣‬
‫‪∀x ∈ ]0, +∞[ : g (x ) ≥ 0‬‬
‫‪ . ∀x ∈ [1, +∞[ : g (x ) ≥ 0‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬
‫) ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ اﻟﻤﻔﺘﻮﺣﻴﻦ [‪ ]0,1‬و [∞‪ ]1, +‬؛ ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﺒﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫‪( ∀x ∈ ]0,1[ ∪ ]1, +∞[ : g (x ) > 0‬‬

‫‪ (2‬أ( ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ . x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪h (x ) = x + (x − 2) ln(x ) = 1 + x − 1 − ln(x ) + (x − 1) ln(x ) = 1 + g (x ) + (x − 1) ln(x ) :‬‬
‫ب( ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ . x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫‪∀x ∈ ]0, +∞[ : (x − 1) ln(x ) ≥ 0‬‬

‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪:‬‬

‫‪⎧x ≥ 1‬‬
‫‪⎧x − 1 ≥ 0‬‬
‫⎨⇒‬
‫‪⇒ (x − 1) ln(x ) ≥ 0‬‬
‫⎨ ⇒ [∞‪x ∈ [1, +‬‬
‫‪⎩ln(x ) ≥ 0 ⎩ln(x ) ≥ 0‬‬
‫‪⎧0 < x ≤ 1 ⎧ x − 1 ≤ 0‬‬
‫⎨⇒‬
‫‪⇒ (x − 1) ln(x ) ≥ 0‬‬
‫⎨ ⇒ ]‪x ∈ ]0,1‬‬
‫‪⎩ln(x ) ≤ 0 ⎩ln(x ) ≤ 0‬‬

‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ . x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ , (x − 1) ln( x ) ≥ 0 :‬ﺣﺴﺐ ‪ – 2‬ب ؛ و ‪ , g (x ) ≥ 0‬ﺣﺴﺐ ‪ – 1‬ب ‪ .‬إذن ‪:‬‬
‫‪∀x ∈ ]0, +∞[ : h (x ) > 0‬‬

‫‪ . h (x ) = 1 + g (x ) + (x − 1) ln(x ) ≥ 1 > 0‬ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬
‫‪2‬‬

‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬

‫) ) ‪∀x ∈ ]0, +∞[ : f (x ) = 1 + x ln( x ) − ( ln( x‬‬

‫‪ (1‬أ( ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ lim+ f (x ) = lim+ 1 + x ln(x ) − ( ln x ) = −∞ :‬؛ ﻷن ‪ lim+ x ln x = 0‬و ∞‪. lim+ ln x = −‬‬
‫‪2‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫ﺗﺄوﻳﻞ هﻨﺪﺳﻲ ‪ (C ) :‬ﻳﻘﺒﻞ ﻣﻘﺎرﺑﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪. x = 0‬‬

‫‪x →0‬‬

‫‪2‬‬
‫⎞ ‪⎛ ln x‬‬
‫‪ lim f (x ) = lim 1 + x ln(x ) − ( ln x ) = lim 1 + x ln x ⎜ 1 −‬؛ﻷن ‪:‬‬
‫ب( ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪⎟ = +∞ :‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫⎠ ‪x‬‬
‫⎝‬

‫‪ln x‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x →+∞ x‬‬
‫‪lim‬‬

‫) ‪1 + x ln(x ) − ( ln x‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫⎞ ‪⎛ ln x‬‬
‫‪. lim‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪= lim + ln x ⎜ 1 −‬‬
‫و ∞‪x ln x = +‬‬
‫‪ . xlim‬وﻟﺪﻳﻨﺎ ‪⎟ = +∞ :‬‬
‫∞‪x →+‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫∞‪→+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫⎠ ‪x‬‬
‫⎝‬
‫ﺗﺄوﻳﻞ هﻨﺪﺳﻲ ‪ (C ) :‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﺷﻠﺠﻤﻴﺎ ﺑﺠﻮار ∞‪ , +‬إﺗﺠﺎهﻪ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ‪.‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (2‬أ( ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ . x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪)′ = ln x + x × x1 − 2 × x1 × ln x‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪ln x x ln x + x − 2 ln x x + (x − 2) ln x h (x‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬

‫ﺧﻼﺻﺔ ‪:‬‬

‫) ‪h (x‬‬
‫‪x‬‬

‫(‬

‫) ‪f ′(x ) = 1 + x ln x − ( ln x‬‬
‫‪= ln x + 1 − 2‬‬

‫= ) ‪∀x ∈ ]0, +∞[ : f ′(x‬‬

‫) ‪h (x‬‬
‫ب( ﺣﺴﺐ اﻟﺴﺆال )‪ ( 3‬ﻣﻦ اﻟﺠﺰء اﻷول ؛ ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪> 0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ (3‬أ( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﺎس ) ∆ ( ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A (1,1‬هﻲ ‪ y = f ′(1)(x − 1) + f (1) :‬أي ‪ y = (x − 1) + 1‬ﻳﻌﻨﻲ ‪. y = x‬‬

‫= ) ‪ . ∀x ∈ ]0, +∞[ : f ′(x‬إذن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0, +‬‬

‫ب( ﻟﻴﻜﻦ [∞‪ . x ∈ ]0, +‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫)‪f (x ) − x = 1 + x ln x − ( ln x ) − x = 1 − ( ln x ) + x ( ln x − 1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪= (1 − ln x )(1 + ln x ) + x ( ln x − 1) = ( ln x − 1)( x − 1 − ln x ) = ( ln x − 1) g (x‬‬

‫‪⎧ln x = 1‬‬
‫‪⎧x = e‬‬
‫⎨ ⇔ ‪ . f (x ) − x = 0‬إذن ‪ (C ) :‬و ) ∆ ( ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ A‬و ) ‪. B (e , e‬‬
‫⎨⇔‬
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬
‫‪⎩ g (x ) = 0‬‬
‫‪⎩x = 1‬‬
‫‪⎧x ≥ e ⇒ ln x ≥ 1 ⇒ ln x − 1 ≥ 0‬‬
‫ﺣﺴﺐ ‪ 3‬ب ‪ ,‬إﺷﺎرة ‪ f (x ) − x‬هﻲ إﺷﺎرة ‪ . ln x − 1‬وﺑﻤﺎ أن ‪:‬‬
‫⎨ ‪∀x ∈ ]0, +∞[ :‬‬
‫‪⎩0 < x ≤ e ⇒ ln x ≤ 1 ⇒ ln x − 1 ≤ 0‬‬
‫ﻓﺈن ‪ (C ) ⇐ ∀x ∈ [e , +∞[ : f (x ) − x ≥ 0 :‬ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. [e , +‬‬
‫و ‪ (C ) ⇐ ∀x ∈ ]0, e ] , f (x ) − x ≤ 0 :‬ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ) ∆ ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪. ]0,e‬‬
‫‪ (4‬إﻧﺸﺎء اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪: (C‬‬

‫‪⎧⎪u 0 = e‬‬
‫اﻟﺠﺰء اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬
‫⎨‬
‫∈ ‪⎪⎩u n +1 = f (u n ) ; n‬‬
‫‪ (1‬ﻣﻦ أﺟﻞ ‪ , n = 0‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ , u 0 = e‬إذن ‪ . 1 < u 0 < e :‬ﻟﻴﻜﻦ‬

‫∈ ‪ , n‬ﻧﻔﺘﺮض أن ‪ 1 < u n < e‬وﻧﺒﻴﻦ أن ‪ 1 < u n +1 < e‬؟‬

‫ﺑﻤﺎ أن ‪ 1 < u n < e‬وأن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [1,e‬؛ ﻓﺈن ‪ f (1) < f (u n ) < f (e ) :‬أي ‪. 1 < u n +1 < e :‬‬
‫ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺪأ اﻟﺘﺮﺟﻊ ‪ ,‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬

‫‪: 1 < un < e‬‬

‫∈ ‪. ∀n‬‬

‫‪ (2‬ﻧﻌﻠﻢ أن ‪ 3 – II ) ∀x ∈ ]1, e [ : f (x ) − x < 0 :‬ج ( وأن ‪: 1 < u n < e‬‬
‫أي‪: u n +1 − u n < 0 :‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺪﻳﻨﺎ )‪: u n ∈ ]1, e [ (i‬‬

‫∈ ‪ ∀n‬؛ إذن ‪: f (u n ) − u n < 0 :‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∈ ‪ . ∀n‬وهﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن ∈‪ (u n )n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ ‪.‬‬
‫∈ ‪ ∀n‬و )‪(ii‬‬

‫‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ] ‪ [1,e‬و )‪([1, e ]) = [1,e ] (iii‬‬

‫وﻣﺼﻐﻮرة ﺑﺎﻟﻌﺪد ‪ 1‬؛ إذن ∈‪ (u n )n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ ‪ l‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ . f (l ) = l :‬وﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬

‫‪ f‬و )‪ (u n )n∈ (iv‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬

‫‪ l = e‬أو ‪) f (l ) = l ⇔ f (l ) − l = 0 ⇔ ( ln l − 1) g (l ) = 0 ⇔ l = 1‬أﻧﻈﺮ ‪ - 3 II‬ب و ‪ – 3‬ج (‬

‫وﺑﻤﺎ أن ‪: n ≥ 0 ⇒ u n ≤ u 0 = e :‬‬

‫∈ ‪ ∀n‬؛ ﻓﺈن ‪ . l ≤ u 0 = e‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪. l = 1 :‬‬

‫‪lim u n = 1‬‬

‫∞‪n →+‬‬

‫‬‫‪-‬‬

‫ﯾﺘﻜﻮن ھﺬا اﻟﻤﻮﺿﻮع ﻣﻦ أﺳﺌﻠﺔ ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻓﯿﻤﺎ ﺑﯿﻨﮭﺎ و ﺛﻼث ﺗﻤﺎرﯾﻦ و ﻣﺴﺄﻟﺔ‪.‬‬
‫ﯾﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ‪.‬‬

‫أﺳﺌﻠﺔ ‪:‬‬

‫)أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ(‬

‫‪ (1‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ ‪:‬‬

‫‪1). y ' ' y '6 y  0‬ن(‬

‫‪1 i 3‬‬
‫‪ (2‬اﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ اﻟﻌﺪد‬
‫‪1 i‬‬

‫‪1). Z ‬ن(‬

‫‪‬‬
‫‪ (3‬ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء‪ ،‬ﺑﯿﻦ أن ‪ 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫)ﻧﺬﻛﺮ أن ‪( Sin 2 x   1  Cos 2 x‬‬
‫‪n‬‬

‫‪ (4‬ﻧﻀﻊ ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪1).  2 Cosx . ln1  Cosx  dx ‬ن(‬
‫‪0‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ u n  n   ‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ * ‪ . IN‬اﺣﺴﺐ ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ n‬اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪1). S n  u1  u 2  ...  u n :‬ن(‬
‫‪3‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬

‫‪):‬ﻧﻘﻄﺘﺎن(‬

‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪،‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪ P ‬اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪ x  z  1  0‬و اﻟﻔﻠﻜﺔ ‪ S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮﻛﺰھﺎ‬
‫‪ 1,0,0‬و ﺷﻌﺎﻋﮭﺎ ‪. r  2‬‬
‫‪ (1‬ﺑﯿﻦ أن‪ P ‬و ‪ S‬ﯾﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة ‪0.5).  ‬ن(‬
‫‪ (2‬ﺣﺪد ﻣﺮﻛﺰ و ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮة ‪1.5).  ‬ن(‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪):‬ﻧﻘﻄﺘﺎن و ﻧﺼﻒ(‬
‫‪2‬‬
‫‪ (1‬اﻛﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪0.25). 1  i ‬ن(‬
‫‪ (2‬ﺣﻞ ﻓﻲ ‪ C‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪0.75). z 2  21  2i z  3  6i   0 :‬ن(‬
‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‪ A3i ‬و‪. B2  i ‬‬
‫ﺣﺪد ﺛﻢ أﻧﺸﺊ‪ D ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‪ M z ‬اﻟﻨﻘﻂ ﺑﺤﯿﺚ ‪1.5). z  3i  z  2  i‬ن(‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬

‫‪):‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ و ﻧﺼﻒ(‬

‫ﯾﺤﺘﻮي ﻛﯿﺲ ﻋﻠﻰ أرﺑﻊ ﻛﺮات ﺑﯿﻀﺎء و ﻛﺮﺗﯿﻦ ﺳﻮداوﯾﻦ ﻻﯾﻤﻜﻦ اﻟﺘﻤﯿﯿﺰ ﺑﯿﻨﮭﺎ ﺑﺎﻟﻠﻤﺲ‪.‬‬
‫‪ (1‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﻛﺮة واﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻜﯿﺲ‪ .‬ﻣﺎ ھﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء؟)‪0.5‬ن(‬
‫‪ (2‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل ‪5‬ﻛﺮات ﻣﻦ اﻟﻜﯿﺲ‪ .‬ﻣﺎ ھﻮ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻣﺮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ؟)‪1‬ن(‬
‫‪ (3‬ﻧﺴﺤﺐ ﻋﺸﻮاﺋﯿﺎ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺈﺣﻼل ‪ n‬ﻛﺮة ﻣﻦ اﻟﻜﯿﺲ‪.‬‬
‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ھﻮ ‪1). p  1   ‬ن(‬
‫‪3‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﺎ ھﻮ اﻟﻌﺪد اﻷدﻧﻰ ﻣﻦ اﻟﺴﺤﺒﺎت اﻟﺘﻲ ﻣﻦ أﺟﻠﮭﺎ ‪). p  0.999‬ﻧﺄﺧﺬ ‪ log3  0,48‬ﺣﯿﺚ ‪ log‬ھﻮ اﻟﻠﻮﻏﺎرﯾﺜﻢ‬
‫اﻟﻌﺸﺮي(‪1).‬ن(‬

‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬

‫‪) :‬ﺛﻤﺎن ﻧﻘﻂ(‬

‫‪ x ‬‬
‫‪ f x   ln‬و ﻟﯿﻜﻦ‪ C f ‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﯾﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‪ 0,2‬ﺑﻤﺎ ﯾﻠﻲ ‪ :‬‬
‫‪2 x‬‬
‫ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪.‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ lim f x ‬و ‪1). lim f x ‬ن(‬
‫‪x 2‬‬

‫‪x 0‬‬

‫‪ f ' x  ‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪0.75). 0,2‬ن(‬

‫‪2‬‬
‫ﺑﯿﻦ أن‬
‫ت‪-‬‬
‫‪x2  x ‬‬
‫أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﯿﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪0.5). f‬ن(‬
‫ث‪-‬‬
‫‪ (2‬أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A1,0‬ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‪0.5). C f ‬ن(‬

‫ب‪ -‬اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﯾﻜﺎرﺗﯿﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎس ‪ D ‬ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f ‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪0.5). A1,0‬ن(‬

‫‪  x   f x  x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. 0,2‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻀﻊ‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن ‪     0‬و ‪ ).     0‬ﻧﺄﺧﺬ ‪ ln3  1,1‬و ‪0.5)( ln 7  1,94‬ن(‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ f x   x‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ ‪ ‬ﺑﺤﯿﺚ ‪   ‬و أول اﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻣﺒﯿﺎﻧﯿﺎ‪0.75).‬ن(‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ (4‬أ‪ -‬ﺑﯿﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ‪0.5). f 1‬ن(‬
‫‪2e x‬‬
‫ب‪ -‬ﺑﯿﻦ أن‬
‫‪1 ex‬‬
‫‪ (5‬أﻧﺸﺊ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C f ‬و اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪x  ‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ f‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪0.5). IR‬ن(‬

‫‪ ‬‬

‫‪ C f 1‬اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ‬

‫‪ex‬‬
‫‪0.5). ‬ن(‬
‫‪ (6‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪dx‬‬
‫‪0 1 ex‬‬
‫ب‪ -‬اﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﯿﯿﻦ ‪ C f ‬و‬

‫‪1‬‬

‫‪1). f‬ن(‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ C f 1‬و ﻣﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ‪1).‬ن(‬

: ‫أﺳﺌﻠﺔ‬

. r2  2 ‫و‬
r1  3    25 ، r  r  6  0 : ‫( اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﻤﯿﺰة ھﻲ‬1
.  ,   IR 2 ‫ﺣﯿﺚ‬
y   e 3 x   e 2 x ‫ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﯿﺔ ھﻲ‬
7 
 


 
. Z   2,   1  i   2,
‫ و‬1  i 3  2,  (2

12 
4 


 3
 Sinx 
u ' x  
 u x   ln1  Cosx ‫( ﻧﻀﻊ‬3
1  Cos x 
vx   Sinx 
 v' x   Cosx 
2


2
0







Cosx . ln1  Cosx  dx  Sinx . ln1  Cosx 02   2
0

Sin 2 x 
dx
1  Cos x 




 0   2 1  Cos x  dx  x  Sinx 02 
0

‫إذن‬


1
2

n

1 
.  wn     ‫ و اﻷﺧﺮى ھﻨﺪﺳﯿﺔ‬v n  n ‫ إﺣﺪاھﻤﺎ ﺣﺴﺎﺑﯿﺔ‬،‫ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺘﺘﺎﻟﯿﺘﯿﻦ‬u n : ‫(ﻣﻼﺣﻈﺔ‬4

 3  

2

3

1 1 1
1
S n  1  2  3  ...  n         ...   
3 3 3
3
n

1
1
1  
nn  1 1   
nn  1 1  3 
3



1
2
3
2
1
3

n

‫ﻟﺪﯾﻨﺎ إذن‬

n

: ‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻷول‬
.‫ ﯾﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ داﺋﺮة‬S  ‫ و‬P  d , P 

11

 2  r (1
2
P  ‫ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬H ‫( ﻣﺮﻛﺰ اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ‬2

.  ‫ ﻣﻮﺟﮭﺔ ل‬P ‫ اﻟﻤﻨﻈﻤﯿﺔ ﻋﻠﻰ‬n 1,0,1 ‫ إذن‬، P  ‫ واﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬ ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ‬
x  1  t
y  0

1 t  t 1  0  
:‫ ﻣﺜﻠﻮث إﺣﺪاﺛﯿﺎﺗﮭﺎ ھﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬، P ‫ و‬  ‫ ھﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ‬H
z


t

 x  z  1  0
. H 0,0,1 ‫ و ﻣﻨﮫ‬t  1 ‫إذن‬

‫ﺷﻌﺎع اﻟﺪاﺋﺮة ھﻮ ‪. R  r 2  d 2  2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬
‫‪. 1  i   2i (1‬‬
‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﻧﺤﺴﺐ اﻟﻤﻤﯿﺰ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ‪ '  1  2i   3  6i   2i  1  i  :‬‬
‫‪ z1  3i‬و ‪. z 2  2  i‬‬
‫إذن‬
‫‪2‬‬

‫‪ (3‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ‪z  3i  z  2  i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪. AM  BM‬‬

‫‪‬‬

‫إذن‪ D ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ھﻲ واﺳﻂ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪. AB ‬‬

‫ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺗﺤﻠﯿﻠﯿﺔ‪ :‬ﻧﻀﻊ ‪ . z  x  iy‬إذن ‪z  3i  z  2  i  x  y  3  x  2  y  1‬‬
‫‪ x  y 1  0‬‬
‫إذن‪ D ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ھﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﮫ ‪D : x  y  1  0‬‬
‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﯾﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ (1‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ A‬اﻟﺤﺪث ‪" :‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء" ‪ ،‬إذن‬
‫‪6‬‬

‫‪. pA ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪40‬‬
‫‪ 2 1‬‬
‫‪. pB   C     ‬‬
‫‪ (2‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ B‬اﻟﺤﺪث ‪ ":‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻣﺮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻀﺒﻂ"‪،‬‬
‫‪243‬‬
‫‪ 3 3‬‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬ﻟﯿﻜﻦ ‪ C‬اﻟﺤﺪث ‪":‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻛﺮة ﺑﯿﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ" ‪،‬إذن ‪ ": C‬اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ n‬ﻛﺮة ﺳﻮداء"‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪ p C   ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪pC   1   ‬‬
‫‪3‬‬

‫‪1‬‬
‫)اﺣﺘﻤﺎل ﺳﺤﺐ ﻛﺮة ﺳﻮداء ھﻮ (‪.‬‬
‫‪3‬‬

‫‪.‬‬
‫‪n‬‬

‫ب‪ -‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

‫‪ p  0.999‬‬

‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪   0.001  1     0.999‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬

‫‪1‬‬
‫‪log   log 10 3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ n. log 3  3 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 6.25 ‬‬
‫‪log 3‬‬

‫إذن ‪ ،‬اﻟﻌﺪد اﻷدﻧﻰ ﻣﻦ اﻟﺴﺤﺒﺎت ھﻮ ‪.7‬‬

: ‫ﻣﺴﺄﻟﺔ‬
. lim
f x     lim


2

2

x
x
  ‫ و‬lim
f x     lim
 0  -‫( أ‬1


0
0
2 x
2 x

'

 x 


2
2 x
2
2 x

f ' x  



2
x
x2  x 
2  x  x
2 x

2a  x  D f ‫ و‬f 2a  x   2b  f x 



:‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬0,2 ‫ ﻣﻦ‬x ‫ ﻟﻜﻞ‬-‫ب‬
:‫ ﺟﺪول اﻟﺘﻐﯿﺮات‬-‫ج‬

C f ‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬Aa, b : ‫ ﺗﺬﻛﯿﺮ‬-‫( أ‬2

2  x  Df  0  2  x  2  0  x  2

: f 2  x    f x  ‫ﻧﺒﯿﻦ أن‬

2 x
f 2  x   ln
   f x  ‫و‬
 x 
. D  : y  2 x  2 : ‫ إذن‬، f ' 1  2 ‫ و‬y  f ' 1x  1 f 1 : ‫ ھﻲ‬D  ‫ ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬-‫ب‬
7
3
7
3
.     ln 7   0.19  0 ‫ و‬    ln 3  0.4  0 -‫( أ‬3
4
2
4
2
3 7
3 7
‫ إذن ﺣﺴﺐ ﻣﺒﺮھﻨﺔ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻮﺳﯿﻄﯿﺔ‬،   .    0 ‫ )ﻓﺮق داﻟﺘﯿﻦ ﻣﺘﺼﻠﺘﯿﻦ( و‬ ,  ‫ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ اﻟﺪاﻟﺔ‬-‫ب‬
2 4
2 4
3 7
. f     ‫ أي‬    0 ‫ ﺣﯿﺚ‬ ,  ‫ ﻣﻦ‬ ‫ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻋﺪد‬
2 4
. I  ,   ‫ )اﻟﻤﻨﺼﻒ اﻷول( ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬y  x ‫ ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬C f  ‫ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬: ‫اﻟﺘﺄوﯾﻞ اﻟﻤﺒﯿﺎﻧﻲ‬

.‫ ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬A1,1 ‫إذن‬

. f 1 ‫ إذن ﻓﮭﻲ ﺗﻘﺒﻞ داﻟﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ‬0,2 ‫ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ وﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬f -‫( أ‬3
. x  IR , y  0,2 y  f 1 x   x  f y 
‫ و‬IR ‫ ﻧﺤﻮ‬0,2 ‫ ﺗﻔﺎﺑﻞ ﻣﻦ‬f -‫( ب‬4
 y 

 x  ln
2

y


y
 ex 
2 y
x
 2e  ye x  y
 y

2e x
1 ex
x  IR,

2e x
f x  
: ‫إذن‬
1 ex
1

: ‫(اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬5





0







ex
ex
1 ex
x 
dx  ln 1  e


0
1 ex
1 ex
1 ex

 ln 1  e  ln 2


'

‫ ﻟﺪﯾﻨﺎ‬-‫( أ‬6


‫ ﯾﻌﻨﻲ‬f    
‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬
:  ‫ ﺑﺪﻻﻟﺔ‬e  ‫ﻧﺤﺴﺐ‬

2 

‫ﯾﻌﻨﻲ‬
 e
2 
2
‫إذن‬
1  e 
2 

ex
.
dx   ln2   
: ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬
0 1 ex
.‫ و ﻣﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ‬C f 1 ‫ و‬C f  ‫ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺤﯿﺰ اﻟﻤﺤﺼﻮر ﺑﯿﻦ اﻟﻤﻨﺤﯿﯿﻦ‬S ‫ ﻟﺘﻜﻦ‬-‫ب‬
ln

 





(‫ )ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬S  2  f
0

1

x  x dx

: ‫إذن‬


ex
 4
dx

2
0 x dx
0 1 ex
 4 ln2     2




.S   f
:‫ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻣﻜﺎﻣﻠﺔ ﺑﺎﻷﺟﺰاء‬

0




1

1



x dx  1 f x dx


f x dx ‫ ﻧﺤﺴﺐ‬.  f

. u ' x  

2
x2  x 
. vx   x





1

1

0

: ‫ﻃﺮﯾﻘﺔ ﺛﺎﻧﯿﺔ‬

x dx  2 ln 2    : ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬

 u x   ln



x
2 x
v' x   1

‫ﻧﻀﻊ‬




  x 
2
f x dx   x ln
dx
  1
2 x
  2  x  1

: ‫إذن‬

( ln


  

2
   f     ‫ )ﻷن‬  ln
   2 ln 2  x 1    2 ln 2   
2 
2




.(‫ )ﺑﻮﺣﺪة ﻗﯿﺎس اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت‬S  4 ln2     2
: ‫و ﻣﻨﮫ‬

ϡϮϠόϟ΍ – ΔϴΒϳήΠΘϟ΍ ϡϮϠόϟ΍ : ΐόθϟ΍
Δϴϋ΍έΰϟ΍ ϡϮϠόϟ΍ – ΔϴϠλϷ΍ ΔϴΒϳήΠΘϟ΍
ΕΎϋΎγ 3 :ίΎΠϧϹ΍ ΓΪϣ
7 : ϞϣΎόϤϟ΍

ΔϴΑήϐϤϟ΍ ΔϜϠϤϤϟ΍
ϲϟΎόϟ΍ ϢϴϠόΘϟ΍ ϭ ΔϴϨσϮϟ΍ ΔϴΑήΘϟ΍ Γέ΍ίϭ
ϲϤϠόϟ΍ ΚΤΒϟ ΍ ϭ ήσϻ΍ ϦϳϮϜΗ ϭ
ΔϴϨσϮϟ΍ ΔϴΑήΘϟ΍ ωΎτϗ

ΎϳέϮϟΎϛΎΒϠϟ ΪΣϮϤϟ΍ ϲϨσϮϟ΍ ϥΎΤΘϣϹ΍
( 2006 : ΔϳΩΎόϟ΍ ΓέϭΪϟ΍ )
ΕΎϴοΎϳήϟ΍ ΓΩΎϣ

( ϥΎΘτϘϧ ) :ϝϭϷ΍ ϦϳήϤΘϟ΍
y '' 6y ' 9y

(E) : y '' 6y ' 9y 2e3x

. (E) ΔϟΩΎόϤϠϟ ιΎΧ ϞΣ ϲϫ u(x)

: ΔϴϠοΎϔΘϟ΍ ΔϟΩΎόϤϟ΍ ϞΣ ( 1

0

0.75

: ΔϴϟΎΘϟ΍ ΔϴϠοΎϔΘϟ΍ ΔϟΩΎόϤϟ΍ ήΒΘόϧ ( 2

x 2 e3x : ϲϠϳΎϤΑ IR ϰϠϋ ΔϓήόϤϟ΍ u Δϟ΍Ϊϟ΍ ϥ΃ ϦϴΑ - ΃
. (E) ΔϟΩΎόϤϠϟ ϡΎόϟ΍ ϞΤϟ΍ ςϋ΃ - Ώ

0.75
0.5
.

( ςϘϧ ϊΑ έ΃ ) : ϲϧΎΜϟ΍ ϦϳήϤΘϟ΍

z 2 2 3(1 i)z 8i 0

Re(z1 )

: ΔϟΩΎόϤϟ΍ C ΔϳΪϘόϟ΍ Ω΍ΪϋϷ΍ ΔϋϮϤΠϣ ϲϓ ήΒΘόϧ

Re(z 2 ) ΚϴΤΑ ΔϟΩΎόϤϟ΍ ϲϠΤϟ z 2 ϭ z1 Ώ ΰϣήϧ

( (1 i) 2

2i : ϥ΃ φΣϻ )

. z2

iz1 ϭ z12

.

z 2 ϭ z1 ΩΪΣ ( 1

4( 3 i) : ϥ΃ ϦϴΑ - ΃ ( 2

. 4( 3 i) ϱΪϘόϟ΍ ΩΪόϟ΍ ϲΜϠΜϤϟ΍ ϞϜθϟ΍ ϰϠϋ ΐΘϛ΃ - Ώ
. z 2 ϭ z1 ϦϳΩΪόϟ΍ Ϧϣ ϞϜϟ ϲΜϠΜϤϟ΍ ϞϜθϟ΍ ΞΘϨΘγ ΁ - Ν

& &
ϦϴΘτϘϨϟ΍ (o;u; v) ήηΎΒϣ ϢψϨϤϣ ΪϣΎόΘϣ ϢϠόϣ ϰϟ· ΏϮδϨϤϟ΍ ϱΪϘόϟ΍ ϯϮΘδϤϟ΍ ϲϓ ήΒΘόϧ ( 3

0.75
1
0.25
1
1

. z 2 ϭ z1 ϲϟ΍ϮΘϟ΍ ϰϠϋ ΎϤϫΎϘΤϟ ϦϴΘϠϟ΍ B ϭ A
. ωϼο΃ ϱϭΎδΘϣ OAB ΚϠΜϤϟ΍ ϥ ΃ ΞΘϨΘγ΁ ϢΛ arg(

z2
) ΐδΣ΃
z1

( ςϘϧ ϊΑέ΃ ) : ΚϟΎΜϟ΍ ϦϳήϤΘϟ΍

&& &
A(1, 1,3) ΔτϘϨϟ΍ (O,i, j,k) ϢψϨϤϣ ΪϣΎόΘϣ ϢϠόϣ ϰϟ· ΏϮδϨϤϟ΍ ˯Ύπϔϟ΍ ϲϓ ήΒΘόϧ
. x y 3z

0 : ϪΘϟΩΎόϣ ϱάϟ΍ (P) ϯϮΘδϤϟ΍ ϭ

­x t
°
. (OA) ϢϴϘΘδϤϠϟ ϱήΘϣ΍έΎΑ ϞϴΜϤΗ ® y t (t  IR) : ϥ΃ Ϧϣ ϖϘΤΗ - ΃ ( 1
°z 3t
¯

0.5

. A ΔτϘϨϟ΍ ϲϓ ϢϴϘΘδϤϟ΍ ϰϠϋ ϱΩϮϤόϟ΍ (Q) ϯϮΘδϤϠϟ ΔϴΗέΎϜϳΩ ΔϟΩΎόϣ ΩΪΣ - Ώ

0.75

. (Q) ϯϮΘδϤϟ΍ ϱί΍Ϯϳ (P) ϥ΃ Ϧϣ ϖϘΤΗ - Ν

* Γή΋΍Ϊϟ΍ ϖϓϭ (P) ϯϮΘδϤϟ΍ ΎϬότϘϳ ϲΘϟ΍ ϭ A ϲϓ (Q) ϯϮΘδϤϠϟ ΔγΎϤϤϟ΍ (S) ΔϜϠϔϟ΍ ήΒΘόϧ ( 2
. 33 ΎϬϋΎόη ϭ O Ύϫΰϛήϣ ϲΘϟ΍

0.25

.c

3a ϭ b a ϥ΃ ΞΘϨΘγ ΁ ϢΛ (OA) ϰϟ· ϲϤΘϨϳ (S) ΔϜϠϔϟ΍ ΰϛήϣ :(a,b,c) ϥ΃ ϦϴΑ - ΃ 0.75
. a b 3c

11 ϥ΃ ΞΘϨΘγ΁ ϢΛ :A 2 :O 2

33 : ϥ΃ ϦϴΑ - Ώ 1.25

. 2 11 ϱϭΎδϳ ΎϬϋΎόη ϥ΃ ϦϴΑ ϢΛ (S) ΔϜϠϔϟ΍ ΰϛήϣ : ΕΎϴΛ΍ΪΣ· ΞΘϨΘγ΁ - Ν

0.5

(ςϘϧ10 ) : Δϟ΄δϣ
. g(x)

ln(1 x) x :ϲϠϳΎϤΑ > 0, f> ϝΎΠϤϟ΍ ϰϠϋ ΔϓήόϤϟ΍ g Δϟ΍Ϊϟ΍ ήΒΘόϧ ( I

. > 0, f> ϰϠϋ Ύότϗ ΔϴμϗΎϨΗ g Δϟ΍Ϊϟ΍ ϥ΃ ϦϴΑ ϢΛ > 0, f> Ϧϣ x ϞϜϟ g '(x) ΐδΣ΃ – ΃ (1 0.75
. > 0, f> Ϧϣ x ϞϜϟ g(x) d 0 : ϥ΃ ΞΘϨΘγ ΁ – Ώ

0.25

. @0, f> Ϧϣ x ϞϜϟ 0 % ln(1 x) % x :ϥ΃ ϦϴΑ (2

0.5

§ x 1·
x ln ¨
¸ : ϲϠϳ ΎϤΑ ΔϓήόϤϟ΍ x ϲϘϴϘΤϟ΍ ήϴϐΘϤϠϟ f ΔϳΩΪόϟ΍ Δϟ΍Ϊϟ΍ ήΒΘόϧ ( II
© x 1¹
&&
(1cm ΓΪΣϮϟ΍ ) . (O,i, j) ϢψϨϤϣ ΪϣΎόΘϣ ϢϠόϣ ϲϓ f Δϟ΍ΪϠϟ ϞΜϤϤϟ΍ ϰϨΤϨϤϟ΍ Ϯϫ (C) ϭ

f (x)

. D

@ f, 1> @1, f>

: Ϯϫ f Δϟ΍Ϊϟ΍ ϒϳήόΗ ΰϴΣ ϥ΃ ϦϴΑ ( 1

0.5

. ΔϳΩήϓ Δϟ΍Ω f ϥ΃ ϦϴΑ - ΃ ( 2

0.5

limf (x) ϭ xlim
f (x) ΐδΣ΃ - Ώ
o f
x o1
x 1

x  D

f '(x)

x2 3
x2 1

: ϥ΃ ϦϴΑ – ΃ ( 3 0.75

. @1, f> ϝΎΠϤϟ΍ ϰϠϋ f Δϟ΍Ϊϟ΍ Ε΍ήϴϐΗ ΞΘϨγ΁ - Ώ
. (C) ϰϨΤϨϤϠϟ Ϟ΋Ύϣ ΏέΎϘϣ y
( x  D

0.5

x ϪΘϟΩΎόϣ ϱάϟ΍ (' ) ϢϴϘΘδϤϟ΍ ϥ΃ Ϧϣ ϖϘΤΗ - ΃ ( 4

x 1
2
§ x 1·
: ϥ΃ ΔψΣϼϣ ϦϜϤϳ ) ln ¨
1
¸ ΓέΎη· αέΩ΃ - Ώ
x 1
x 1
© x 1¹

0.5
0.25
0.5

. (' ) ϢϴϘΘδϤϟ΍ ϭ (C) ϰϨΤϨϤϠϟ ϲΒδϨϟ΍ ϊοϮϟ΍ ΞΘϨΘγ΁ - Ν 0.25

&&
3 | 1,7 άΧ΄ϧ ) (O,i, j) ϢϠόϤϟ΍ ϲϓ (C) Ίθϧ΃ ( 5

( f ( 3) | 3 ϭ
4

( ˯΍ΰΟϷΎΑ ΔϠϣΎϜϣ ϝΎϤόΘγ΁ ϦϜϤϳ )

§ x 1·

³ ln ¨© x 1 ¸¹ dx

5ln 5 6ln 3 : ϥ΃ ϦϴΑ - ΃ ( 6

2

ΎϬΗϻΩΎόϣ ϲΘϟ΍ ΕΎϤϴϘΘδϤϟ΍ ϭ (C) ϰϨΤϨϤϟ΍ ϦϴΑ έϮμΤϤϟ΍ ϯϮΘδϤϟ΍ ΰϴΣ ΔΣΎδϣ cm 2 Ώ ΞΘϨΘγ΁ – Ώ
. y

IN * ^1` Ϧϣ n ϞϜϟ u n

x

ϭ x

4 ϭ x

1
1.25
0.25

2 : ϲϟ΍ϮΘϟ΍ ϰϠϋ

f (n) n : ϲϠϳ ΎϤΑ ΔϓήόϤϟ΍ (u n ) n t2 ΔϴϟΎΘΘϤϟ΍ ήΒΘόϧ ( III

. IN * ^1` Ϧϣ n ϞϜϟ u n

2 ·
§
ln ¨1
¸ ϥ ΃ Ϧϣ ϖϘΤΗ – ΃ ( 1
© n 1¹

0.25

. ΔϴμϗΎΘϨΗ (u n ) n t 2 ΔϴϟΎΘΘϤϟ΍ ϥ΃ ϦϴΑ - Ώ
( ( 2 ( I ϝ΍Άδϟ΍ ΔΠϴΘϧ ϝΎϤόΘγ΁ ϦϜϤϳ ) . IN * ^1` Ϧϣ n ϞϜϟ 0 % u n %

2
ϥ΃ ϦϴΑ - ΃ ( 2
n 1

. lim u n : ΐδΣ΃ - Ώ
x o f

0.75
0.5
0.5

-1-

2006 ŗƒťœŶƃŒ ŖŧƍťƃŒ – œƒŧƍƃœƂŕƄƃ ťšƍƆƃŒ ƑƈűƍƃŒ ƇœšřƆƗŒ ŠƒšŮř ŗƒŕƒŧŞř ƅƍƄŵ œƒŧƍƃœƂœŕ ŗƒƈœśƃŒ ŗƈŪƃŒ
ŘœƒŰœƒŧƃŒ : ŖťœƆ
2 eme SC EXP


3 1 i 3 1 i ª¬
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2
1

4



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§ 3 1 ·
i ¸¸
2 ¨¨
© 2 2 ¹

3 i

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1 : r

: ƉŨŏ



3 1 i



3 i



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§ z · 5S S
. arg ¨ 2 ¸ { > 2S @ : ƉŌ ƒŌ arg ¨ 2 ¸ {
> 2S @ : ƉŨŏ
© z1 ¹ 3
© z 1 ¹ 12 12
JJJG JJJG S
JJJG JJJG
§z ·
OA ,OB { > 2S @ : ƉŐž OA ,OB { arg ¨ 2 ¸ > 2S @ : ƉŌ ŕƈŗ Ə
3
© z1 ¹





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2 2 : ƉŨŏ ž z 2



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2

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0 : řƔƆŲŕſśƅŔ řƅŧŕŸƈƆƅ ŘŪƔƈƈƅŔ řƅŧŕŸƈƅŔ (1

4 u 9 0 Əƍ ŕƍŪƔƈƈ Ə

6
3 : Əƍ ŧƔţƏ ¿ţ ŕƎƅ ƉŨŏ
2
Ɖ 0,75 . y : x 6 Ax B e 3x / A , B  \ 2





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ª Sº
«¬8, 6 »¼ : ƉŨŏ
Sº ª

ª
ª Sº
2
«¬ 8, 12 »¼ «¬ 2 2, 12 »¼ : ƉŨŏ ž z 1 4 3 i
«¬8, 6 »¼ : ŕƊƔŧƅ -Ŝ
Sº ª
ª Sº ª
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2 12 ¼
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2
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S u " x 6u ' x 9u x 2e 3x : ƉŌ ƒŌ
Ɖ 0,75 : řƔƆŲŕſśƅŔ řƅŧŕŸƈƆƅ ůŕŦ ¿ţ u : x 6 x 2e 3x řƅŔŧƅŕž Ɠƅŕśƅŕŗ Ə
. E : y " 6 y ' 9 y 2e 3x

z : x 6 x 2 Ax B e 3x / A , B  \ 2 : Əƍ E řƅŧŕŸƈƆƅ ƇŕŸƅŔ ¿ţƅŔ -Ŕ
Ɖ 0,5
( űƀƈ ŴŕŧŊ ) :ƑƈœśƃŒ ƇƒŧƆřƃŒ „

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Ɖ 0,75



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3 1 Ə z 1



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2

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3 1

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2 2 : ŕƊƔŧƅ Ə

( Ɖ 1 ) . ŵƜŲƗŔ ƒƏŕŬśƈ OAB ŜƆŝƈƅŔ ƉŌ ƓƊŸƔ ŔŨƍ

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2



3 1



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2



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