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Lecturas Matem´
aticas
Volumen 26 (2005), p´
aginas 27–88

Une ´
etude comparative concernat les
semi-groupes de classe C0 et les semi-groupes
int´
egr´
es
Ludovic Dan Lemle1

Universit´e Blaise Pascal, Aubi`ere, France
Facult´e d’Ing´enierie, Universit´e Politehnica, Hunedoara, Roumanie
Abstract. This paper presents a comparative study concerning the
well known theory of C0 -semigroups and the theory of once-integrated
semigroups. We make some contributions to the structure theory of
semigroups, by applying the properties of extended Yosida approximation.
Key words and phrases. C0 -semi-groupe, l’approximation g´en´eralis´ee de
Yosida, la partie du g´en´erateur, semi-groupe int´egr´e.
2000 AMS Mathematics Subject Classification. 47D03, 47D06, 47D62.
Resumen. Se presenta una estudio comparativo de la conocida teor´ıa
de los semigrupos C0 y la teor´ıa de los semigrupos integrados. Se presentan tambi´en algunas contribuciones a la teor´ıa estructural de los
semigrupos usando propiedades de la aproximaci´
on extendida de Yosida.

1. Pr´
eliminaires
Dans la suite, nous noterons par E un espace de Banach sur le corps des
nombres complexes C, par B(E) l’alg`ebre de Banach des op´erateurs lin´eaires
born´es dans E et par I l’unit´e de B(E).
1This work was partially supported by Yangtse Professorship Researches Programme,
Wuhan University, China.

28

Ludovic Dan Lemle

Pour un op´erateur lin´eaire A : D(A) ⊂ E −→ E nous noterons par
ρ(A) = {λ ∈ C | λI − A est inversible dans B(E) }
l’ensemble r´esolvant de A ∈ B(E) et par
R( . ; A) : ρ(A) −→ B(E)
−1

R(λ; A) = (λI − A)
la r´esolvante de l’op´erateur lin´eaire A.


efinition 1.1. On appelle C0 -semi-groupe d’op´erateurs lin´eaires born´es sur
E une famille {T (t)}t≥0 ⊂ B(E) v´erifiant les propri´et´es suivantes :
i) T (0) = I ;
ii) T (t + s) = T (t)T (s) ,
iii) limt 0 T (t)x = x ,

(∀) t, s ≥ 0 ;

(∀) x ∈ E.


efinition 1.2. On appelle g´en´erateur infinit´esimal du C0 -semi-groupe
{T (t)}t≥0 , un op´erateur A d´efini sur l’ensemble :




T (t)x − x

existe
D(A) = x ∈ E lim
t 0
t
par :
T (t)x − x
Ax = lim
, (∀) x ∈ D(A).
t 0
t
Exemple 1.3. Soit :
Cub [0, ∞) = { f : [0, ∞) → R| f est uniform´ement continue et born´ee} .
Avec la norme f Cub [0,∞) = supα∈[0,∞) |f (α)|, l’espace Cub [0, ∞) devient un
espace de Banach. D´efinissons :
(T (t)f ) (α) = f (t + α) ,

(∀) t ≥ 0 et α ∈ [0, ∞).

Evidemment T (t) est un op´erateur lin´eaire, et, en plus, on a :
i) (T (0)f ) (α) = f (0 + α) = f (α). Donc T (0) = I ;
ii) (T (t + s)f ) (α) = f (t + s + α) = (T (t)f ) (s + α) = (T (t)T (s)f ) (α),
(∀) f ∈ Cub [0, ∞). Donc T (t + s) = T (t)T (s), (∀) t, s ≥ 0 ;


iii) limt 0 T (t)f − f Cub [0,∞) = limt 0 supα∈[0,∞) |f (t + α) − f (α)| =
0, (∀) f ∈ Cub [0, ∞).

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

29

De mˆeme, nous avons :
T (t)f Cub [0,∞) =

sup |(T (t)f ) (α)| =

α∈[0,∞)

= sup |f (β)| ≤
β∈[t,∞)

sup |f (t + α)|

α∈[0,∞)

sup |f (β)| = f Cub [0,∞) ,

β∈[0,∞)

(∀) t ≥ 0.

Donc T (t) = 1, (∀) t ≥ 0. Par cons´equent {T (t)}t≥0 est un C0 -semi-groupe
d’op´erateurs lin´eaires born´es sur Cub [0, ∞), nomm´e le C0 -semi-groupe de translation a` droite.
Soit A : D(A) ⊂ Cub [0, ∞) −→ Cub [0, ∞) le g´en´erateur infinit´esimal du C0 semi-groupe {T (t)}t≥0 . Si f ∈ D(A), alors nous avons :
Af (α) = lim

t 0

T (t)f (α) − f (α)
f (α + t) − f (α)
= lim
= f (α) ,
t 0
t
t

uniform´ement par rapport a` α. Par cons´equent :
D(A) ⊂ {f ∈ Cub [0, ∞) | f ∈ Cub [0, ∞) } .
Si f ∈ Cub [0, ∞) tel que f ∈ Cub [0, ∞), alors :




T (t)f − f

(T (t)f ) (α) − f (α)





−f
− f (α) .
= sup

t
t
α∈[0,∞)
Cub [0,∞)
Mais :



(T (t)f ) (α) − f (α)
f (α + t) − f (α)






− f (α) =
− f (α)

t
t

α+t





1


1
α+t






= f (τ )|α − f (α) = [f (τ ) − f (α)] dτ
t
t

α

α+t

1

|f (τ ) − f (α)| dτ −→ 0
t
α

uniform´ement par rapport a` α pour t 0. Par suite :


T (t)f − f




f
−→ 0 si t 0,


t
Cub [0,∞)
d’o`
u f ∈ D(A) et :
{f ∈ Cub [0, ∞) |f ∈ Cub [0, ∞) } ⊂ D(A) .

30

Ludovic Dan Lemle

Par cons´equent D(A) = {f ∈ Cub [0, ∞) |f ∈ Cub [0, ∞) } et Af = f . Comme cet
op´erateur est non born´e, il ne peut pas engendrer un semi-groupe uniform´ement
continu.
Nous noterons par SG(M, ω) l’ensemble des C0 -semi-groupes {T (t)}t≥0 ⊂
B(E) pour lesquels il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que :
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0 .

Dans ce cas, on dit que {T (t)}t≥0 est un C0 -semi-groupe exponentiellement
born´e.
Proposition 1.4. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Si x ∈ D(A), alors T (t)x ∈ D(A) et on a l’´egalit´e :
T (t)Ax = AT (t)x ,

(∀) t ≥ 0.

Preuve. Soit x ∈ D(A). Alors pour tout t ≥ 0, nous avons :
T (h)x − x
h
T (h)T (t)x − T (t)x
.
= lim
h 0
h

T (t)Ax = T (t) lim

h 0

Donc T (t)x ∈ D(A) et on a T (t)Ax = AT (t)x, (∀) t ≥ 0.




Remarque 1.5. On voit que :
T (t)D(A) ⊆ D(A) ,

(∀) t ≥ 0.

Proposition 1.6. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Alors l’application :
[0, ∞) t −→ T (t)x ∈ E
est d´erivable sur [0, ∞), pour tout x ∈ D(A) et nous avons :
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x ,
dt

(∀) t ≥ 0.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

31

Preuve. Soient x ∈ D(A), t ≥ 0 et h > 0. Alors :




T (t + h)x − T (t)x


T (h)x − x



− T (t)Ax ≤ T (t)
− Ax


h
h



T (h)x − x
− Ax
≤ M eωt
.

h
Par cons´equent :
T (t + h)x − T (t)x
= T (t)Ax ,
h

lim

h 0

d’o`
u:

d+
T (t)x = T (t)Ax , (∀) t ≥ 0.
dt
Si t − h > 0, alors nous avons :


T (t − h)x − T (t)x


− T (t)Ax


−h


T (h)x − x


≤ T (t − h)
− Ax + Ax − T (h)Ax

h




T (h)x − x
+ T (h)Ax − Ax .
≤ M eω(t−h)

Ax


h

Par suite :
lim

h 0

T (t − h)x − T (t)x
= T (t)Ax
−h

et :

d−
T (t)x = T (t)Ax , (∀) t ≥ 0.
dt
Il s’ensuit que l’application consid´er´ee dans l’´enonc´e est d´erivable sur [0, ∞),
quel que soit x ∈ D(A). De plus, on a l’´egalit´e :
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x ,
dt

(∀) t ≥ 0.

Lemme 1.7. Soit {T (t)}t≥0 un C0 -semi-groupe. Alors :
1
h 0 h
lim

quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.

t+h

T (s)x ds = T (t)x
t




32

Ludovic Dan Lemle

Preuve. L’´egalit´e de l’´enonc´e r´esulte de l’´evaluation :
t+h

t+h



1

1
=


T
(s)x
ds

T
(t)x
(T
(s)

T
(t))
x
ds
h

h



t

t



sup
s∈[t,t+h]

T (s)x − T (t)x


et de la continuit´e de l’application [0, ∞) t −→ T (t)x ∈ E.
Proposition 1.8. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´e
t
simal. Si x ∈ E, alors T (s)x ds ∈ D(A) et on a l’´egalit´e :
0

t
T (s)x ds = T (t)x − x ,

A

(∀) t ≥ 0.

0

Preuve. Soient x ∈ E et h > 0. Alors :
T (h) − I
h

t
0

1
T (s)x ds =
h

t
0

1
T (s + h)x ds −
h

t
T (s)x ds
0

t+h

t
1
1
=
T (u)x du −
T (s)x ds
h
h
h

0

t+h

h
t
1
1
1
=
T (u)x du −
T (u)x du −
T (u)x du
h
h
h
0

0

0

t+h

h
1
1
=
T (u)x du −
T (u)x du .
h
h
t

0

Par pasage a` limite pour h 0 et compte tenu du lemme 1.7, nous obtenons :
t
T (s)x ds = T (t)x − x ,

A
0

(∀) t ≥ 0

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

et :

t
T (s)x ds ∈ D(A).

C0

...

33




0

Th´
eor`
eme 1.9. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Alors x ∈ D(A) et Ax = y si et seulement si
t
T (t)x − x =

T (s)y ds ,

(∀) t ≥ 0.

0

Preuve. =⇒ Si x ∈ D(A) et Ax = y, alors nous avons :
d
T (s)x = T (s)Ax = T (s)y ,
ds
d’o`
u:

t

t
T (s)y ds =

0

0

(∀) s ∈ [0, t] , t ≥ 0,

d
T (s)x ds = T (t)x − x ,
ds

(∀) t ≥ 0.

⇐= Soient x, y ∈ E tel que
t
T (t)x − x =

T (s)y ds ,

(∀) t ≥ 0.

0

Alors nous avons
T (t)x − x
1
=
t
t
d’o`
u
T (t)x − x
1
= lim
lim
t 0
t 0 t
t

t
T (s)y ds ,

(∀) t ≥ 0,

0

t
T (s)y ds = T (0)y = y ,

(∀) t ≥ 0,

0


compte tenu du lemme 1.7. Finalement on voit que x ∈ D(A) et Ax = y.
Th´
eor`
eme 1.10. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Alors :
i) D(A) = E ;
ii) A est un op´erateur ferm´e.

34

Ludovic Dan Lemle

Preuve. i) Soient x ∈ E et tn > 0 , n ∈ N, tel que lim tn = 0. Alors :
n→∞

xn =

1
tn

tn
T (s)x ds ∈ D(A) ,

(∀) n ∈ N,

0

d’o`
u:
1
lim xn = lim
n→∞
n→∞ tn

tn
T (s)x ds = T (0)x = x .
0

Par cons´equent D(A) = E.
ii) Soit (xn )n∈N ⊂ D(A) tel que limn→∞ xn = x et lim Axn = y. Alors :
n→∞

T (s)Axn − T (s)y ≤ T (s) Axn − y ≤ M eωt Axn − y
quel que soit s ∈ [0, t]. Par suite T (s)Axn −→ T (s)y, pour n → ∞, uniform´ement par rapport a` s ∈ [0, t]. D’autre part, puisque xn ∈ D(A), nous
avons :
t
T (t)xn − xn = T (s)Axn ds ,
0

d’o`
u:

t
lim [T (t)xn − xn ] = lim

n→∞

n→∞

ou bien :

T (s)Axn ds ,
0

t
T (t)x − x =

T (s)y ds .
0

Finalement, on voit que :
T (t)x − x
1
= lim
t 0
t 0 t
t

t

lim

T (s)y ds = y .
0

Par suite x ∈ D(A) et Ax = y, d’o`
u il r´esulte que A est un op´erateur ferm´e.


Nous montrons maintenant un r´esultat qui concerne l’unicit´e de l’engendrement pour les C0 -semi-groupes.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

35

Th´
eor`
eme 1.11. [l’unicit´e de l’engendrement] Soient deux C0 -semi-groupes
{T (t)}t≥0 et {S(t)}t≥0 ayant pour g´en´erateur infinit´esimal le mˆeme op´erateur
A. Alors :
T (t) = S(t) , (∀) t ≥ 0.
Preuve. Soient t > 0 et x ∈ D(A). D´efinissons l’application :
[0, t] s −→ U (s)x = T (t − s)S(s)x ∈ D(A).
Alors :
d
d
d
U (s)x =
T (t − s)S(s)x + T (t − s) S(s)x
ds
ds
ds
= −AT (t − s)S(s)x + T (t − s)AS(s)x
=0
quel que soit x ∈ D(A). Par suite U (0)x = U (t)x, pour tout x ∈ D(A), d’o`
u:
(∀) x ∈ D(A) et t ≥ 0.

T (t)x = S(t)x ,

Puisque D(A) = E et T (t), S(t) ∈ B(E), pour tout t ≥ 0, il r´esulte que :
T (t)x = S(t)x ,

(∀) t ≥ 0 et x ∈ E ,

ou bien :
T (t) = S(t) ,

(∀) t ≥ 0.




2. La transform´
ee de Laplace d’un C0 -semi-groupe
Dans la suite, pour ω ≥ 0 nous d´esignerons par Λω l’ensemble
{λ ∈ C | Re λ > ω }. Soit λ ∈ Λω et {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω). Nous avons :
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0

et on voit que :

−λt
e T (t)x ≤ e Re λt T (t) x ≤ M e−( Re λ−ω)t x ,
D´efinissons l’application :
Rλ : E −→ E ,
par :


Rλ x = e−λt T (t)x dt .
0

(∀) x ∈ E.

36

Ludovic Dan Lemle

Il est clair que Rλ est un op´erateur lin´eaire. De plus, on a :

Rλ x ≤


−λt
e T (t)x dt ≤

0

M
x ,
Re λ − ω

(∀) x ∈ E,

d’o`
u il r´esulte que Rλ est un op´erateur lin´eaire born´e.

efinition 2.1. L’op´erateur :
R : Λω −→ B(E)

R(λ) = e−λt T (t) dt
0

s’appelle la transform´ee de Laplace du semi-groupe {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω).
Th´
eor`
eme 2.2. Soit T : [0, ∞) −→ B(E) une application fortement continue
pour laquelle il existe M ≥ 0 et ω ∈ R tel que
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Alors l’application
R : Λω −→ B(E)

R(λ) = e−λt T (t) dt
0

est une pseudo-r´esolvante si et seulement si on a
T (t + s) = T (t)T (s) ,

(∀) t, s ≥ 0.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

37

Preuve. Soient λ, µ ∈ Λω , tel que λ = µ. Alors nous avons :
1
1
R(λ) − R(µ)
=
R(λ) −
R(µ)
µ−λ
µ−λ
µ−λ


−(µ−λ)τ
= e
R(λ)dτ − e−(µ−λ)τ R(µ)dτ
0

0





−(µ−λ)τ
−λr
−(µ−λ)τ
= e
e
T (r)dr dτ − e
e−µr T (r)dr dτ
0

0

0

0

∞ ∞
∞ ∞
−(µ−λ)τ −λr
=
e
e
T (r)dr dτ −
e−(µ−λ)τe−µr T (r)dr dτ
0 0

0 0

0 0

0 0

∞ ∞
∞ ∞
−(µ−λ)τ −λr
=
e
e
T (r)dr dτ −
e−(µ−λ)(τ +r)e−λr T (r)dr dτ
∞ ∞
∞ ∞
−(µ−λ)τ −λr
=
e
e
T (r)dr dτ −
e−(µ−λ)(τ +r) dτe−λr T (r)dr
0

0

0

0

0

0

0

r

∞ ∞
∞ ∞
−(µ−λ)τ −λr
=
e
e
T (r)dr dτ −
e−(µ−λ)(ν) dνe−λr T (r)dr


∞ r


=  e−(µ−λ)τ dτ + e−(µ−λ)τ dτ − e−(µ−λ)ν dν e−λr T (r)dr
0

r

0

∞ r
=
0

0

0

s

e−(µ−λ)s ds e−λr T (r)dr =

r

∞ r
0

e−(µ−λ)s e−λr T (r)dsdr

0

∞ ∞


−(µ−λ)s −λr
−(µ−λ)s
=
e
e
T (r)drds = e
e−λr T (r)drds
s

0





= e−µs e−λ(r−s) T (r)drds = e−µs e−λt T (t + s)dtds
s

0

∞ ∞
=
e−λt e−µs T (t + s)dtds .
0

0

0

0

38

Ludovic Dan Lemle

D’autre part, il est clair que
∞ ∞
R(λ)R(µ) =
e−λt e−µs T (t)T (s) dtds
0

0

et par cons´equent :
R(λ) − R(µ)
− R(λ)R(µ) =
µ−λ

∞ ∞
e−λt e−µs [T (t + s) − T (t)T (s)] dtds
0

0

d’o`
u on d´eduit facilement les affirmations de l’´enonc´e.




Th´
eor`
eme 2.3. Soient A : D(A) ⊂ E −→ E un op´erateur lin´eaire ferm´e
densement d´efinit et {T (t)}t≥0 ⊂ B(E) une famille fortement continue pour
laquelle il existe M ≥ 0 et ω ∈ R tel que
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Alors les affirmations suivantes sont ´equivalentes :
i) {T (t)}t≥0 est un C0 -semi-groupe exponentiellement born´e ayant pour
g´en´erateur infinit´esimal l’op´erateur A ;
ii) Λω ⊂ ρ(A) et pour tout λ ∈ Λω et tout x ∈ E on a R(λ)x = R(λ; A)x.
Preuve. i) =⇒ ii) Pour tout λ ∈ Λω et tout x ∈ E, nous avons :
T (h)R(λ)x − R(λ)x
1
=
h
h



1
−λt
e T (t + h)x dt −
e−λt T (t)x dt
h
0

0



1
1
−λ(s−h)
=
e
T (s)x ds −
e−λt T (t)x dt
h
h
0

h



1
e
−λs
e
T (s)x ds −
e−λt T (t)x dt
=
h
h
λh

0

h


h

1 −λt
eλh −λs
−λs
=
e
T (s)xds − e
T (s)xds −
e T (t)xdt
h
h
0

0

0



e −1
eλh
−λs
=
e
T (s)x ds −
e−λs T (s)x ds .
h
h
λh

0

0

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

39

Par passage `a limite, on obtient :
lim

h 0

T (h)R(λ)x − R(λ)x
= λR(λ)x − x .
h

Il en r´esulte que R(λ)x ∈ D(A) et
AR(λ)x = λR(λ)x − x ,

(∀) x ∈ E,

ou bien
(λI − A)R(λ)x = x ,

(∀) x ∈ E.

Si x ∈ D(A), alors nous obtenons :


d
−λt
R(λ)Ax = e T (t)Ax dt = e−λt T (t)x dt
dt
0



= e−λt T (t)x 0 + λ

0


e−λt T (t)x dt = x + λR(λ)x ,

0

d’o`
u:
R(λ)(λI − A)x = x ,

(∀) x ∈ D(A).

Finalement, on voit que λ ∈ ρ(A) et R(λ)x = R(λ; A)x, pour tout x ∈ E.
ii) ⇐= i) Soit λ ∈ Λω et R(λ; A) = R(λ). Compte tenu du th´eor`eme 2.2 il
en r´esulte :
T (t + s) = T (t)T (s) , t, s ≥ 0.
De plus, si T (0)x = 0, alors T (t)x = T (t)T (0)x = T (t)0 = 0, pour tout t > 0.
Par cons´equent R(λ)x = 0, d’o`
u il r´esulte x = 0 et, par suite, T (0) = I. Il en
d´ecoule {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) .
Soit maintenant B le g´en´erateur infinit´esimal du C0 -semi-groupe {T (t)}t≥0 .
Alors, en applicant la premi`ere partie de la preuve, on a :
R(λ; B) = R(λ) = R(λ; A)

d’o`
u il s’ensuit que B = A.
Remarque 2.4. On voit que pour tout λ ∈ Λω on a :
Im R(λ; A) = Im R(λ) ⊆ D(A)
et :
R(λ; A)D(A) = R(λ)D(A) ⊆ D(A) .

40

Ludovic Dan Lemle

Remarque 2.5. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Alors nous avons :
{λ ∈ C | Re λ > ω } ⊂ ρ(A).
et :
σ(A) ⊂ {λ ∈ C | Re λ ≤ ω } .
Th´
eor`
eme 2.6. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Pour tout λ ∈ Λω on a :
M
n
R(λ; A) ≤
, (∀) n ∈ N∗ .
( Re λ − ω)n
Preuve. Soit {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) . Alors :
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Compte tenu du th´eor`eme 2.3, si λ ∈ Λω , nous avons λ ∈ ρ(A) et :

R(λ; A)x = e−λt T (t)x dt , (∀) x ∈ E.
0

De plus :
R(λ; A) ≤

M
.
Re λ − ω

Il est clair que :

d
R(λ; A)x = − te−λt T (t)x dt ,


(∀) x ∈ E

0

et par r´ecurrence on peut montrer que :

dn
n
R(λ; A)x = (−1)
tn e−λt T (t)x dt ,
dλn

(∀) x ∈ E et n ∈ N∗ .

0

D’autre part, nous avons :
dn
n+1
R(λ; A)x = (−1)n n!R(λ; A)
x , (∀) x ∈ E et n ∈ N∗ .
dλn
Par suite, on a :

n+1
n
n
(−1) n!R(λ; A)
x = (−1)
tn e−λt T (t)x dt , (∀) x ∈ E et n ∈ N∗ ,
0

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

41

d’o`
u il r´esulte que :
1
R(λ; A) x =
(n − 1)!
n


tn−1 e−λt T (t)x dt ,

(∀) x ∈ E et n ∈ N∗ .

0

De plus :
M x
R(λ; A) x ≤
(n − 1)!
n


tn−1 e−( Re λ−ω)t dt
0

M x n − 1
=
(n − 1)! Re λ − ω
= ··· =


tn−2 e−( Re λ−ω)t dt
0

M x
( Re λ − ω)n

quels que soient x ∈ E et n ∈ N∗ . Par cons´equent :
n

R(λ; A) ≤

M
,
( Re λ − ω)n

(∀) n ∈ N∗ .




3. L’approximation g´
en´
eralis´
ee de Yosida
Dans cette section nous avons utilis´e les id´ees de Pazy [Pa’83-1, pag. 9]
pour obtenir une petite extension de l’aproximation de Yosida .
Lemme 3.1. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un op´erateur lin´eaire v´erifiant les
propri´et´es suivantes :
i) A est un op´erateur ferm´e et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω , on a :
n

R(λ; A) ≤

M
,
( Re λ − ω)n

(∀) n ∈ N∗ .

Alors pour tout λ ∈ Λω , nous avons :
lim

Re λ→∞

λR(λ; A)x = x ,

(∀) x ∈ E.

De plus λAR(λ; A) ∈ B(E) et :
lim

Re λ→∞

λAR(λ; A)x = Ax ,

(∀) x ∈ D(A).

42

Ludovic Dan Lemle

Preuve. Soient x ∈ D(A) et λ ∈ C tel que Re λ > ω. Alors R(λ; A)(λI − A)x =
x. Si Re λ → ∞, nous avons :
λR(λ; A)x − x = R(λ; A)Ax ≤ R(λ; A) Ax
M
Ax −→ 0 ,

Re λ − ω
d’o`
u il r´esulte que :
lim

Re λ→∞

λR(λ; A)x = x ,

(∀) x ∈ D(A).

Soit x ∈ E, puisque D(A) = E, il existe une suite (xn )n∈N ⊂ D(A) telle que
xn −→ x si n → ∞. Nous avons :
λR(λ; A)x −x ≤ λR(λ; A)x −λR(λ; A)xn + λR(λ; A)xn −xn + xn − x
≤ λR(λ; A) x − xn + λR(λ; A)xn − xn + xn − x
M
|λ|M
x − xn +
Axn + xn − x
Re λ − ω
Re λ − ω
|λ|M + Re λ − ω
M
xn − x +
Axn .
=
Re λ − ω
Re λ − ω
Mais xn −→ x si n → ∞. Donc pour tout ε > 0 , il existe nε ∈ N tel que :
Re λ − ω
xnε − x < ε
.
|λ|M + Re λ − ω
Par cons´equent :
M
Axnε ,
λR(λ; A)x − x < ε +
Re λ − ω
d’o`
u:
lim sup λR(λ; A)x − x < ε , (∀) x ∈ E,


Re λ→∞

ou bien :
lim

Re λ→∞

λR(λ; A)x = x ,

(∀) x ∈ E.

De plus :
λAR(λ; A) = λ [λI − (λI − A)] R(λ; A) = λ [λR(λ; A) − I] = λ2 R(λ; A) − λI.
Par suite, on a :
λAR(λ; A)x = λ [λR(λ; A) − I] x ≤ |λ| λR(λ; A)x − x


|λ|M
≤ |λ| ( λR(λ; A)x + x ) ≤ |λ|
+1 x , (∀) x ∈ E
Re λ − ω
et on voit que λAR(λ; A) ∈ B(E).

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

43

Si x ∈ D(A), alors nous avons :


λR(λ; A)Ax = λ2 R(λ; A) − λI x = λAR(λ; A)x ,
d’o`
u il r´esulte que :
lim

Re λ→∞

λAR(λ; A)x = lim λR(λ; A)Ax = Ax ,
Re →∞

(∀) x ∈ D(A).




Remarque 3.2. On peut dire que les op´erateurs born´es λAR(λ; A) sont des
approximations pour l’op´erateur non born´e A. C’est le motif pour lequel on
introduit la d´efinition suivante.
u Aλ = λAR(λ; A), s’appelle

efinition 3.3. La famille {Aλ }λ∈Λω ⊂ B(E), o`
l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A.
Th´
eor`
eme 3.4. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω), A son g´en´erateur infinit´esimal
et {Aµ }µ∈Λω l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A. Alors pour
tout µ ∈ Λω , il existe Ω > ω tel que ΛΩ ⊂ ρ(Aµ ) et pour tout λ ∈ ΛΩ on a :
R(λ; Aµ ) ≤

M
.
Re λ − Ω

De plus, pour ε > 0, il existe une constante C > 0 (qui d´epend de M et ε) tel
que :
R(λ; Aµ )x ≤

C
( x + Ax ) ,
|λ|

(∀) x ∈ D(A),

quels que soient λ, µ ∈ C, avec Re λ > Ω + ε et Re µ > ω +

|µ|
.
2

Preuve. Soit µ ∈ Λω arbitrairement fix´e. Nous avons vu
que A µ est le g´en´erateur infinit´esimal du semi-groupe uniform´ement continu etAµ t≥0 . En ce cas,
nous avons :


tA
2
2


e µ =
et(µ R(µ;A)−µI ) = e−µtI eµ tR(µ;A)




k
∞ tk |µ|2k
tk µ2k R(µ; A)k
A)
R(µ;




≤ e− Re µt
≤ e− Re µt


k!
k!
k=0

k=o

44

Ludovic Dan Lemle

≤ e− Re µt



k=0




tk |µ|2k M
= M e− Re µt
k
k!( Re µ − ω)

k=0

= M e− Re µt et|µ|

2

= M et(ω Re µ+ Im



t|µ|2
Re µ−ω

k

k!

/( Re µ−ω)

2

µ)/( Re µ−ω)

Si nous notons :
Ω=

.

ω Re µ + Im 2 µ
,
Re µ − ω

alors il est clair que :

ω 2 + Im 2 µ
>ω
Re µ − ω
= {λ ∈ C | Re λ > Ω } ⊂ ρ(Aµ ). De plus, pour tout λ ∈ ΛΩ , nous
Ω=ω+

et que ΛΩ
avons :

M
.
Re λ − Ω
Si nous consid´erons λ ∈ C tel que Re λ > Ω + ε, o`
u ε > 0, alors on voit que :
M
.
R(λ; Aµ ) ≤
ε
|µ|
, nous obtenons :
D’autre part, pour x ∈ D(A) et µ ∈ Λω tel que Re µ > ω +
2
Aµ x = µR(µ; A)Ax ≤ |µ| R(µ; A) Ax
M
Ax ≤ 2M Ax .
≤ |µ|
Re µ − ω
De l’´egalit´e :
(λI − Aµ )R(λ; Aµ ) = I ,
il vient :
1
1
R(λ; Aµ ) = I + R(λ; Aµ )Aµ
λ
λ
et par cons´equent :
1
R(λ; Aµ )x ≤
( x + R(λ; Aµ ) Aµ x )
|λ|


1
2M 2
Ax

x +
|λ|
ε
C

( x + Ax ) , (∀) x ∈ D(A) ,
|λ|
R(λ; Aµ ) ≤

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

o`
u la constante C ne d´epend que de M et de ε.

C0

...

45




Th´
eor`
eme 3.5. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω), A son g´en´erateur infinit´esimal,
{Aµ }µ∈Λω l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A et λ ∈ C tel
que Re λ > ω + ε, arbitrairement fix´e pour ε > 0. Alors il existe µ ∈ Λω tel
λµ
∈ ρ(A) et
que λ ∈ ρ(Aµ ),
λ+µ


2
µ
λµ
1
R(λ; Aµ ) =
I+
;A .
R
λ+µ
λ+µ
λ+µ
Preuve. Compte tenu du th´eor`eme 3.4, pour µ ∈ Λω , il existe Ω > ω tel que
ΛΩ ⊂ ρ(Aµ ). Nous avons :
Ω=

ω Re µ + Im 2 µ
.
Re µ − ω

Donc l’in´egalit´e Re λ > Ω est ´equivalente avec :
Re λ > ω +

ω 2 + Im µ
.
Re µ − ω

ω 2 + Im µ
< ε, alors Re λ > ω + ε implique
Re µ − ω
Re λ > Ω. Par suite, λ ∈ ρ(Aµ ). Donc il existe R(λ; Aµ ) et avec le th´eor`eme
3.4 on voit que :
M
.
R(λ; Aµ ) ≤
Re λ − ω
D’autre part, nous avons :


λµ
λ2
λ2
Re
= Re λ −
= Re λ − Re
λ+µ
λ+µ
λ+µ
λ2
.
> ω + ε − Re
λ+µ
Soit ε > 0. Si µ ∈ Λω tel que

Etant donn´e k > 0 tel que |Im λ| ≤ k, il existe µ ∈ Λω tel que Re

ε
λ2
< .
λ+µ
2

ε
λµ
λµ
> ω + . Par cons´equent,
∈ ρ(A) et donc
Il s’ensuit que Re
λ
+
µ
2
λ



λµ
; A existe bien.
R
λ+µ

46

Ludovic Dan Lemle

Nous avons :


λµ
1
(λI − Aµ )(µI − A)R
;A
λ+µ
λ+µ



λµ
1
2
=
λI − µ R(µ; A) + µI (µI − A)R
;A
λ+µ
λ+µ




λµ
µ2
= µI − A −
I R
;A
λ+µ
λ+µ



λµ
λµ
=
I −A R
;A = I .
λ+µ
λ+µ
Par un calcul analogue, on peut obtenir :


λµ
1
(µI − A)R
; A (λI − Aµ ) = I .
λ+µ
λ+µ
Il s’ensuit que :
R(λ; Aµ ) =

1
(µI − A)R
λ+µ




λµ
;A .
λ+µ

De plus, compte tenu de l’identit´e de la r´esolvante, il en r´esulte que :





λµ
λµ
λµ
R
; A − R(µ; A) = µ −
; A R(µ; A) .
R
λ+µ
λ+µ
λ+µ
En applicant la commutativit´e de la r´esolvante, on obtient :




λµ
λµ
µ2
R
; A = R(µ; A) +
R(µ; A)R
;A
λ+µ
λ+µ
λ+µ
d’o`
u il s’ensuit que
1
(µI − A)R
λ+µ






2
λµ
µ
λµ
1
;A =
I+
;A .
R
λ+µ
λ+µ
λ+µ
λ+µ




Remarque 3.6. Evidemment, pour λ ∈ Λω , on voit que A λ est le g´en´erateur infinit´esimal d’un semi-groupe uniform´ement continu etAλ t≥0 . Nous utiliserons
cette famille pour montrer l’existence d’un C0 -semi-groupe engendr´e par A.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

47

4. Le th´
eor`
eme de Hille-Yosida
Dans ce paragraphe nous pr´esentons un r´esultat tr`es important concernant
les semi-groupes de classe C0 . Il s’agit du c´el`ebre th´eor`eme de Hille-Yosida qui
donne une caract´erisation pour les op´erateurs qui sont g´en´erateurs de C0 -semigroupes. Il a ´et´e montr´e pour la premi`ere fois ind´ependamment par Hille dans
[Hi’48] et par Yosida dans [Yo’48] pour les C0 -semi-groupes de contractions.
Quelques ann´ees plus tard, Feller dans [Fe’53], Miyadera dans [Mi’52]
et Phillips dans [Ph’52] donnent une preuve pour le cas g´en´eral d’un C0 semi-groupe. Nous avons obtenu une preuve dans le cas le plus g´en´eral, en
utilisant l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida que nous avons introduit dans
la d´efinition 3.3.
Dans la suite, pour tout r > 1, nous notons par Λω,r l’ensemble

λ∈C




Re λ > r ω .

r−1

Lemme 4.1. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un op´erateur lin´eaire v´erifiant les
propri´et´es suivantes :
i) A est un op´erateur ferm´e et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω , on a :
n

R(λ; A) ≤

M
,
( Re λ − ω)n

(∀) n ∈ N∗ .

Si {Aλ }λ∈Λω est l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A, alors
pour tout r > 1 et tous α, β ∈ Λω,r nous avons :

tA
e α x − etAβ x ≤ M 2 teωrt Aα x − Aβ x ,

(∀) x ∈ E et t ≥ 0.

Preuve. Soient α, β ∈ Λω , v ∈ [0, 1] et x ∈ E. Alors :
d vtAα (1−v)tAβ
e
e
x = tAα evtAα e(1−v)tAβ x − tevtAα Aβ e(1−v)tAβ x .
dv

48

Ludovic Dan Lemle

On peut facilement v´erifier que Aα , Aβ , evtAα et e(1−v)tAβ commutent quels
que soient α, β ∈ Λω et t ≥ 0. Nous obtenons :
1
0

d vtAα (1−v)tAβ
e
e
x dv =
dv
1


tevtAα Aα e(1−v)tAβ x − tevtAα Aβ e(1−v)tAβ x dv ,

0

d’o`
u:
vtAα (1−v)tAβ

e

e

ou bien :

1 1


tevtAα e(1−v)tAβ Aα x − tevtAα e(1−v)tAβ Aβ x dv ,
x =
0

0

1
etAα x − etAβ x = t evtAα e(1−v)tAβ (Aα x − Aβ x) dv
0

quels que soient t ≥ 0 et x ∈ E. Nous en d´eduisons que :

tA
e α x − etAβ x ≤ t

1


vtA

e α
e(1−v)tAβ Aα x − Aβ x dv .

0

D’autre part, nous avons :


tA
2
2


e α =
et(α R(α;A)−αI ) = e−αtI eα tR(α;A)




k
∞ tk |α|2k
tk α2k R(α; A)k
A)
R(α;




≤ e− Re αt
≤ e− Re αt


k!
k!
k=0
k=o


k
t|α|2


k
2k


Re α−ω
t |α| M
= M e− Re αt
≤ e− Re αt
k!( Re α − ω)k
k!
k=0

k=0

− Re αt t|α|2 /( Re α−ω)

= Me

e

t(ω Re α+Im 2 α)/( Re α−ω)

= Me

quel que soient α ∈ Λω et t ≥ 0. Soit r > 1 tel que :
ω Re α + Im2 α
< ωr .
Re α − ω

,

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

49

Alors, nous avons :
ω Re α + Im 2 α < ωr Re α − ω 2 r ,
d’o`
u:

ω Re α < ωr Re α − ω 2 r ,

ou bien :

ω 2 r < ω(r − 1) Re α .

Il en d´ecoule :

r
ω.
r−1
Par cons´equent, pour tout r > 1 et tout α ∈ Λω,r , on obtient :
tA
e α ≤ M erωt , (∀) t ≥ 0.
Re α >

Par suite, on a :

tA
e α x − etAβ x ≤ t

1

M eωrvt M eωr(1−v)t Aα x − Aβ x dv =

0

= M 2 teωrt Aα x − Aβ x
quels que soient x ∈ E et t ≥ 0.
Maintenant nous pr´esentons
Yosida pour les semi-groupes de



une variante du c´el`ebre th´eor`eme de Hille–
classe SG(M, ω).

Th´
eor`
eme 4.2. [Hille–Yosida] Un op´erateur lin´eaire :
A : D(A) ⊂ E −→ E
est le g´en´erateur infinit´esimal d’un semi-groupe {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) si et
seulement si :
i) A est un op´erateur ferm´e et D(A) = E ;
ii) il existe ω ≥ 0 et M ≥ 1 tel que Λω ⊂ ρ(A) et pour λ ∈ Λω , on a :
M
n
, (∀) n ∈ N∗ .
R(λ; A) ≤
( Re λ − ω)n
Preuve. =⇒ On obtient cette implication en tenant compte du th´eor`eme 1.10
et du th´eor`eme 2.6.
⇐= Supposons que l’op´erateur A : D(A) ⊂ E −→ E poss`ede les propri´et´es (i)
et (ii). Soit {Aλ }λ∈Λω , l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A.
Compte tenu du lemme 3.1, il r´esulte que Aλ ∈ B(E) et :
lim

Re λ→∞

Aλ x = Ax ,

(∀) x ∈ D(A).

50

Ludovic Dan Lemle



Pour λ ∈ Λω , soit {Tλ (t)}t≥0 = etAλ t≥0 le semi-groupe uniform´ement continu
engendr´e par Aλ . Soit r > 1. Avec le lemme 4.1, on a :
Tα (t)x − Tβ (t)x ≤ M 2 teωrt Aα x−Aβ x , (∀)α, β ∈ Λω,r , x ∈ D(A) et t ≥ 0.
Soient [D(A)] l’espace de Banach D(A) avec la norme . D(A) , et B([D(A)], E)
l’espace des op´erateurs lin´eaires born´es d´efinis sur [D(A)] avec valeur dans
E, dot´e de la topologie forte. Notons par C ([0, ∞); B([D(A)], E)) l’espace des
fonctions continues d´efinies sur [0, ∞) a` valeurs dans B([D(A)], E) dot´e de la
topologie de la convergence uniforme sur les intervalles compacts de [0, ∞). Si
[a, b] ⊂ [0, ∞), alors pour tout x ∈ D(A) nous avons :
sup Tα (t)x − Tβ (t)x ≤ M 2 beωrb ( Aα x − Ax + Aβ x − Ax ) −→ 0

t∈[a,b]



si r 1, donc si Re α, Re β → ∞, d’o`
u il r´esulte que {Tλ (t)}t≥0

λ∈Λω,r

est

une suite de Cauchy dans C ([0, ∞); B([D(A)], E)). Donc, il existe un unique
T0 ∈ C ([0, ∞); B(D(A), E)) tel que Tλ (t)x −→ T0 (t)x, si Re λ → ∞, quel que
soit x ∈ D(A), pour la topologie de la convergence uniforme sur les intervalles
compacts de [0, ∞). Puisque :
Tλ (t) ≤ M eωrt ,

(∀) t ≥ 0,

on obtient :
T0 (t)x ≤ M eωt x ,

(∀) t ≥ 0 et x ∈ D(A).

Consid´erons l’application lin´eaire :
Θ0 : D(A) −→ C ([a, b]; E)
Θ0 x = T0 ( . )x
quel que soit [a, b] ⊂ [0, ∞). Comme nous avons :
Θ0 x C([a,b];E) = sup T0 (t)x ≤ M eωb x ≤ M eωb x D(A) ,
t∈[a,b]

(∀) x ∈ D(A),

on voit que Θ0 est une application continue et puisque D(A) = E, elle se
prolonge de fa¸con unique en une application lin´eaire continue :
Θ : E −→ C ([a, b]; E)
telle que :
Θ|D(A) = Θ0
et :
Θx C([a,b];E) ≤ M eωb x

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

51

quel que soit x ∈ E. Par cons´equent, il existe un seul op´erateur
T ∈ C ([a, b]; B(E)) tel que :
(∀) x ∈ E.

Θx = T ( . )x ,

On peut r´ep´eter ce proc´ed´e pour tous les intervalles compacts de [0, ∞) et on
voit qu’il existe un seul op´erateur, not´e aussi par T ∈ C ([0, ∞); B(E)), tel que
pour tout x ∈ E on ait :
Tλ (t)x −→ T (t)x si

Re λ → ∞,

uniform´ement par rapport a` t sur les intervalles compacts de [0, ∞). De plus :
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Il est ´evident que :
T (0)x =
et :



lim T (t)x = lim

t 0

t 0

lim

Re λ→∞

lim

Re λ→∞

(∀) x ∈ E

Tλ (0)x = x ,


Tλ (t)x =


lim

Re λ→∞


lim Tλ (t)x = x ,

(∀) x ∈ E.

t 0

Soient t, s ∈ [0, ∞) et x ∈ E. Alors, nous avons :
T (t + s)x − T (t)T (s)x ≤ T (t + s)x − Tλ (t + s)x
+ Tλ (t + s)x − Tλ (t)T (s)x + Tλ (t)T (s)x − T (t)T (s)x
≤ T (t + s)x − Tλ (t + s)x + Tλ (t) Tλ (s)x − T (s)x
+ Tλ (t) (T (s)x) − T (t) (T (s)x) .
Puisque Tλ (t) −→ T (t), si Re λ → ∞, pour la topologie forte de B(E), il s’ensuit
que T (t + s)x = T (t)T (s)x, pour tout x ∈ E. Par cons´equent {T (t)}t≥0 ∈
SG(M, ω).
Montrons que A est le g´en´erateur infinit´esimal du semi-groupe {T (t)}t≥0 .
Pour tout x ∈ D(A) on a :
Tλ (s)Aλ x − T (s)Ax ≤ Tλ (s) Aλ x − Ax + Tλ (s)Ax − T (s)Ax
≤ M eωrt Aλ x − Ax + Tλ (s)Ax − T (s)Ax −→ 0
si Re λ → ∞, uniform´ement par rapport a` s ∈ [0, t], d’o`
u:
t
T (t)x − x =

lim

Re λ→∞

[Tλ (t)x − x] =

quels que soient x ∈ D(A) et t ≥ 0.

lim

Re λ→∞

t
Tλ (s)Aλ x ds =

0

T (t)Ax ds
0

52

Ludovic Dan Lemle

Soit B le g´en´erateur infinit´esimal du C0 -semigroupe {T (t)}t≥0 . Si x ∈ D(A),
alors :
t
T (t)x − x
1
= lim
lim
T (s)Ax ds = Ax
t 0
t 0 t
t
0

et nous voyons que x ∈ D(B). Par cons´equent D(A) ⊂ D(B) et B|D(A) = A.
D’autre part, nous avons l’in´egalit´e :
T (t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Si λ ∈ Λω , alors λ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B). Soit x ∈ D(B), on a donc (λI − B) x ∈ E
et comme l’op´erateur λI − A : D(A) −→ E est bijectif, il existe x ∈ D(A) tel
que (λI − A) x = (λI − B) x. Puisque B|D(A) = A, il vient que (λI − B) x =
(λI − B) x et comme λ ∈ ρ(B), il en r´esulte que x = x. Par suite x ∈ D(A) et
donc D(B) ⊂ D(A).
Finalement on voit que D(A) = D(B) et A = B. Nous avons montr´e donc
que A est le g´en´erateur infinit´esimal du C0 -semi-groupe {T (t)}t≥0 et compte
tenu du th´eor`eme de l’unicit´e de l’engendrement, il r´esulte que {T (t)}t≥0 est

l’unique C0 -semi-groupe engendr´e par A.
Corollaire 4.3. Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) , A son g´en´erateur infinit´esimal
et {Aλ }λ∈Λω l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A. Alors :
T (t)x =

lim

Re λ→∞

etAλ x ,

(∀) x ∈ E,

uniform´ement par rapport a` t sur les intervalles compacts de [0, ∞).

Preuve. Elle r´esulte du th´eor`eme de Hille–Yosida.
Il existe des semi-groupes qui ne sont pas C0 -semi-groupes, comme nous
pouvons le voir dans l’exemple suivant [Vr’01, Problema 2.3].
Exemple 4.4. Soit :
Ccb (R) = { f : R → R | f est continue et born´ee} .
Avec la norme
f Ccb (R) = sup |f (α)|
α∈R

l’espace Ccb (R) devient un espace de Banach. Soit t ≥ 0 et
S(t) : Ccb (R) −→ Ccb (R)
(S(t)f ) (α) = f (t + α) ,

(∀)f ∈ Ccb (R) et α ∈ R.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

53

Compte tenu de l’exemple 1.3, on voit que {S(t)}t≥0 est un semi-groupe d’op´erateurs lin´eaires born´es sur Ccb (R). Mais l’´egalit´e
lim S(t)f = f ,

t 0

(∀)f ∈ Ccb (R)

est vraie si et seulemant si f est une fonction uniform´ement continue sur R.
Comme dans l’espace Ccb (R) on peut trouver des fonctions qui ne sont pas
uniform´ement continue, par exemple f (α) = sin α2 , il s’ensuit que le semigroupe {S(t)}t≥0 n’est pas de classe C0 .
De plus, on peut voir que le semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour g´en´erateur infinit´esimal l’op´erateur
A : D(A) ⊂ Ccb (R) −→ Ccb (R)
Af = f
o`
u
D(A) = {f : R → R | est uniform´ement derivable `a droite sur R et f ∈ Cub (R)}.
Comme
D(A) = Cub (R) ⊂ Ccb (R) ,
il s’ensuit que A n’est pas un op´erateur dens d´efinit.
Dans le cas d’un g´en´erateur infinit´esimal A qui n’est plus un op´erateur dens
d´efinit, on a le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 4.5. Soit A : D(A) ⊂ E ←− E un op´erateur lin´eaire ferm´e pour
lequel il existe M ≥ 0 et ω > 0 tel que Λω ∈ ρ(A) et pour tout λ ∈ Λω on a
n

R(λ; A) ≤

M
,
(Re λ − ω)n

(∀) n ∈ N∗ .

Alors la partie de A dans D(A) est le g´en´erateur d’un C0 -semi-groupe sur D(A).
Preuve. La partie de A dans D(A) est l’op´erateur lin´eaire AD(A) d´efinit sur
l’ensemble





D AD(A) = x ∈ D(A) Ax ∈ D(A)
par


AD(A) = A

D (AD(A) )

.



Il est clair que pour tout λ ∈ Λω et tout x ∈ D AD(A) on a
λx − AD(A) x = λx − Ax .

54

Ludovic Dan Lemle





Par suite Λω ∈ ρ AD(A) et pour la r´esolvante de la partie de A dans D(A)






R . ; AD(A) : ρ AD(A) −→ B D AD(A)
on obtient




R λ; AD(A) = R(λ; A)

D(A)

.

Alors, pour tout x ∈ D(A) et tout λ ∈ Λω il r´esulte que

n
M


x ,
R λ; AD(A) x = R(λ; A)n x ≤
( Re λ − ω)n

(∀) n ∈ N∗ .

De plus, pour tout x ∈ D(A) on a :
λR(λ; A)x − x = R(λ; A)Ax ≤

M
Ax
( Re λ − ω)

d’o`
u il s’ensuit que
lim

Re λ→∞

λR(λ; A)x = x ,

(∀) x ∈ D(A).

De mˆeme, on peut remarquer que pour tout x ∈ D(A) il r´esulte λR(λ; A)x ∈
D(A) et
A(λR(λ; A)x) = λAR(λ; A)x = λ[λI − (λI − A)]R(λ; A)x
= λ[λR(λ; A)x − x] = λ[λR(λ; A)x − R(λ; A)(λI − A)x]
= λR(λ; A)[λx − λx + Ax] = λR(λ; A)Ax ,
quel que soit λ ∈ Λω . Par cons´equent, λR(λ; A)x ∈ D(A) et A(λR(λ; A)x) ∈
x ∈ D(A) et tout λ ∈ Λω . Il s’ensuit donc que
D(A) ⊂ D(A), pour tout


λR(λ; A)x ∈ D AD(A) , pour tout x ∈ D(A) et tout λ ∈ Λω .


Soit maintenant x ∈ D(A) et tn ∈ 0, ω1 , n ∈ N, tel que limn→∞ tn = 0.
Alors




1
1
xn = R
; A x ∈ D AD(A) , (∀) n ∈ N
tn
tn
et


1
1
lim xn = lim
R
;A x = x.
n→∞
n→∞ tn
tn


Il en r´esulte que D AD(A) est dens dans D(A), donc dans D(A).
Avec le th´eor`eme de Hille-Yosida il s’ensuit que AD(A) est le g´en´erateur
infinit´esimal d’un C0 -semi-groupe {T (t)}t≥0 sur D(A).

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

55

Soit {Aλ }λ∈Λω l’approximation g´en´eralis´ee de Yosida de l’op´erateur A. Alors




donn´ee par
⊂ B D AD(A)
la famille Aλ,D(A)
λ∈Λω


Aλ,D(A) = Aλ

D(A)

est l’approximation de Yosida de l’op´erateur AD(A) . Compte tenu du corollaire
4.3 il en r´esulte que pour le C0 -semi-groupe {T (t)}t≥0 engendr´e par la partie
de A dans D(A) on a :
T (t)x =

lim

Re λ→∞

etAλ,D(A) x ,

(∀) x ∈ D(A),

uniform´ement par rapport a` t sur les intervalles compacts de [0, ∞).




5. Semi-groupes int´
egr´
es. Propri´
et´
es ´
el´
em´
entaires
Soient {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω) et A son g´en´erateur infinit´esimal. Soit
t
S(t) =

T (s) ds ,

(∀) t ≥ 0.

0

Alors la transform´ee de Laplace de S satisfait les ´egalit´es suivantes :


t

1
1
−λt
−λt
e S(t) dt = e
T (s) dsdt = −
e−λt T (t) dt = − R(λ; A) .
λ
λ
0

0

0

0

Le th´eor`eme 2.2 conduit a` la question suivante : on peut trouver une ´equation
fonctionelle v´eriffi´ee par S tel que l’application

Λω λ −→ λ e−λt S(t) dt
0

est une pseudo-r´esolvante ? On a le th´eor`eme suivant :
Th´
eor`
eme 5.1. [[Ar’87, Hi’91-1, MPV’97]] Soit S : [0∞) −→ B(E) une
application fortement continue pour laquelle il existe M ≥ 0 et ω ∈ R tel que
S(t) ≤ M eωt ,

(∀) t ≥ 0.

Les affirmations suivantes sont ´equivalentes :

56

Ludovic Dan Lemle

i) l’application R : Λω −→ B(E)

R(λ) = λ e−λt S(t) dt
0

est une pseudo-r´esolvante ;
ii) pour tous t, s ≥ 0 on a
t+s
s
S(t)S(s) =
S(r) dr − S(r) dr .
t

0

Preuve. Soit λ, µ ∈ Λω tel que λ = µ. Compte tenu de l’identit´e de la r´esolvante,
on a
R(λ) R(µ)
11 1
[R(λ) − R(µ)] =
.
λµµ−λ
λ
µ
Pour la partie de droite de l’´egalit´e on obtient
R(λ) R(µ)
=
λ
µ

∞ ∞
e−λt e−µs S(t)S(s) dsdt .
0

0

Pour obtenir l’´egalit´e de l’´enonc´e il est suffisant de montrer que
11 1
[R(λ) − R(µ)] =
λµµ−λ

 t+s

∞ ∞

s
e−λt e−µs  S(r) dr − S(r) dr dsdt.
0

0

t

0

On voit que




11 1
1 1
R(λ) R(µ)
1
1 R(µ)
1
[R(λ) − R(µ)] =


.
+
λµµ−λ
µµ−λ
λ
µ
µ−λ µ λ
µ

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

Nous avons succesivement :




R(λ) R(µ)
1
R(λ) R(µ)
−(µ−λ)τ



= e
µ−λ
λ
µ
λ
µ


0

−(µ−λ)τ

e

=
0


=

−(µ−λ)τ

R(λ)
dτ −
λ


e
0

∞ ∞
=
0

=

=

=



S(r)drdτ −

0

−(µ−λ)τ

e−(µ−λ)τ e−λr S(r)drdτ −

∞ ∞
0

e−(µ−λ)τ e−λr S(r)drdτ −

0

0

e−(µ−λ)τ e−µr S(r)drdτ

e−(µ−λ)(τ +r) e−λr S(r)drdτ

0

∞ ∞
0

e−(µ−λ)τ dτ e−λr S(r)dr −

e−µr S(r)drdτ

0

∞ ∞
0

e−(µ−λ)τ e−λr S(r)drdτ −



e
0

0

∞ ∞
0

0

0

∞ ∞
0

e

R(µ)

µ

e−(µ−λ)τ

0

∞ ∞
0

−λr



e−(µ−λ)(τ +r) dτ e−λr S(r)dr

0

∞ ∞

e−(µ−λ)ν dνe−λr S(r)dr

r

0



∞ r


=  e−(µ−λ)τ dτ + e−(µ−λ)τ dτ − e−(µ−λ)ν dν  e−λr S(r)dr
0

=
0

r

0

∞ r

e−(µ−λ)s dse−λr S(r)dr =

0

∞ ∞
=

0

−(µ−λ)s −λr

e
0


=

s

e−µs

0

∞ ∞
=
0

0

∞ r

e



e−(µ−λ)s e−λr S(r)dsdr

0


S(r)drds =

r

−(µ−λ)s

e
0

e−λ(r−s) S(r)drds =

s

e−λt e−µs S(t + s)dsdt .




0

e−µs


0

e−λr S(r)drds

s

e−λt S(t + s)dtds

57

58

Ludovic Dan Lemle

D’autre part, compte tenu de l’´egalit´e


1
=
µ

e−µv dv

0

on obtient




R(λ) R(µ)
1 1
1
−λt

e
e−µτ S(t + τ )dτ dt
=
µµ−λ
λ
µ
µ
0


=

0

−λt



e
0


=

=

e−λt

=




S(t + τ )

e−λt


S(t + τ )

0

e−λt



0

0



e−λt

0

e−µv dvdτ dt

0

e−µ(τ +v) dvdτ dt

0




=

S(t + τ )

0

0



e



0

0



−µτ

e−µs

e−µs

e−µs dsdτ dt

τ

s

S(t + τ )dτ dsdt
0
t+s

S(r)drdsdt .
t

0

De plus
1
µ−λ




∞ −µr

1 R(µ)
1 R(µ)
1
1
1
e

=−
=−
S(r)dr −
e−µr S(r)dr
µ λ
µ
µλ µ
λ
µ
µλ
=−

1
λ


0

e−µr S(r)


0

0

e−µv dvdr = −

1
λ

0




S(r)

0

0

e−µ(v+r) dvdr

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

1
=−
λ

=
0




S(r)

0

e−λt



−µs

e
r

e−µs

1
dsdr = −
λ

s

0



−µs

C0

...

59

s

e
0

S(r)dsdr
0

S(r)dsdrdt .
0

Par cons´equent
11 1
[R(λ) − R(µ)] =
λµµ−λ

 t+s

∞ ∞

s
e−λt e−µs  S(r) dr − S(r) dr dsdt.
0

t

0

0

On en d´eduit facilement l’´equivalence des affirmations de l’´enonc´e.




Remarque 5.2. Pour tous t, s ≥ 0 on a
t+s
s
S(t)S(s) =
S(r) dr − S(r) dr
t

0

t+s

t

S(r) dr −

=
0

s
S(r) dr −

0

t
0

s

0

t
S(τ + s) dτ −

=

t+s
t
S(r) dr =
S(r) dr − S(r) dr
0

t
S(τ ) dτ = [S(τ + s) − S(τ )] dτ .

0

0

De plus
S(t)S(s) = S(s)S(t) ,

(∀) t, s ≥ 0

et
S(t)S(0) = 0 ,

(∀) t ≥ 0.


efinition 5.3. On appelle semi-groupe int´egr´e sur E une famille {S(t)}t≥0 ⊂
B(E) v´erifiant les propri´et´es suivantes :
i) S(0)=0 ;
ii) l’application [0, ∞) t −→ S(t) ∈ B(E) est fortement continue ;
iii) pour tous t, s ≥ 0 on a
t
S(t)S(s) = [S(τ + s) − S(τ )] dτ .
0

60

Ludovic Dan Lemle

Remarque 5.4. Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e. Pour tout
n ∈ N, nous d´esignerons par C n l’ensemble
{x ∈ E | S(.)x ∈ C n ([0, ∞); E) }
avec la convention C 0 = E.
Alors la propri´et´e (iii) de la d´efinition 5.3 est ´equivalente avec
S(t)x ∈ C 1
et

S (r)S(t)x = S(r + t)x − S(r)x ,
pour tout x ∈ E. De plus, nous avons
S(t) : C n −→ C n+1 ,

et

S (t) : C n −→ C n ,

(∀)r, t ≥ 0

(∀) n ∈ N et t ≥ 0
(∀) n ∈ N∗ et t ≥ 0.

Proposition 5.5. Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e. Alors :
i) pour tout x ∈ C 1 on a
S(r)S (t)x = S(r + t)x − S(t)x ,

(∀)r, t ≥ 0;

ii) pour tout x ∈ C 1 on a
S (t)x = S (0)S(t)x + S (0)x ,

(∀) t ≥ 0;

2

iii) pour tout x ∈ C on a
S (0)S(t)x = S(t)S (0)x ,

(∀) t ≥ 0.

Preuve. i) Soit x ∈ C 1 et r, t ≥ 0. Alors

 t


d
d
d
 [S(τ + r) − S(τ )]dτ  x
S(r)S (t)x = [S(r)S(t)]x = [S(t)S(r)]x =
dt
dt
dt
0

= S(t + r)x − S(t)x .
ii) Soit x ∈ C 1 et r, t ≥ 0. Alors
d
d
[S (r)S(t)x] = [S(r + t)x − S(r)x] = S (r + t)x − S (r)x .
dt
dt
Pour r = 0, il en r´esulte :

S (r)S(t)x =

S (0)S(t)x = S (t)x − S (0)x ,

(∀) t ≥ 0,

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

61

d’o`
u on obtient (ii).
iii) Soit x ∈ C 2 et r, t ≥ 0. Alors
d
d
[S(r)S (t)] x = [S(r + t)x − S(t)x]
dt
dt
= S (r + t)x − S (t)x .

S(r)S (t)x =

Pour t = 0, il vient
S(r)S (0)x = S (r)x − S (0)x ,

(∀)r ≥ 0.


Compte tenu de l’´egalit´e (ii), il s’ensuit (iii).
Exemple 5.6. Soit {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω). Alors la famille {S(t)}t≥0 ⊂ B(E)
t
S(t) =

T (s)ds
0

est un semi-groupe int´egr´e sur E.
Exemple 5.7. Soit {T (t)}t≥0 ∈ SG(M, ω). Alors la famille {S(t)}t≥0 ⊂ B (E ∗ )
t
S(t) =

T ∗ (s)ds

0

est un semi-groupe int´egr´e sur E ∗ . En g´en´eral, ce semi-groupe n’est pas de
classe C0 .

efinition 5.8. On appelle espace d´eg´en´er´e du semi-groupe int´egr´e
{S(t)}t≥0 ⊂ B(E) l’ensemble
N = {x ∈ E | S(t)x = 0 ,

(∀) t ≥ 0} .

Remarque 5.9. N est un sous-espace ferm´e de C 1 .
Proposition 5.10. Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) et



N1 = x ∈ C 1 S (0)x = 0 .
Alors N = N1 .
Preuve. Fixe x ∈ N . Alors S(t)x = 0, pour tout T ≥ 0. Par cons´equent
u il r´esulte S (0)x = 0. Donc x ∈ N1 et, par
S (t)x = 0, pour tout t ≥ 0, d’o`
suite, N ∈ N1 . Soit x ∈ N1 . Alors S (0)x = 0. De l’´egalit´e
S(r)S (t)x = S(t + r)x − S(t)x ,

(∀) t, r ≥ 0

62

on obtient

Ludovic Dan Lemle

S(r)S (0)x = S(r)x ,

(∀) r ≥ 0.

Il en r´esulte
S(r)x = 0 , (∀) r ≥ 0
et on voit que x ∈ N . Par suite N1 ⊂ N . Finalement, on voit que N = N1 .



efinition 5.11. On dit que le semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est
non-d´eg´en´er´e si N = {0}. En cas contraire, on dit que {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est
un semi-groupe int´egr´e d´eg´en´er´e.
Remarque 5.12. Le semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est non-d´eg´en´er´e
si pour tout t ≥ 0, S(t)x = 0 implique x = 0.
Proposition 5.13. Un semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est non-d´eg´en´er´e si et seulement si on a S (0)x = x pout tout x ∈ C 1 .
Preuve. =⇒ Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e. Alors
S(t)x = 0 pour tout t ≥ 0, implique x = 0. Soit x ∈ C 1 . Avec la proposition
5.5, i), pour tout r, t ≥ 0 on voit que
S(r)S (t)x = S(r + t)x − S(t)x
d’o`
u, pour t = 0, il s’ensuit
S(r)S (0)x = S(r)x ,
ou bien
Comme {S(t)}t≥0
r´esulte

(∀)r ≥ 0

S(r)[S (0)x − x] = 0 , (∀)r ≥ 0.
⊂ B(E) est un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e, il en
S (0)x − x = 0

donc

S (0)x = x.
⇐= Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e tel que S(0)x = x, pour
tout x ∈ C 1 . Soit x ∈ N . Alors S (0)x = 0 et, par cons´equent, x = S (0)x = 0,
d’o`
u il s’ensuit que N = {0}. Il en r´esulte que {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est un

semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e.
Th´
eor`
eme 5.14. Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e.
Alors {S (t)}t≥0 est un C0 -semi-groupe sur C 1 .

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

63

Preuve. Pour tout x ∈ C 1 , l’application
[0, ∞) t −→ S (t)x ∈ C 1
est continue. Compte tenu de la proposition 5.13 on a S (0) = I et avec la
proposition 5.5, i), on voit que
S (r)S (t)x = S (r + t) ,

(∀)r, t ≥ 0 .


Il en r´esulte que {S (t)}t≥0 est un C0 -semi-groupe sur C 1 .

6. Le g´
en´
erateur d’un semi-groupe int´
egr´
e non-d´
eg´
en´
er´
e
Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e. Compte tenu
des r´esultats de la section 2, nous avons la tentation de considerer pour g´en´erateur du semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un op´erateur lin´eaire
A : D(A) ⊂ E −→ E
d´efinit par
A = λI − R−1 (λ)
o`
u

R(λ) = λ

e−λt S(t)dt .

0

Malheureusement, l’int´egrale de la partie de droite de l’´egalit´e n’existe pas en
g´en´eral, comme on peut voir dans l’exemple suivant [KH’89, Example 1.2].
Exemple 6.1. On consid`ere E = l2 et la famille {S(t)}t≥0 d’op´erateurs lin´eaires
sur E d´efinie par

 t

S(t)(xn )n∈N∗ =  ean s dsxn 
0

n∈N∗

o`
u
2

an = n + 2n πi ,

n ∈ N∗ .

64

Ludovic Dan Lemle

Nous alons montrer que {S(t)}t≥0 est un semi-groupe int´egr´e. Pour tout t ≥ 0
on a
 t



2
 ean s dsxn 
S(t)(xn )n∈N∗ l2 =



2

2
a t

n



= e − 1 xn




an

n∈N∗ l2
0
n∈N∗ l2
2

n2


∞ an t


e n+2 πi t − 1
e − 1 2
2




=
n + 2n2 πi |xn |
an xn =


n=1
n=1


2
2
n

2

∞ nt
ent+2 πit + 1


e +1
2
2



|xn | ≤
|xn |
n2 π
n2
2
2
n=1
n=1
2


2


2ent
2
2
nt−n2 ln 2
2e

|x
|
=
|xn | .
n
2
n ln 2
e
n=1
n=1

Comme l’application ϕ : R −→ R ,
t2
, il en r´esulte que
ϕmax =
4 ln 2

ϕ(x) = − ln 2x2 + tx `a un maximum :


2
2


2
t2
t2
2
2
S(t)(xn )n∈N∗ l2 ≤ 2e 4 ln 2
|xn | = 2e 4 ln 2 (xn )n∈N∗ l2
n=1

d’o`
u
t2

S(t) ≤ 2e 4 ln 2 ,

(∀) t ≥ 0.

Par cons´equent {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) . Evidemment, l’application t −→ S(t) (δin )
est continue. Comme l’ensemble { (δin )| n ∈ N} est totale dans l2 et comme
{S(t)}t≥0 est uniform´ement born´e par rapport a` t sur les intervales compacts de
[0, ∞), il en r´esulte que l’application [0, ∞) t −→ S(t) ∈ B(E) est fortement

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

65

continue. De plus S(0) = 0 et pour tous t, s ≥ 0 on a :

S(t)S(s) (xn )n∈N∗

= S(t) 

s


an σ

e



dσxn 

0

= S(t)
n∈N∗

ean s−1
xn
an




 t

an s−1
e
xn 
=  ean τ dτ
an
0
n∈N∗

 t
an (τ +s)
an τ
e
−e
=
dτ xn 
an
0
n∈N∗

 t

an (τ +s)
an τ
e

1

1
e
=

dτ xn 
an
an
0
n∈N∗

 t  τ +s

τ


=   ean u du − ean u du dτ xn 
0

t
=
0

0

0

 τ +s


 ean u duxn 
0


−
n∈N∗

t

τ

n∈N∗





ean u duxn 

0

 dτ

n∈N∗

[s(s + τ ) − S(τ )] (xn )n∈N∗ dτ .

=
0

Par cons´equent {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe int´egr´e. Soit maintenant
λ ∈ C. Pour tout x = a1n et y = an1−λ on obtient :
α

−λt

e
0

1
1
S(t) dt
,
an an − λ

α
=

e−λt

0

α
=
0

t
0

e−λt

ean s dsdt

1
an (an − λ)

,1

ean t − 1
1
dt
,1
an
an (an − λ)

66

Ludovic Dan Lemle

α
!
=

"
e(an −λ)t − e−λt dt

0

α
=

=

=

=

e(an −λ)t dt

0

|an |



2

|an |

1
an − λ

2



1

,1
an − λ
α
0

1
e(an −λ)α − 1
,1
2
an − λ
|an | an − λ
1

(an −λ)α

e

2

2

|an | |an − λ|




e(an −λ)α

n=1

2

|an | |an − λ|

2

α






2

|an |



1
an − λ

,1

1

2 ,1
|an | |an − λ|
α
1

e−λt dt
,1
2
|an | an − λ
2

0



n=1

e−λt dt

0



,1

1

1

,1
|an | an − λ

e(an −λ)t dt



,1

1
2

2

|an | |an − λ|
∞ α


e−λt dt
n=1 0

2

|an |



1
an − λ

.

Les derni`eres deux s´eries sont convergentes par rapport a` α → ∞. Pour la
premi`ere s´erie, en posant α ∈ N, on voit que


n=1

(an −λ)α

e

1
2

|an | |an − λ|

2

−i Im λ

=e



e
n=1

2

n− Re λ−2n πi α
2

2

|an | |an − λ|

,

d’o`
u il s’ensuit la divergence de cette s´erie pour n > Re λ. Par cons´equent,
pour λ ∈ C,
α
1
1
e−λt S(t) dt
,
an an − λ
0

est divergente par rapport a` α → ∞.
Par contraste avec autres caract´erisations des C0 -semi-groupes, la propri´et´e
prouv´ee dans le th´eor`eme 1.9 peut-ˆetre utilis´ee dans le cas des semi-groupes
int´egr´es, sans imposer des conditions suppl´ementaires [Th’90, pag.419].

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

67


efinition 6.2. On appelle g´en´erateur d’un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e
{S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un op´erateur lin´eaire
A : D(A) ⊂ E −→ E
d´efinit par : x ∈ D(A) et Ax = y si et seulement si pour tout t ≥ 0 on a
t
S(t)x − tx =

S(r)ydr .
0

Remarque 6.3. On voit que x ∈ D(A) et Ax = y si et seulement si x ∈ C 1 et
S (t)x − x = S(t)y ,

(∀) t ≥ 0.

Proposition 6.4. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le g´en´erateur d’un semi-groupe
int´egr´e non-d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E). Alors
C 2 ⊆ D(A) ⊆ C 1
et

Ax = S (0)x ,

(∀) x ∈ C 2 .

Preuve. Compte tenu de la remarque 6.3, on voit que x ∈ D(A) et Ax = y si
et seulement si x ∈ C 1 et
S (t)x − x = S(t)y ,

(∀) t ≥ 0.

Avec la proposition 5.5, ii) il vient
S (0)S(t)x + S (0)x − x = S(t)y ,

(∀) t ≥ 0.

Comme {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e, compte
tenu de la proposition 5.13, il r´esulte
S (0)S(t)x = S(t)y ,
1

(∀) t ≥ 0

pour tout x ∈ C . En utilisant la proposition 5.3, iii), pour tout x ∈ C 2 il
s’ensuit que
S(t)S (0)x = S(t)y , (∀) t ≥ 0
d’o`
u
S(t)[S (0)x − y] = 0 , (∀) t ≥ 0.
Par cons´equent
S (0)x = y , (∀) x ∈ C 2
donc

Ax = S (0)x , (∀) x ∈ C 2 .

68

Ludovic Dan Lemle

Proposition 6.5. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le g´en´erateur d’un semi-groupe
int´egr´e non-d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) . Alors A est un op´erateur ferm´e.
Preuve. Soit (xn )n∈N ⊂ D(A) tel que limn→∞ xn = x et limn→∞ Axn = y.
Alors :
S(s)Axn − S(s)y ≤ S(s) Ax − ny .
Par cons´equent
lim S(s)Axn = S(s)y

n→∞

uniform´ement par rapport a` s ∈ [0, t]. Pour xn ∈ D(A) nous avons
t
S(t)xn − txn =

S(s)Axn ds ,

(∀) : t ≥ 0.

0

Il s’ensuit que
t
lim [S(t)xn − txn ] = lim

n→∞

n→∞

d’o`
u

S(s)Axn ds ,

(∀) t ≥ 0

0

t
S(t)x − tx =

S(s)yds ,

(∀) t ≥ 0.

0

Par cons´equent x ∈ D(A) et Ax = y. Donc A est un op´erateur ferm´e.




Proposition 6.6. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le g´en´erateur d’un semi-groupe
int´egr´e non-d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E). Alors
S(t) : C 1 −→ C 2 ⊂ D(A)
et pour tout x ∈ C 1 on a
AS(t)x = S (0)S(t)x = S (t)x − x ,

(∀) t ≥ 0.

De plus, pour tout x ∈ D(A) on a
AS(t)x = S(t)Ax ,

(∀) t ≥ 0.

Preuve. Avec la proposition 6.4 on voit que
S(t) : C 1 −→ C 2 ⊂ D(A) ,

(∀) t ≥ 0.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

69

Pour tout x ∈ C 1 il s’ensuit S(t)x ∈ D(A), pour tout t ≥ 0. En appliquant
successivement la proposition 6.4 et la proposition 5.5, ii), pour tout x ∈ C 1 il
en r´esulte :
AS(t)x = S (0)S(t)x = S (t)x − S (0)x ,

(∀) t ≥ 0.

Compte tenu de la proposition 5.13, il vient
AS(t)x = S (t)x − x ,

(∀) t ≥ 0.

De plus, pour x ∈ D(A) avec la proposition 6.4 et la proposition 5.5, iii) on
obtient

S(t)Ax = S(t)S (0)x = S (0)S(t)x = AS(t)x , (∀) t ≥ 0.
Proposition 6.7. Soit A : D(A) ⊂ E −→ E le g´en´erateur d’un semi-groupe

t
int´egr´e non-d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) . Pour tout x ∈ E il r´esulte S(σ)xdσ ∈
0

D(A) et

t
S(σ)xdσ = S(t)x − tx ,

A

(∀) t ≥ 0.

0

Preuve. Pour tous r, σ ≥ 0 on a
r
[S(τ + σ) − S(τ )]dτ ,

S(r)S(σ) =
0

d’o`
u

t

t r
[S(τ + σ) − S(τ )]dτ dσ

S(r)S(σ)dσ =
0

ou bien

0

t

0

r t
[S(τ + σ) − S(τ )]dσdτ .

S(σ)dσ =

S(r)
0

Par cons´equent, x ∈ E implique


t
0

0

0

S(σ)xdσ ∈ C 1 et

70

d
S(r)
dr

Ludovic Dan Lemle

t
S(σ)xdσ
0

t

t
[S(r + σ) − S(r)]xdσ =

=

[S(r + σ) − S(σ) + S(σ) − S(r)]xdσ

0

0

t

t
[S(r + σ) − S(σ)]xdσ +

=
0

t
Sσ)xdσ −

0

S(r)xdσ
0

t
= S(t)S(r)x − tS(r)x +

t
S(r)xdσ = S(r)[S(t)x − tx] +

0

Compte tenu de la remarque 6.3, on voit que

0


t
0

S(σ)xdσ ∈ D(A) et

t
S(σ)xdσ = S(t)x − tx ,

A

S(r)xdσ .

(∀) t ≥ 0.




0

Lemme 6.8. Soient A : D(A) ⊂ E −→ E le g´en´erateur d’un semi-groupe
int´egr´e non-d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) et ϕ : [0, ∞) −→ E une application
continue tel que
t
ϕ(s) ds ∈ D(A) , (∀) t ≥ 0.
0

Si

t
ϕ(s) = ϕ(t) ds ∈ D(A) ,

A
0

alors ϕ(t) = 0, pour tout t ≥ 0.
Preuve. Soient t ≥ 0 et r ∈ [0, t] tel que
r
ϕ(s) ds ∈ D(A).
0

(∀) t ≥ 0,

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

71

Puisque D(A) ⊂ C 1 , il s’ensuit que
r
ϕ(s) ds ∈ C 1 .
0

Compte tenu de la remarque 6.3, on obtient :

 r


r
r

d 
d
d
S(t − r) ϕ(s) ds =
[S(t − r)] ϕ(s) ds + S(t − r)  ϕ(s) ds
dr
dr
dr
0

0

r
=−

r
ϕ(s) ds − S(t − r)A

0

ϕ(s) ds + S(t − r)ϕ(r)
0

r
=−

0

r

ϕ(s) ds − S(t − r)ϕ(r) + S(t − r)ϕ(r) = −
0

ϕ(s) ds .
0

Par int´egration par rapport a` r ∈ [0, t], il en r´esulte


t
r
t r
d 

S(t − r) ϕ(s) ds dr = −
ϕ(s)dsdr
dr
0

ou bien

0


S(t − r)

r
0

Par cons´equent

0

0

 t

t r



ϕ(s) ds = −
ϕ(s)dsdr

0

0

0

t r
ϕ(s)dsdr = 0
0

0


d’o`
u il s’ensuit que ϕ(t) = 0 pour tout t ≥ 0.
Th´
eor`
eme 6.9. [l’unicit´e de l’engendrement] Soient {S(t)}t≥0 et {U (t)}t≥0
deux semi-groupes int´egr´es ayant pour g´en´erateur le mˆeme op´erateur lin´eaire
A : D(A) ⊂ E −→ E. Alors pour tout t ≥ 0 on a S(t) = U (t).
Preuve. Pour tout x ∈ E on consid`ere l’application
ϕ : [0, ∞) −→ E ,

ϕ(t) = S(t) − U (t)

72

Ludovic Dan Lemle

Compt tenu de la proposition 6.7, on obtient
t
A

r
S(s)x ds −

ϕ(s) ds = A
0

t

0

U (s)x ds
0

= S(t)x − tx − U (t)x + tx = ϕ(t) ,

(∀) t ≥ 0.

Avec le lemme 6.8 il s’ensuit
ϕ(t) = 0 ,

(∀) t ≥ 0

d’o`
u l’affirmation de l’´enonc´e en d´ecoule imm´ediatement.




Remarque 6.10. La d´efinition 6.2 peut-ˆetre etendue dans le cas des semigroupe int´egr´es d´eg´en´er´e. On appelle g´en´erateur d’un semi-groupe int´egr´e d´eg´en´er´e {S(t)}t≥0 l’application
A : E −→ 2E
d´efinie par : x, y ∈ E et y ∈ Ax si et seulement si
t
S(t)x − tx =

S(r)y dr ,

(∀) t ≥ 0.

0

Si on posse
D(A) = {x ∈ E|Ax = ∅},
alors x ∈ D(A) et y ∈ Ax si et seulement si x ∈ C 1 et
S (t)x − x = S(t)y ,

(∀) t ≥ 0.

Compt tenu de la d´efinition de l’espace non-d´eg´en´er´e, on peut ´etablir un proc´ed´e
par lequel le cas des semi-groupe int´egr´es d´eg´en´er´es peut-ˆetre r´eduit au cas des
semi-groupes int´egr´es non-d´eg´en´er´es. Si {S(t)}t≥0 est un semi-groupe int´egr´e
d´eg´en´er´e ayant pour g´en´erateur l’op´erateur A et pour l’espace d´eg´en´er´e l’ensemble N , alors on consid`ere l’espace facteur E/N et les op´erateurs induits
[S(t)][x] = [S(t)x]
et
[A][x] = {[y] | y ∈ Ax}
o`
u
D([A]) = {[x] | ∈ D(A)}
et
[x] = x + N ∈ E/N ,

(∀) x ∈ E.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

73

On peut prouver [Th’90, pag. 423] que {[S(t)]}t≥0 est un semi-groupe int´egr´e
non-d´eg´en´er´e ayant pour g´en´erateur l’op´erateur [A].
7. Semi-groupes int´
egr´
es non-d´
eg´
en´
er´
e exponentiellement born´
es
Soit {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) un semi-groupe int´egr´e.

efinition 7.1. On dit que le semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E)
exponentiellement born´e s’il existe M ≥ 0 et ω ∈ R tel que

est

S(t) ≤ M eωt .

Remarque 7.2. Il existe des semi-groupes int´egr´es qui ne sont pas exponentiellement born´es comme on peut voir dans l’exemple 6.1. Pour un semi-groupe
int´egr´e exponentiellement born´e {S(t)}t≥0 ⊂ B(E), l’int´egrale de Laplace

R(λ) = λ e−λt S(t) dt
0

existe pour tout λ ∈ Λω . Si, en plus, le semi-groupe est non-d´eg´en´er´e, alors on
peut montrer le th´eor`eme suivant.
Th´
eor`
eme 7.3. [[Ar’87, KH’89, Ne’88, Th’90]] Soient A : D(A) ⊂ E −→ E
un op´erateur lin´eaire ferm´e et {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) une famille fortement continue
pour laquelle il existe M ≥ 0 et ω ∈ R tel que
S(t) ≤ M eωt
et ayant l’espace non-d´eg´en´er´e N = {0}. Les affirmations suivantes sont ´equivalentes :
i) la famille {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe int´egr´e non-d´eg´en´er´e
exponentiellement born´e ayant pour g´en´erateur l’op´erateur A ;
ii) Λω ⊂ ρ(A) et pour tout λ ∈ Λω on a

R(λ; A) = λ e−λt S(t) dt .
0

74

Ludovic Dan Lemle

Preuve. i) =⇒ ii) Pour tout x ∈ E et tout λ ∈ Λω consid´erons l’application
R(λ)x = λ


e−λt S(t)x dt .
0

Compte tenu de la remarque 5.4 et de la proposition 5.5, i), nous obtenons :
d
S(r)R(λ)x = λ
dr



−λt d
S(r)S(t)x dt = λ e−λt [s(r + t) − S(r)] x dt
e
dr
0

0



−λt
=λ e
[S(t + r) − S(t)] x dt + λ e−λt S(t)x dt
0

0


− λ e−λt S(r)x dt
0


d
= λ e−λt S(r) S(t)x dt + R(λ)x − S(r)x
dt
0


d
= λS(r) e−λt S(t)x dt + R(λ)x − S(r)x
dt
0





= λS(r)  e−λt S(t)x t=0 + λ e−λt S(t)x dt + R(λ)x − S(r)x
0

= λS(r)R(λ)x + R(λ)x − S(r)x = S(r)[λR(λ)x − x] + R(λ)x .
Par suite
t
S(r)[λR(λ)x − x] dr + tR(λ)x

S(t)R(λ)x =
0

Avec la d´efinition 6.2 on voit que R(λ)x ∈ D(A) et
AR(λ)x = λR(λ)x − x
d’o`
u
(λI − A)R(λ)x = x ,

(∀) x ∈ E.

´tude comparative concernat les semi-groupes de classe
Une e

C0

...

75

Soit maintenant x ∈ D(A). Alors
t
S(t)x − tx =

S(r)Ax dr ,

(∀) t ≥ 0.

0

Compte tenu de la proposition 6.6, nous avons


−λt
R(λ)Ax = λ e S(t)Ax dt = λ e−λt AS(t)x dt
0

0






−λt d
−λt d
=λ e
S(t)x − x dt = λ e
S(t)x dt − λ e−λt x dt
dt
dt
0
0
0




= λ  e−λt S(t)x t=0 + λ e−λt S(t)x dt − x = λR(λ)x − x
0

d’o`
u nous obtenons
R(λ)(λI − A)x = x ,

(∀)x ∈ D(A).

Par cons´equent λI − A est un op´erateur inversible, donc Λω ⊂ ρ(A) et

R(λ; A) = λ e−λt S(t) dt .
0

ii) =⇒ i) Soit A : D(A) ⊂ E −→ E un op´erateur lin´eaire ferm´e tel que Λω ⊂
ρ(A) et pour tout λ ∈ Λω on a

R(λ; A) = λ e−λt S(t) dt .
0

Avec le th´eor`eme 5.1 on voit que
t+s
s
S(r) dr − S(r) dr ,
S(t)S(s) =
t

(∀) t, s ≥ 0.

0

On peut v´erifier facilement que {S(t)}t≥0 ⊂ B(E) est un semi-groupe int´egr´e
non-d´eg´en´er´e exponentiellement born´e. Nous allons maintenant montrer que le

76

Ludovic Dan Lemle

semi-groupe {S(t)}t≥0 a pour g´en´erateur l’op´erateur A. Soit x ∈ D(A). Pour
tout λ ∈ Λω nous avons
x = R(λ)(λI − A)x = λR(λ; A)x − R(λ; A)Ax


2
−λt
e S(t)x dt − λ e−λt S(t)Ax dt

0

= λ2

0





e−λt S(t)x dt − λ  e−λt

0

t
0

 ∞


S(s)Ax ds


t=0


e−λt


0




t
= λ2 e−λt S(t)x − S(s)Ax ds dt .
0

t


S(s)Ax ds

0

0

D’autre part


x=λ
e−λt tx dt .
2

0

Par cons´equent, pour tout x ∈ D(A) on obtient



t

−λt 

S(t)x − S(s)Ax ds dt = e−λt tx dt .
e
0

0

0

Avec le th´eor`eme de l’unicit´e de la transform´ee de Laplace [Wi’71, 5.7, cor
7.2], il vient
t
S(t)x − S(s)Ax ds = tx , (∀) t ≥ 0.
0


Il s’ensuit donc que A est le g´en´erateur du semi-groupe int´egr´e {S(t)}t≥0 .
8. Le th´
eor`
eme de Arendt
Dans la th´eorie des semi-groupe int´egr´e, une grande importance revient a`
un th´eor`eme de repr´esentation de la transform´ee de Laplace pour une fonction
avec des valeurs r´eelles, montr´e par Widder en 1934.


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