Le nombre d'or .pdf



Nom original: Le nombre d'or.pdf
Auteur: Alisson Fort

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Le nombre d’or
A. Activité 1 : « mesurons-nous »
Mesurer avec beaucoup de précision la distance du sol au sommet de la tête (à pieds nus) et celle
du sol au nombril
Indiquer les mesures relatives aux élèves de la classe dans le tableau
Calculer pour chaque élève le rapport de ces 2 longueurs

Prénoms

Distance du sol
au sommet de la
tête (en cm)

Distance du sol
au nombril (en
cm)

Rapports

1

2

3

4

5

6

7

Quel nombre avez-vous obtenu ?...................................................
Calcule le rapport entre la distance du sol au nombril et celle du nombril au sommet de la tête :
………………………………………………………………………………………………………………………………..
Quel nombre avez-vous obtenu ?....................................................

B. Le nombre d’or
Le nombre que nous venons de découvrir est le nombre d’or.
On désigne ce nombre par la lettre grecque φ (Phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Ve
siècle av. JC) qui décora le Parthénon à Athènes.
Le nombre d’or (1,618…) es un rapport, un quotient, c’est-à-dire le résultat de la division de deux
longueurs.

Ces longueurs peuvent être mesurées sur des objets, sur une fleur, … et sur l’homme comme nous
venons de le faire.
Durant des siècles, il reçut les appellations les plus nobles : « le nombre d’or », « le nombre
divin », « la divine proportion », etc.

C. Activité 2 : « Couple de lapins »
« Un couple de lapins nés au début du mois se reproduit à partir du 2ème mois écoulé et donne
naissance chaque mois à un nouveau couple de lapins. Chaque nouveau couple se reproduit de la
même manière. »
Au bout de 9 mois, combien y aura-t-il de couples de lapins ?

Complete le tableau suivant en donnant le nombre de couples après chaque mois.

Après le … mois
1er

Couples de lapins

Nombre de couple de lapins
=
…………………………………………….
……..

2ème

……..

3ème

……..

4ème

…….

5ème

…….

6ème

……..

7ème

……..

8ème

……..

9ème

……..

Que constates-tu si tu compare un nombre et les deux nombres qui le précèdent ?
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Calcule le nombre de couples de lapins qu’on aura au bout du 15ème mois.

Calcule le rapport entre un terme et celui qui le précède

Vers quel nombre tend la suite ainsi obtenue ?..........................................................
Fibonacci nous donne ainsi un moyen de déterminer le célèbre nombre d’or

D. Où retrouve-t-on le nombre d’or ?
Il est étonnant de constater que ce chiffre a fasciné tout au long de l’Histoire bien plus de brillants
esprits que π (Pi) et e (exponentiel). Le nombre d’or a de nombreux liens avec la nature et les
créations humaines.
1. Art
La peinture est un des domaines les plus vastes du nombre d’or. En effet, des centaines
d’artistes l’ont utilisé mais ce qui parait étrange c’est que dans certains cas, ces artistes ne
l’avaient pas fait exprès.
Léonard de Vinci, Botticelli, Georges Seurat ont réalisé leur peinture en fonction du nombre
d’or
La Joconde, de Léonard de Vinci

Comme on peut le voir, le visage de Mona Lisa rentre parfaitement dans un rectangle d'Or

La Naissance de Vénus, Botticelli
Le format du tableau correspond à un
rectangle d'or. Le groupe des Vents, à
gauche du tableau, le personnage de
la Grâce à droite, s'inscrivent dans
des rectangles d'or et plus
précisément le long des diagonales de
ces rectangles d'or. Il est possible
également de tracer deux cercles
dont le diamètre correspond au côté
de ces rectangles d'or. Le cercle de
gauche renferme le groupe des Vents
et Vénus, le cercle de droite Vénus et
le personnage de la Grâce. Le Nombre
d'Or apporte donc une clef à la
composition de ce tableau

Une baignade à Asnières, de Georges Seurat

Cette toile est un rectangle d’or. Certains éléments qui le forment sont eux-mêmes insérés
dans des rectangles d’or, comme le montrant les lignes blanches ci-dessus.

2. Architecture
Des pyramides d'Egypte aux temples grecs, l'utilisation du nombre d'or a permis de réaliser
de grands chefs d'œuvres car il leur confère une esthétique des plus belles.
Le Parthénon (Athènes)

Il s’agit de l’œuvre
majeure de
Phidias. Sa façade
s’inscrit sans un
rectangle d’or
ainsi que divers
éléments

Le théâtre d’Epidaure

Dans le théâtre d'Epidaure, construit en Grèce à la fin du IVème siècle avant JC, on a cherché
à éviter la monotonie en répartissant les gradins en deux blocs.
Il y a 55 gradins répartis en 34 et 21.
Ce sont trois nombres successifs de la suite de Fibonacci et les rapports 34/21 et (34+21)/34
sont très proches du nombre d'or.
Dans les bandes dessinées

Dans Tintin (Le sceptre d’Ottokar), ce mystérieux
personnage qui espionne Tintin doit le photographier
avec une fausse montre. Celle-ci est située sur un
point d’or

Dans « Le crabe aux pinces d’or », alors que le
capitaine Haddock s’apprête à déguster une
bouteille, celle-ci éclate, cassée par les balles d’un
agresseur. Le point à partir duquel les éclats
partent est situé sur un point d’or.

3. Nature
Des mathématiciens ont aussi trouvé le nombre d’or dans la disposition des pétales des
fleurs ou encore dans la façon dont s’enroulent les écailles d’une pomme de pin ou d’un
ananas.
La fleur de Tournesol

Les graines forment des spirales concentriques qui tournent soit dans le sens des aiguilles
d’une montre, soit en sens inverse. Si on les dénombre, on obtient deux résultats en
apparence anodins : 21 et 34. Deux nombres que nous avons déjà rencontrés. Il s’agit de
deux termes successifs de la suite de Fibonacci.
La pomme de pin

Les nombres de spirales de cette pomme de pin dans les deux sens de rotation, 8 et 13, sont
des termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

Le bouton-d’argent

Il s’agit d’une des nombreuses plantes dont la disposition des branches et des feuilles suit la
règle de la suite de Fibonacci.
La coquille de l’escargot, les bras des galaxies et les pétales de rose
On peut dessiner une spirale à partir d’une série de rectangles d’or, on obtient alors une
spirale d’or :

Elle peut s’observer dans notre environnement. Par exemple, la coquille d’un escargot…

…. Ou à la forme des bras des galaxies ….

… Ou à l’élégance hors pair de la disposition des pétales de roses.

E. Activité 3 : Le rectangle d’or
Procédé de construction :
 Dessine un carré ABCD (de 8cm de côté) et la demi-droite [AB
 Place le point M au milieu de [AB] et trace le segment [MC]
 Trace l’arc de cercle de centre M et de rayon | |. Désigne par E le point
d’intersection de cet arc avec la demi-droite [AB
 Construis le point F tel que ADFE est un rectangle
Détermine ensuite le rapport entre la longueur et la largeur de chaque rectangle

F. Activité 4 : La spirale logarithmique
Procédé de construction :













Dessine un rectangle d’or (comme vu précédemment)
Construis les points G et H tel que CFGH est un carré
Construis les points I et J tel que GEIJ est un carré
Construis les points K et L tel que BIKL est un carré
Construis les points N et O tel que LHNO est un carré
Construis les points P et R tel que NJPR est un carré
Trace l’arc de cercle de centre B et de rayon | |
Trace l’arc de cercle de centre H et de rayon | |
Trace l’arc de cercle de centre J et de rayon | |
Trace l’arc de cercle de centre K et de rayon | |
Trace l’arc de cercle de centre O et de rayon | |
Trace l’arc de cercle de centre R et de rayon | |



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