Série 3 alg2 .pdf

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Université Chouaïb Doukkali

Année universitaire 2011-2012
Semestre 2, CIP21. Pr. Amrani

Ecole Nationale des Sciences Appliquées

TD d’Algèbre 2.

Série 3.

Réduction des matrices et des endomorphismes.

Exercice 1
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes :
0 1 ⋯ 1
1 2 a b


 3 −4 
 0 1 3 c  , T = 1 0 ⋱ ⋮ , matrice de type (n, n).
T1 = 
 , T2 = 
3
0 0 1 4
⋮ ⋱ ⋱ 1
1 2 


1 ⋯ 1 0
0 0 0 1

Exercice 2
1. A quelles conditions les matrices réelles suivantes sont elles diagonalisables :
1 a a a
2 2 0 


0 1 b b



A1 =  a 0 1  , A2 =
.


0
0
1
1
 0 2a −2 




0 0 0 3
 1 0 −1 0 


0 1 0 −1 

2. Peut-on diagonaliser A3 =
sur ℂ .
1 0 1 0 


0 1 0 1 

Exercice 3
Soit f un endomorphisme d’un K -espace vectoriel E , et m ∈ ℕ * .
1. On suppose que 0 ∈ SpK ( f n ). Montrer que 0 ∈ SpK ( f ).
2. Montrer que 0 ∉ SpK ( f ) ⇔ f est surjectif.

Exercice 4
Soit u un automorphisme d’un K -espace vectoriel E.
Etablir SpK (u −1 ) = {λ −1 / λ ∈ pK (u )} .

Exercice 5
Soit u et v deux endomorphismes d’un K -espace vectoriel E. Montrer que u  v et v  u ont les mêmes
valeurs propres.

Exercice 6
Montrer que l’endomorphisme f de ℝ 3 [ X ] défini par : P → 3 X P − ( X 2 − 1) P ' est diagonalisable et
donner une base de vecteurs propres

1



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