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Travail Encadr´e de Recherche
Analyse Multifractale
´
Guillaume SAES M1 Mathematiques

Créteil, le 26 avril 2012

Table des matières

1 Régularité de fonction
1
2

Dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Dimensions Fractales
1
2
3
4

Dimension de Minkowski-Bouligand
Dimension de Hausdor . . . . . . .
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme de Frostman . . . . . . . . .

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3 Spectre de Singularités
1

Exposant d'Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Applications
1
2
3
4

L'ensemble de Cantor . . . . .
L'escalier du Diable, la fonction
La fonction de Weierstrass . . .
Fonction de Levy . . . . . . . .

. . . . . .
de Cantor
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2
2
4

6

6
7
9
10

11
11

12

12
14
14
16

Notations









R, C , N, Z : Réel, Complexe, Entier naturel, et Entier relatif.
|R | : P
Valeur absolue dans R et Module dans C.
,
: Intégrale et Somme.
|| || : Norme (équivalente en dimension nie).
K : Corps de départ des espaces vectoriels (généralement R ou C).
sup et inf : Borne supérieure et inférieure.
C k (X; Y ) : Espace des fonctions de classe C k de X dans Y .

Chapitre

1

Régularité de fonction

L'analyse multifractale permet d'expliquer les observations e ectués sur des signaux de turbulence, mais
aussi à fournir des nouveaux outils pour l'analyse et la modélisation de signaux.

1. Dé nitions
Nous commencerons à introduire de simple dé nition de base à l'analyse.

Dé nition 1 (La classe C 0 (x0 )).
Soit f une fonction dans L∞ (R), on dit qu'elle est continue en x0 si la limite en x0 existe :

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ R, |x − x0 | < η =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε

Remarque . On dit qu'une fonction f est continue ou qu'elle est dans la classe C 0 (R) si et seulement si
pour tout x0 ∈ R on a f ∈ C 0 (x0 ).
On peut avoir des points de discontinuité, c'est à dire lorsque la limite en ce point n'existe pas.
Il existe d'autres classes de fonctions intéressantes a n d'analyser une fonction en un point.

Dé nition 2 (La classe C α (x0 )).
Soient f une fonction dans la classe L∞ (R) et α > 0, on dit que la fonction est de classe C α (x0 )
pour x0 ∈ R si il existe C, η > 0 deux constantes et un polynôme P de degré inférieur à α tels
que :
∀x ∈ R, |x − x0 | < η =⇒ |f (x) − P (x − x0 )| < C|x − x0 |α
(1)

Remarque .

On dit qu'une fonction f est dans la classe C α (R) ou α-Höldérienne si et seulement si pour
tout x0 ∈ R on a f ∈ C α (x0 ).

En revanche pour α ∈ N on peut utiliser une dé nition plus simple.

2

Dé nition 3 (La classe C 1 (x0 )).
Une fonction réelle f continue est dérivable en x0 si la limite.

lim

x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

existe

On notera f 0 (x0 ) cette limite.

Remarque .

On dit qu'une fonction f est dans la classe C 1 (R) ou dérivable si et seulement si pour tout
x0 ∈ R on a f ∈ C 1 (x0 ).

On commence à parler de régularité, lorsqu'en x0 , on a f ∈ C α (x0 ) et plus α est grand plus la fonction est
régulière en x0 . Une fonction est plus régulière qu'une autre si f ∈ C α (R) avec α plus grand que l'autre.
On peut dé nir ensuite des objets plus fort.

Dé nition 4 (La classe C n (x0 )).
Une fonction f continue est de classe C n (x0 ) pour n ∈ N∗ si est elle est dérivable n-fois en x0 .
C'est à dire que :

lim

x→x0

f (n−1) (x) − f (n−1) (x0 )
x − x0

existe pour tout n ∈ N∗

On notera f (n) (x0 ) cette limite.

On a ainsi une classe intéressante.

Remarque .
tout x0 ∈ R.

On dit que la fonction est de classe C n (R) si et seulement si elle est de classe C n (x0 ) pour

Dé nition 5 (La classe C ∞ (x0 )).
On dit qu'une fonction est de classe C ∞ (x0 ) si elle est C n (x0 ) pour tout n ∈ N. C'est à dire quelle
indé niment dérivable.

Remarque .

On dit que la fonction est dans la classe C ∞ (R) si et seulement si elle est de classe C ∞ (x0 )
pour tout x0 ∈ R.
On peut dé nir une classe de fonction très utile en distribution et EDP.

Dé nition 6 (Classe de Schwartz S(R)).
On dit qu'une fonction f est dans la classe de Schwartz si elle est dans C ∞ (R) et à décroissance
rapide, c'est à dire :

∀n ∈ N, ∃Cn > 0, ∃β > 0, ∀x ∈ R, |f (n) (x)| ≤

Cn
(1 + |x|)β

Théorème 1.
Toute fonction monotone détient un nombre au plus dénombrable de point de discontinuité.

Théorème 2.
Toute fonction dans la classe C α (x0 ) admet une unique polynôme P véri ant la propriété (1).

On peut se poser plusieurs questions dorénavant, existe-t-il des fonctions non-dérivable partout, c'est à dire
∀x0 ∈ R on a f ∈
/ C 1 (x0 ) ?
De plus, si elles existent dans quelle classe de fonction C α est-elle ? Ponctuellement et Généralement ?
En n comment évolue la régularité de la fonction, on parlera alors dans le chapitre 3 de spectre de
singularité.

Exemple 3 (La fonction de Weierstrass).
P
Pour a ∈]0, 1[, Wa,b (x) = n∈N an cos(bn x).
Wa,b est continue mais n'est nulle part dérivable. Nous étudierons la régularité de la fonction dans
le chapitre 4.

Théorème 4.
Toute fonction continue sur [0, 1] est limite uniforme de fonction continue nulle part dérivables sur
[0, 1]

Preuve .

D'après Stone-Weierstrass

Remarque .
de Baire).

Les fonctions de discontinuité partout sont dense dans C 0 ([0, 1]) (Puis conserve la propriété

Une fonction multifractale est une fonction contenant des particularités sur la régularité on verra cela plus
loin. On peut dire qu'une fonction est multifractale si cette régularité "maximale" n'est pas unique sur R,
c'est à dire qu'on n'est pas C α (R) avec pour tout x0 ∈ R, f ∈ C α (x0 ) et pas mieux.

2. Fractale
On peut voir une fractale de façon constructive comme une gure de forme irrégulière (morcelé) crée à
partir de règle stochastique avec homothétie interne.

Remarque .

Le graphe de la fonction de Weierstrass est une fractale (par son irrégularité).

Exemple 5.
Des exemples dé nit à partir de règle.
L'ensemble triadique de Cantor dans R
Le tapis de Sierprinski dans R2
Le tamis de Sierprinski dans R2
Le triangle de Pascal dans R2
L'eponge de Menger dans R3
Surface de Koch dans R3

Remarque .

On peut aussi dé nir la notion de fractale à partir de l'informatique. On rencontre plusieurs
exemple de fractale dans la nature (feuille, arbre, montagne, etc).
Les simples objets géométriques ont une dimension entière, cercle, droite, plan et autres. Cependant une
fractale n'est pas si simple et sa dimension n'est plus aussi facile à déterminer. Nous allons revenir à des
notions topologiques générales telles que les compacts pour dé nir une telle dimension.

Chapitre

2

Dimensions Fractales

1. Dimension de Minkowski-Bouligand
Dans un espace métrique (X, d), on peut recouvrir une fractale par un nombre ni de compact, on se place
dans le cas simple de Rd .

Dé nition 7 (Dimension de Minkowski).
Soit ε > 0, on note NF (ε), le nombre minimum de boule de rayon ε a n de recouvrir une fractale.
On note la dimension de Minkowski dimM dé nie par :

log(NF (ε))
log(NF (ε))
= lim −
1
ε→0
ε→0
log(ε)
log( ε )

dimM (F ) = lim

Si la limite n'est pas atteinte on parle de dimension sup et inf dé nit à partir de limite sup et inf .

Exemple 6 (L'ensemble triadique de Cantor K ).
On dé nit l'ensemble triadique de Cantor :

Jn+1 =

3n
−1
[
j=0



3j + 1 3j + 2
,
3n+1 3n+1

Kn+1 = Kn \Jn+1
K0 = [0, 1]



K=

\

Kn

n≥0

On prend ε = 31n
Pour n = 0, NK (ε) = NK (1) = 1
Pour n = 1, NK (ε) = NK ( 13 ) = 2
...
Pour n = k , NK (ε) = NK ( 31k ) = 2k On en déduit que NK (ε) = NK ( 31n ) = 2n , or on cherche NK
en fonction de ε, on pose :

ε=

log(ε)
1
log(ε)
⇒ NK (ε) = 2− log(3)
⇒n=−
n
3
log(3)

Une fois le plus dur fait on arrive à calculer la dimension facilement :

dimM (K) = lim

ε→0

log(NK (ε))
log(2)
=
1
log(3)
log( ε )

6

Remarque .
explicite.

On peut voir qu'il n'existe pas de meilleur recouvrement si on écrivait les boules de façon

Exercice 7.
Montrer que la dimension de Minkowski du Tapis de Sierprinski vaut

log(8)
log(3)

Remarque .
1
m

On peut constater que ε est choisi judicieusement par rapport au découpage de notre fractale
lorqu'on découpe en m morceau.

Proposition 8.
Soit α, β ∈ N∗ \{1}, si on choisit N (ε) et tel que N ( α1n ) = β n . Alors,

dimM (F ) =

log(β)
log(α)

α, β ∈ N∗ \{1}

Preuve .

Si NF (α−n ) = β n , alors calculons NF :
ε = α−n ⇒ n = −

Donc

log(ε)
log(ε)
⇒ NF (ε) = β − log(α)
log(α)

log(ε)

Remarque .

log(NF (ε))
log(β − log(α) )
log(β)
dimM (F ) = lim
=
lim

=
1
ε→0
ε→0
log(ε)
log(α)
log( ε )

La proposition nous permet déjà de voir le point faible de la dimension de Minkowski.

Proposition 9.
Si {A1 , A2 , ..., An } collection ni d'ensemble, alors

dimM (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = max{dimM (A1 ), ..., dimM (An )}

Remarque .

Il est rassurant que lorsque F ⊂ Rn , alors n − 1 ≤ dimM (F ) ≤ n.
Le seul problème de la dimension de Minkowski et la stabilité si on rajoute un ensemble dénombrable. C'est
à dire dimM ({0} ∪ {1} ∪ { 21 } ∪ ...) = 21 . D'où la nécessite d'une autre dé nition de la dimension.

2. Dimension de Hausdor
Dé nition 8 (Hδα ).

∀α, β > 0, Hδα (K) = inf


X


i≥1

|Ei |α où (Ei )i≥1 recouvrement de K avec dim(Ei ) < δ





Remarque .

Hδα (K) ≤ NK (δ)δ α

Exemple 10.
K = [0, 1] , avec α = 2, on a Hδ2 (K) = 1 et cela pour tout δ positif.

Remarque .

Pour α xé, δ < δ 0 ⇒ Hδα (K) ≥ Hδα0 (K)

Dé nition 9 (H0α

α
et H∞
).

∀α > 0, H0α (K) = lim Hδα (K)
δ→0

∀α >

α
0, H∞
(K)

= lim Hδα (K)
δ→+∞

Remarque .

α
= 0, Alors ∀δ > 0 on a Hδα = 0
Si H∞
β
α
(K) = 0
Si H∞ (K) = 0, Alors ∀β > α on a H∞

Nous avons changé la façon de dé nir la dimension en regardant di éremment le recouvrement de fractale
avec Hδα . Maintenant dé nissons la dimension de Hausdor

Proposition 11.
β
α
(K) = 0
(K) = 0, Alors ∀δ > 0, Hδα (K) = 0 et ∀β > α, H∞
Si H∞

Preuve .
α
H∞
(K) = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0 il existe un recouvrement (Ei )i≥1 avec

X

|Ei |α < min(α, ε) ⇒ ∀i ∈ N∗ , |Ei | ≤ 1

i≥1

⇒ ∀ε > 0, il existe un recouvrement (Ei )i≥1 avec

X

|Ei |β ≤

i ge1



β
H∞
(K)

⇐⇒ ∃δ > 0

=0

α
H∞
(K)

X

|Ei |α ≤ ε

i≥1

=0

Hδα (K) = 0 ⇐⇒ H0α (K) = 0

Dé nition 10 (Dimension de Hausdor ).
α
dimH (K) = inf{α > 0 : H∞
(K) = 0} = inf{α > 0 : H0α (K) = 0}

Remarque .

α
H∞
(K) = 0 ⇐⇒ ∀δ > 0 Hδα (K) = 0 ⇐⇒ H0α (K) = 0 (inf{∅} = ∞)

3. Bilan
Nous revenons à la notion de dimension fractale.
La dimension de Minkowski.

N (ε) = {"Nombre minimum de boules de rayon ε pour recouvrir K "}
d+o(1)
1
N (ε) ∼
lorsque ε tend vers 0 ⇔ dimH (K) = d
ε
La dimension de Hausdor .
α
∀α > 0, H∞
(K) = inf


X


Hδα (K) = inf


X


|Ei |α : Ei recouvrement de K





i≥1

|Ei |α : Ei recouvrement de K; |Ei | ≤ δ





i≥1

H0α (K) = lim % Hδα (K)
δ→0

α
dimH (K) = inf{α > 0 ; H∞
(K) = 0} = inf{α > 0 ; Hδα (K) = 0} = inf{α > 0 ; H0α (K) = 0}

Proposition 12.
dimH (∪n∈N Kn ) = sup{dimH (Kn )}
n∈N

Preuve .

Premier sens dimH (∪n∈N Kn ) ≥ supn∈N {dimH (Kn )}
K ⊂ K 0 ⇒ dimH (K 0 ) ≥ dimH (K) ⇒ dimH (∪n∈N Kn ) ≥ sup{dimH (Kn )}
n∈N

Kn ⊂ ∪n∈N Kn ⇒ dimH (∪n∈N Kn ) ≥ dimH (Kn ) ⇒ dimH (∪n∈N Kn ) ≥ sup{dimH (Kn )}
n∈N

Deuxième sens dimH (∪n∈N Kn ) ≤ supn∈N {dimH (Kn )} :
α
Soit α > supn∈N {dimH (Kn )}, on va montrer que H∞
(K = ∪n∈N Kn ) = 0 ⇔ dimH (K) ≤ α
X
ε
dimH (K1 ) < α ⇒ ∀ε > 0, il existe un recouvrement (Ei1 )i≥1 avec
|Ei1 |α <
2
i≥1
dimH (K2 ) < α ⇒ ∀ε > 0, il existe un recouvrement (Ei2 )i≥1 avec

|Ei2 |α <

ε
4

|Ein |α <

ε
2n

X
i≥1

...
dimH (Kn ) < α ⇒ ∀ε > 0, il existe un recouvrement (Ein )i≥1 avec

X
i≥1

Conclusion
: ∀ε
on considère
≥ 1, n ≥ 1)
⊃ ∪n∈N Kn et
P
P> 0,P
n α
≤ n∈N i∈N |Ein |α ≤ ε n≥1 21n = ε.
n,i |Ei | P
Donc inf{ i≥1 |Ei |α , (Ei )i≥1 recouvrement de ∪n∈N Kn } = 0.
n
(EP
i ,i

∪n,i Ein

Remarque .

On remarque que dimH (K) ≤ dimM (K). En pratique, si on veut montrer que dimH (K) ≤ d, il su t de
d+o(1)
lorsque ε → 0.
véri er N (ε) ≤ 1ε
(Cela revient à retrouver des recouvrements explicites par des boules de rayon ε). Pour retrouver,
dimH (K) ≥ d, on va utiliser le lemme de Frostman.

4. Lemme de Frostman
Lemme 13 (Lemme 1 de Frostman).
Supposons qu'il existe une probabilité à support dans K compact tel que

∃C, γ > 0 avec ∀V ⊂ K, |V | ≤ γ ⇒ µ(V ) ≤ C|V |α
Alors dimH (K) ≥ α

Preuve .

On a pour tout (Ei )i≥1 recouvrement de K avec |Ei | ≤ δ :
X

|Ei |α ≥

i≥1

1X
µ(K)
1
1
µ(Ei ) ≥
=
⇒ Hδα (K) ≥ > 0 ⇒ dimH (K) ≥ α
ε
C
C
ε
i≥1

Lemme 14 (Lemme 2 de Frostman).
(K, d) compact métrique et µ probabilité sur K telle que :
Z Z
Iα (µ) =
ρ(x, y)−α dµ(x)dµ(y) < +∞
Alors dimH (K) ≥ α.
La quantité Iα (µ) s'appelle la α-énergie de µ.

Preuve .

Soit (Ei )i≥1 recouvrement disjoint de K Alors :
Z Z
Z
XZ
Iα (µ) =
ρ(x, y)−α dµ(x)dµ(y) =
i,i0



X

x∈Ei

ρ(x, y)−α dµ(x)dµ(y) ≥

y∈Ei0

i≥1

|Ei |α dµ(x)dµ(y) =

i≥1

Or µ(K) =

XZ

X

ρ(x, y)−α dµ(x)dµ(y)

Ei >Ei0

|Ei |−α µ(Ei )2

i≥1

i≥1 µ(Ei ) (car on utilise la caractérisation par des recouvrement disjoint).

P

µ(K) =

X
i≥1

µ(Ei ) =

X µ(Ei )
α

i≥1

|Ei | 2

α


 12 
 12
X µ(Ei )2
X
 
≤C.S. 
|Ei |α 
|Ei |α



|Ei | 2

Pour tout recouvrement (Ei )i≥1 disjoint de K, on a
Donc dimH (K) ≥ α

i≥1

P

i≥1

|Ei |α ≥

µ(K)2
Iα (µ) .

i≥1

Donc Hδα (K) ≥

µ(K)2
Iα (µ)

> 0.

Chapitre

3

Spectre de Singularités

1. Exposant d'Hölder
L'analyse multifractale a pour but l'étude de fonction dont la régularité varie d'un point à un autre. On a
vu que la façon de regarder la régularité d'une fonction est la continuité et la dérivabilité. Pour relier ces
notions, on introduit l'exposant d'Hölder.

Dé nition 11 (C α (x0 )).
Soit α > 0 et x0 ∈ I , on dit que f est C α (x0 ), si il existe un polynôme P de degré au plus α tel
que ∀x ∈ I , (f : I ⊂ R −→ R)

|f (x) − P (x − x0 )| ≤ C|x − x0 |α

Dé nition 12 (Exposant d'Hölder).
L'exposant d'Hölder de f en x0 est :

Hf (x0 ) = sup{α : f est C α (x0 )}

Donc l'exposant d'Hölder est le meilleur α qu'on peut avoir en un point. On ne peut pas avoir mieux, c'est
à dire que pour tout ε > 0, f ∈
/ C α+ε (x0 ).
On a vu la notion d'exposant d'Hölder, dé nissons la notion d'ensemble de même exposant Hölderien.

Dé nition 13 (Ensemble Isohölderien).
L'ensemble isohölderien en α de f est l'ensemble :

Aα = {x0 ∈ R, Hf (x0 ) = α}

Notre objectif est de regarder la variation de cette régularité. Nous dé nissons ainsi le spectre de singularité

Dé nition 14 (Spectre de Singularité).
Le spectre de singularité en α de la fonction f est :

Sα = dimH (Aα )

11

Chapitre

4

Applications

1. L'ensemble de Cantor
K0 = [0, 1], K1 = K0 − [ 13 , 23 ], pour tout n ∈ N.
Kn = Kn+1 −

3n
−1
[
j=1

3j − 2 3j − 1
,
3n
3n



L'ensemble de Cantor est représenté ci-dessus par un schéma :

0

1

0

1
9

2
9

1
3

2
3

7
9

8
9

0

1
3

1

2
3

1

On pose K = ∩n≥0 Kn , et on admet qu'il existe une mesure de probabilité µ dont le support est inclus dans
log(2)
K , telle que ∀α < log(3)
:
Z
|x − y|−α dµ(x)dµ(y) < +∞
K×K

On représente ci-dessous K0 × K0 , K1 × K1 et K2 × K2 :

1

1

2
3

1
3

0

0

1

12

1
3

2
3

1

1
8
9
7
9
2
3

1
3
2
9
1
9

0

1
9

2
9

1
3

2
3

7
9

8
9

1

Soit (x, y) ∈ K × K , on a x ∈ ∩n≥0 Kn et y ∈ ∩n≥0 Kn . Donc pour tout n ∈ N, x ∈ Kn et y ∈ Kn . Donc
pour tout n ∈ N, (x, y) ∈ Kn × Kn . D'où (x, y) ∈ ∩n≥0 (Kn × Kn ). Réciproquement, si pour tout n ∈ N,
(x, y) ∈ Kn × Kn , comme Kn ⊂ K , on a x ∈ K et y ∈ K . Donc (x, y) ∈ K × K .
On en conclut que K × K = ∩n≥0 (Kn × Kn )
Si on reprend l'ensemble triadique de Cantor. On constate qu'on a 1 intervalle pour K0 , 2 intervalle pour
K1 et 4 intervalle pour K2 . Par récurrence sur n ≥ 0, on obtient donc que l'on peut recouvrir Kn avec 2n
intervalles (boules) de longueur 31n .
On rappelle que la dimension de Minkowski est donnée par :

dimM (K) = lim

ε→0

log(NK (ε))
log( 1ε )

Où NK (ε) désigne le nombre minimum de boule de rayon ε pour recouvrir la fractale K .
log(ε)
.
Ici, on a pris ε = 31n . On a alors n = − log(3)
On a :
log(ε)
NK (ε) = 2− log(3)
log(ε)
− log(3)
log(2)
log(2− log(3) )
log(2)
log(NK (ε))
=
=
=
1
1
− log(ε)
log(3)
log( ε )
log( ε )
log(ε)

dimM (K) =

log(2)
log(3)

On en conclut que :

dimM (K × K) = dimM (K) + dimM (K) =

log(2) log(2)
2 log(2)
log(4)
+
=
=
log(3) log(3)
log(3)
log(3)

En générale, le calcul suivant est faux ! Mais ici la construction en dimension 2 est la même qu'en dimension
1. Pour le compact K × K , où K est muni de la distance usuelle d(x, y) = |x − y|. Puisque
log(4)
α < log(2)
log(3) < log(3) , on a :

Z Z

log(4)

|x − y|− log(3) dµ(x)dµ(y) ≤
K×K

Z Z

|x − y|−α dµ(x)dµ(y) < +∞
K×K

La construction de la mesure µ pourra être traité plus loin selon le temps mais il su t de construire une
règle sur la mesure de la même manière que la décomposition triadique.

Par hypothèse la α-énergie de µ est donc nie et par le lemme 2 de Frostman, on a dimH (K × K) ≥
Et puisque la dimension de Hausdor est plus précise que la dimension de Minkowski, on a :

log(4)
log(4)
≤ dimH (K × K) ≤ dimM (K × K) =
log(3)
log(3)
On en conclut que dimH (K × K) =

log(4)
log(3) .

2. L'escalier du Diable, la fonction de Cantor
3. La fonction de Weierstrass
On va dé nir la fonction de Weierstrass pour α > 1 et −1 < β < 0 :

Wα,β =


X

αβk sin(αk t)

k=1

On peut la dé nir encore autrement par commodité avec α > 1 et β ∈]0, 1[ :

Wα,β =


X

α−βk sin(αk t)

k=1

On peut la dé nir de façon dyadique avec α = 2 :

W2,β =


X
sin(2j t)
j=1

Nous utiliserons Wα,β =

P∞

k=1

α−βk sin(αk t).

Proposition 15.
La fonction de Weierstrass est continue

2βj

log(4)
log(3) .

Preuve .

Tout simplement, on a |α−βk sin(αk t)| ≤ α−βk et cela quelque soit k ∈ N∗ . Or puisqu'on α > 1,
on en déduit que : 0 <P
α−βk < 1.
−βk
Donc la série Wα,β ≤ +∞
< +∞, car c'est une série géométrique de paramètre α−β < 1.
k=1 α
On en conclut que la fonction est continue.

Proposition 16.
La fonction de Weierstrass est de classe C β et elle n'est pas mieux.

Preuve .

Pour x, y tel que 0 < |x − y| < α−1 , ainsi il existe N tel que α−(N +1) ≤ (x − y) < α−N et ainsi on n'a pas
de saut.
|W (x)−W (y)| ≤

+∞
X

α−βk | sin(αk x)−sin(αk y)| =

k=1

N
X


X

α−βk | sin(αk x)−sin(αk y)|+

k=1

α−βk | sin(αk x)−sin(αk y)|

k=N +1

Dans le cas où k ≤ N on a | sin(αk x) − sin(αk y)| ≤ αk |x − y| et dans le cas où k > N , on a
| sin(αk x) − sin(αk y)| ≤ 2. D'où :
|W (x) − W (y)| ≤

N
X

α

−βk

+∞
X

k

α |x − y| +



−βk

= |x − y|

α

(1−β)k

βk

X
1
+2
α
k=N +1

k=1

k=N +1

k=1

N
X

On a d'un coté une simple somme d'une suite géométrique et dans l'autre cas on a une série géométrique
convergente car α > 1, donc α−1 < 1
|W (x) − W (y)|





α(1−β)N
α−β(N +1)
+2
β−1
1−α
1 − α−β
(1−β)N β(N +1)

α
α
1
α−β(N +1)
|x

y|
+
2
1 − αβ−1
1 − α−β
N +β −N

α
α
1
α−β(N +1)
+2
1 − αβ−1
1 − α−β

|x − y|



Cα−β(N +1)



C.|x − y|β

On a utilisé le fait que α−(N +1) ≤ |x − y|, avec C =



αN +β α−N
1−αβ−1

+ 2 1−α1 −β



Pour x, y tel que |x − y| > α−1 , on a brutalement :
|W (x) − W (y)|



+∞
X

α−βk | sin(αk x) − sin(αk y)|

k=1
+∞
X

≤ 2

α−βk

k=1

α−β
1 − α−β
≤ Cα−β
≤ 2

<

C|x − y|β

1
On a utilisé le fait que α−1 < |x − y| avec C = 2 1−α−β
.

On a montré que la fonction de Weierstrass est de classe C β .
On peut montrer rapidement que la fonction de Weierstrass ne peut pas être mieux.
Supposons que la fonction de Weierstrass est de classe C β+ε ∀ε > 0.
C
k
On aurait comme coe cient de Fourier |cn | ≤ (1+|n|)
β+ε . Donc si n = α , alors
|cαk | ≤

C
≤ Cα−k(β+ε)
(1 + αk )β+ε

On aboutit à une contradiction si ε > 0.
On en conclut que la fonction de Weierstrass est de classe au mieux C β .
Maintenant, on va s'intéresser au spectre de singularité. On a avec l'aide de la transformée de Gabor que la
régularité en un point x0 est la même partout. On en conclut que l'ensemble isohölderienne en β de la
fonction de Weierstrass est R. On en conclut que le spectre singularité est dimH (R) = 1.

4. Fonction de Levy
Nous utiliserons la notation {x} = x − E(x) − 21 .
On va dé nir la fonction de Levy pour α > 1 et −1 < β < 0 :

Lα,β =


X

αβk {αk t}

k=1

On peut la dé nir encore autrement par commodité avec α > 1 et β ∈]0, 1[ :

Lα,β =


X
k=1

On peut la dé nir de façon dyadique avec α = 2 :

Nous utiliserons L2,β =

{2j t}
j=1 2βj .

P∞

α−βk {αk t}

Dé nition 15 (Point α-adique).
Les points α-adiques sont les points de la forme kα−n avec n ∈ N et k ∈ Z.
On appelle point dyadique les points 2-adiques, c'est à dire de la forme k2−n avec n ∈ N et k ∈ Z.

Lorsqu'on regarde la fonction x 7−→ {x} on constate qu'elle admet des sauts sur tous les entiers et qu'elle
est 1-périodique.
Maintenant lorsqu'on regarde la fonction x 7−→ {2j x}, on constate qu'elle admet ces sauts sur tous les
dyadiques.

Proposition 17.
La fonction de Levy est continue au point non-dyadique, c'est à dire de la forme k2−j

Preuve .
La suite

Appliquons le théorème de continuité sous le signe
{2j x}
2βj

P

:

est sommable pour tout x ∈ R.
j

La fonction x 7−→ {22βjx} est continue au point non-dyadique pour tout j ∈ N.
En n, la série est convergente puisque {2j x} ≤ 1 ainsi on peut majorer par une série géométriques, donc
P+∞ j
| j=1 {22βjx} | < +∞.
D'après le théorème de continuité sous le signe
non-dyadique.

P
, on en conclut que la fonction est continue au point

Proposition 18.
La fonction de Levy n'est pas continue au point dyadique.

Preuve .

P
Soit x0 = k2−n avec k ∈ Z et n ∈ N∗ un point dyadique. On peut alterner le signe
et lim
puisqu'on vu dans tous les cas que la série est bornée. Regardons la limite à droite et gauche. On regarde la
série de Davenport :
+∞
X
an nx
n=1

On considère un rationnel r = avec p, q premier entre eux. La valeur r est un saut si il est un multiple de
1
n d'après la fonction x 7−→ {nx}. On a que q|n ainsi on considère un entier l ∈ N tel que n = lq
La hauteur du saut est la di érence des limites à gauche et à droite.
1 P+∞
+∞
+∞
X
X
− 2 l=1 alq si r = r−
P+∞
lim
an {nx} =
alq lim {lqx} =
1
x→r
x→r
si r = r+
l=1 alq
2
n=1
p
q

l=1

On en conclut que le saut pour la série de Devanport en r est de −

P+∞
l=1

alq .

OnPen conclut que le saut pour la serie de Levy sur un point dyadique x0 = k2−n est
+∞
− j=1 2−βjn = C2−βn avec n impaire a n d'avoir la condition sur les deux nombres premiers entre eux p
et q plus haut. On a C = 1−2−1
−βn .

Lemme 19.
Soit f une fonction ayant un ensemble dense de point de discontinuité et en chacun des points de
discontinuité r une limite à gauche f (r− ) et à droite f (r+ ). On considère (rn )n∈N une suite de
point de discontinuité convergent vers un point x. Alors l'exposant de Hölder est :

Hf (x) ≤ lim inf

n→+∞

log(|f (rn− ) − f (rn+ )|
log(|rn − x|)

On a une fonction qui admet des sauts donc pour cela on va dé nir l'ensemble des réels approximables par
des nombres dyadiques.



kn
1



Eα = {x ∈ R, ∃(jn )n∈N , (kn )n∈N , lim jn = +∞, x − jn ≤ αjn }
n→+∞
2
2

Proposition 20.
Pour x0 ∈ Eα , la fonction de Levy a pour exposant d'Hölder HL (x0 ) ≤

β
α

Preuve .

Il su t d'appliquer le lemme 19.
On a vu que le saut est C2−βn .
log(rn )
Pour (rn )n∈N suite de point de discontinuité convergent vers x0 ∈ Eα , on a un saut de C2β log(2) .
On calcul :
log(|L(rn− ) − L(rn+ )|)
lim inf
n→+∞
log(|rn − x0 |)

log(rn )

log(C2β log(2) )
= lim inf
n→+∞ log(|rn − x0 |)
log(C) + β log(rn )
= lim inf
n→+∞
log(|rn − x0 |
β log(rn )

log(2αrn )
β

α

Proposition 21.
β

Pour x0 ∈
/ Eα , la fonction de Levy est de classe C α (x0 )

Preuve .

Soit x0 ∈ Eα , alors il existe (jn )n∈N∗ telle que limn→+∞ jn = +∞ et x ∈ In =
Ainsi on a x0 ∈ In pour une in nité de n ∈ N∗ .

h

kn
2jn



1
kn
(2jn )α , 2jn

+

1
(2jn )α

i

.

Si x0 ∈
/ Eα , cela signi e qu'il existe j0 tel que pour tout j ≥ j0 on est x ∈
/ In et donc notre fonction de Levy
n'a
pas
de
saut
or
de
ces
intervalles.
On
en
conclut
que
la
fonction
de
Levy
est continue et de plus la série
P
−βj
j
2
{2
x}
converge
absolument.
j≥1
Soit un entier j ∈ N∗ tel qu'il existe N ∈ N∗ a n que 2−α(N −1) ≤ |x − y| < 2−αN

On a deux manières de majorer selon j ne pas oublier que la fonction x 7−→ [2j x] est linéaire puisqu'il n'y a
pas de saut, ainsi |[2j x] − [2j y]| ≤ |x − y| :
|{2j x} − {2j y}| ≤ 2

ou

|{2j x} − {2j y}| ≤ |2j (x − y) − ([2j x] − [2j y])| ≤ |2j − 1||x − y| ≤ 2j |x − y|

Ainsi on peut écrire :
|L(x) − L(y)|



N
−1
X

2

−βj

j

j

|{2 x} − {2 y}| +

j=0



|x − y|

(1−β)N

C2

2−βj |{2j x} − {2j y}|

j=N
N
−1
X
j=0



+∞
X

2−βj 2j +

+∞
X

2−βj 2

j=N

|x − y| + 2C2−βN

On utilise le fait que |x − y| ≤ 2−αN ≤ 2−N , puisque α ∈ N.
|L(x) − L(y)| ≤ C2−βN + C 0 2−βN ≤ C2−βN
1

Or |x − y| ∼ 2−αN , ainsi 2−N ∼ |x − y| α .
On en conclut que
β
|L(x) − L(y)| ≤ C2−βN = (2−N )β ≤ |x − y| α


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