Aide mémoire danalyse .pdf



Nom original: Aide-mémoire_danalyse.pdfTitre: Aide-mémoire d'analyseAuteur: Heinrich Matzinger

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La collection Méthodes mathématiques pour l’ingénieur, dirigée par Alan Ruegg,
professeur à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, a pour but de mettre à disposition
des étudiants ingénieurs et des ingénieurs praticiens des ouvrages rédigés dans un langage
aussi élémentaire que possible sans pour autant abandonner un niveau de rigueur
indispensable en mathématiques. C’est ainsi que les auteurs de cette collection ont parfois
sacrifié des démonstrations formelles et des développements théoriques au profit d’une
présentation plus intuitive et plus motivante des concepts et idées essentielles. Chaque
volume comprend un certain nombre d’exemples résolus qui mettent en évidence
l’utilisation des résultats présentés. Ces volumes peuvent donc servir comme support à des
cours d’introduction, mais ils s’adressent également à toutes les personnes désirant s’initier
aux différentes branches des mathématiques appliquées.
1
2
3
4
5
6
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8
9

Analyse numérique, Kurt Arbenz et Alfred Wohlhauser
Compléments d’analyse, Kurt Arbenz et Alfred Wohlhauser
Variables complexes, Kurt Arbenz et Alfred Wohlhauser
Probabilités et statistique, Alan Ruegg
Exercices avec solutions (Compl. aux volumes 1, 2 et 3), Otto Bachmann
Processus stochastiques, Alan Ruegg
Eléments d’analyse numérique et appliquée, Kurt Arbenz et Otto Bachmann
Méthodes constructives de la géométrie axiale, Alan Ruegg
et Guido Burmeister
Introduction à la statistique, Stephan Morgenthaler

Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation
scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de l’Ecole
polytechnique fédérale de Lausanne, d’autres universités francophones ainsi
que des écoles techniques supérieures. Le catalogue de leurs publications peut
être obtenu par courrier aux Presses polytechniques et universitaires romandes,
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Composition et mise en page: Marie-Hélène Gellis
Première édition
ISBN 2-88074-444-X
© 2000, Presses polytechniques et universitaires romandes
CH – 1015 Lausanne
Tous droits réservés.
Reproduction, même partielle, interdite sous quelque forme
ou sur quelque support que ce soit sans l’accord écrit de l’éditeur.
Imprimé en Italie

Le pre´sent aide-me´moire d’analyse du Professeur Heinrich Matzinger
(1931-1997) re´sume le cours d’Analyse de base pour inge´ nieurs tel qu’il fut
enseigne´ par celui-ci pendant de nombreuses anne´ es a` l’Ecole polytechnique
fe´de´rale de Lausanne.
Graˆce a` l’initiative des Presses polytechniques et universitaires romandes,
ce re´sume´ est a` nouveau a` disposition des e´tudiants et ceci sous une forme
entie`rement recompose´e.
Je les remercie de m’avoir confie´ la taˆche de revoir le texte; je l’ai laisse´
le plus proche possible de la version pre´ vue par son auteur.
Alfred Wohlhauser

Table des mati`
eres
´
Chapitre 1 LIMITES ET CONTINUITE
1.1 Remarques a` propos des nombres r´
eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Sous-ensembles de nombres r´
eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Distance, voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Nombres rationnels et nombres r´
eels. . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Limite d’une suite num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Crit`ere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 G´en´eralisation : lim sup, lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Limite quand x tend vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Limite quand x tend vers x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Fonctions continues dans un ensemble ferm´
e. . . . . . . 8
1.5 Calcul de limites; s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Limites de suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.2 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.3 Notion de s´erie num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES
2.1 Op´erations ´el´ementaires sur les nombres complexes . . . . . 11
2.1.1 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Forme trigonom´etrique des nombres complexes
(forme polaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Comment calculer avec les nombres complexes ? . . 12
2.1.4 Addition et soustraction des nombres complexes. . 12

viii

Physique g´en´erale

2.1.5 Multiplication des nombres complexes. . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Division des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.7 Nombres complexes conjugu´
es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.8 R`egles de calcul pour les nombres conjugu´
es. . . . . . 14
2.1.9 Puissances ni`emes des nombres complexes . . . . . . . . 15
2.1.10 Racines ni`emes des nombres complexes . . . . . . . . . . . 15
2.2 Formules d’Euler et de de Moivre, fonctions
exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Les trois repr´
esentations des nombres complexes. . 17
2.2.3 Formule de de Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.5 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Graphes des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.2 Quelques identit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Relations entre fonctions hyperboliques et
trigonom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 D´ecomposition de polynˆ
ome en facteurs
irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Partie enti`ere d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . 20
2.4.3 D´ecomposition d’une fraction proprement dite. . . . 20
2.5 Oscillations harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 M´ethode complexe (id´
ee g´en´erale). . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Repr´esentation complexe des oscillations
harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.3 Addition (superposition) d’oscillations
harmoniques de mˆ
eme fr´equence . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Table des mati`eres

ix

´
Chapitre 3 CALCUL DIFFERENTIEL
DE FONCTIONS
D’UNE VARIABLE
3.1 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1.1 Fonctions d´erivables et fonctions continues . . . . . . . 30
3.1.2 G´en´eralisations : d´eriv´ee a` gauche, d´eriv´ee
`a droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Th´eor`eme des accroissements finis
(th´eor`eme de la moyenne). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.4 Th´eor`eme de Rolle (cas particulier du
th´eor`eme des accroissements finis). . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.5 G´en´eralisation du th´eor`eme des
accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.6 Fonctions dont la d´eriv´ee s’annule. . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.7 D´eriv´ees de quelques fonctions e´l´ementaires . . . . . . 33
3.2 M´ethodes de calcul de d´
eriv´ees, d´
eriv´ees d’ordre
sup´erieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 R`egles de d´
erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.2 Liste de d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 D´eriv´ees d’ordre sup´
erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4 D´eriv´ees de « fonctions vectorielles» . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.5 Fonctions complexes d’une variable r´
eelle. . . . . . . . . 35
3.3 Fonctions trigonom´etriques inverses et fonctions
hyperboliques inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Fonctions trigonom´etriques inverses . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Courbes param´etr´
ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.1 Courbes param´etr´
ees, vecteur tangent,
vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

x

Physique g´en´erale

3.6 Maxima et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6.1 Valeurs stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6.2 Extrema locaux (ou extrema relatifs). . . . . . . . . . . . . 49
3.6.3 Extrema absolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Approximation lin´eaire; diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Approximation (locale) lin´eaire d’une fonction. . . .
3.7.2 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Pr´ecision de l’approximation lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Que vaut l’approximation lin´eaire ?. . . . . . . . . . . . . . .

50
51
51
53
55
55

3.8.2 Pr´ecision en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8.3 Pr´ecision dans un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
´
Chapitre 4 INTEGRALES
DE FONCTIONS
D’UNE VARIABLE
4.1 Int´egrale d´efinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Calcul approch´e de certaines aires. . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Int´egrales et aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Int´egrale et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propri´et´es de l’int´egrale d´efinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Quelques propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Th´eor`eme de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
62
63
63
63
65

4.2.3 Changement du symbole de la variable
d’int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Int´egrale ind´efinie (primitive). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Recherche de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Int´egration de fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Fonctions rationnelles de fonctions
trigonom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
66
67
69
69
72

Table des mati`eres

xi

4.5 Th´eor`eme fondamental du calcul infinit´esimal . . . . . . . . . . . 72
4.5.2 M´ethode d’int´
egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5.3 D´eriv´ees d’int´
egrales d´
ependant de leurs limites . . 75
4.6 Int´egrales g´en´eralis´ees (appel´
ees aussi int´
egrales
impropres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.1 Int´egrales avec des bornes infinies
(int´egrales impropres de seconde esp`
ece) . . . . . . . . . 75
4.6.2 Int´egrales de certaines fonctions discontinues
(int´egrales impropres de premi`
ere esp`
ece) . . . . . . . . 78
4.7 Applications des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.1 Aire sous une courbe param´
etr´
ee . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7.2 Aire d´elimit´ee par une courbe ferm´
ee. . . . . . . . . . . . . 81
4.7.3 Aire en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7.4 Longueur d’un arc de courbe (plane). . . . . . . . . . . . . 82
4.7.5 Longueur d’un arc param´etr´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.6 Abscisse curviligne comme param`
etre . . . . . . . . . . . . 83
4.7.7 Abscisse curviligne et vecteur tangent. . . . . . . . . . . . 83
4.7.8 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.9 Volume d’un corps de r´
evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7.10 Aire d’une surface de r´
evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.8 Courbure, cercle osculateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8.1 Calcul de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8.2 Rayon de courbure, cercle osculateur et
centre de courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
´
Chapitre 5 SERIES
5.1 S´eries num´
eriques, s´
eries altern´
ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.1 S´eries num´
eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.2 S´eries altern´
ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

xii

Physique g´en´erale

5.1.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.4 S´eries complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 S´eries a` termes positifs, crit`
eres de convergence. . . . . . . . . 90
5.2.1 Tests de d’Alembert et de Cauchy
(test du quotient et test de la racine ni`eme ). . . . . . . 91
5.2.2 Cas particulier des tests de d’Alembert
et de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Comparaison avec une int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Suite de fonctions, s´eries de fonctions,
convergences simple et uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Suites de fonctions r´
eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2 S´eries de fonctions r´
eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
´
Chapitre 6 SERIES
DE TAYLOR
6.1 Approximations locales par des polynˆ
omes . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Formule de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1 Pr´ecision de l’approximation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2 Une autre d´efinition de la d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.3 Pr´ecision de l’approximation d’ordre n . . . . . . . . . . 101
6.3 S´eries de Taylor .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.1 La notion de s´erie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.2 Exemples de fonctions enti`
eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 Convergence des s´
eries enti`
eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3 Convergence et singularit´
es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Op´erations ´el´ementaires sur les s´
eries enti`
eres. . . . . . . . . . 107
6.6 Int´egration et d´
erivation des s´
eries enti`
eres . . . . . . . . . . . . 110

Table des mati`eres

xiii

´
Chapitre 7 CALCUL DIFFERENTIEL
DE FONCTIONS
DE PLUSIEURS VARIABLES
7.1 Fonctions diff´erentiables, d´
eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1 Fonctions diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.2 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.3 Fonctions diff´erentiables et d´
eriv´ees partielles . . . 114
7.1.4 Diff´erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.5 Application : propagation d’erreurs de mesure . . . 115
7.1.6 Commutativit´e des d´
eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . 116
7.2 D´eriv´ees de fonctions compos´
ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.1 D´eriv´ee totale (ou d´
eriv´ee le long d’une courbe) . 116
7.2.2 D´eriv´ees partielles de fonctions compos´
ees. . . . . . . 117
7.2.3 D´eriv´ees de fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.3 D´eriv´ee directionnelle, gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.1 D´eriv´ee suivant une direction donn´
ee
(d´eriv´ee directionnelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.2 Notion de «champ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

7.4 D´eveloppement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.5 Maxima et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5.1 Trois probl`emes a` distinguer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5.2 R´esolution des trois probl`
emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.6 Extrema li´es (multiplicateurs de Lagrange) . . . . . . . . . . . . 125
7.6.1 Valeurs stationnaires avec contraintes . . . . . . . . . . . 125
7.6.2 G´en´eralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

xiv

Physique g´en´erale

´
Chapitre 8 INTEGRALES
DE FONCTIONS DE
PLUSIEURS VARIABLES
8.1 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.1 Calcul de certains volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.2 Int´egrales doubles en g´
en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2 Changement de variables dans une int´
egrale double . . . . 132
8.2.1 Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.2 Int´egrales doubles en coordonn´
ees curvilignes. . . . 133
8.3 Int´egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.1 Coordonn´ees cart´
esiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.2 Coordonn´ees curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.3.4 Formule de Steiner-Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.4 Int´egrales d´
ependant d’un param`
etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.1 Limites d’int´egration constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.2 Limites d’int´egration variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Chapitre 9 CHAMPS VECTORIELS PLANS ET
POTENTIELS
9.1 Int´egrales curvilignes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.1 D´efinition des int´
egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . 139
9.1.2 Calcul des int´egrales curvilignes en
coordonn´ees cart´
esiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.3 Existence de l’int´egrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.4 Exemples d’int´egrales curvilignes. . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.1.5 Ind´ependance de la param´
etrisation . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.6 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1.7 Formule de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Gradient et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.2.2 Recherche du potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Table des mati`eres

xv

9.3 Diff´erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.1 Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3.2 Int´egration des formes diff´
erentielles . . . . . . . . . . . . 146
9.3.3 Analogies entre champs vectoriels et
formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
´
Chapitre 10 EXEMPLES D’EQUATIONS
´
DIFFERENTIELLES
D’ORDRE 1
10.1 Croissance exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Equations `a variables s´epar´ees, changement de
variables, ´equations homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.1 Equations `a variables s´epar´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2.3 Equations homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Equation aux diff´erentielles totales, facteur int´
egrant. . . 153
10.3.1 Equation diff´erentielle des lignes de niveau . . . . . . 153
10.3.2 Int´egration des e´quations aux
diff´erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3.3 Facteur int´egrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4 Familles de courbes, enveloppes, e´quation de Clairaut . . 154
10.4.1 Famille de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.4.2 Enveloppes d’une famille de courbes . . . . . . . . . . . . 155
10.4.3 Equation de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.5 Existence et unicit´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.1 Th´eor`eme d’existence et d’unicit´
e . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5.2 Approximation successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
´
Chapitre 11 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
´
` COEFFICIENTS CONSTANTS
LINEAIRES
A
11.1 L’´equation y + ay = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.1.1 L’´equation homog`ene y + ay = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 159

xvi

Physique g´en´erale

11.1.2 L’´equation non homog`ene y + ay = f(x) . . . . . . . . 160
11.1.3 Recherche d’une solution particuli`
ere. . . . . . . . . . . . 160
11.2 L’´equation y + ay + by = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.1 Structure de l’ensemble des solutions. . . . . . . . . . . . 161
11.2.2 Recherche de deux solutions lin´
eairement
ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.3 L’´equation y + ay + by = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3.1 La solution g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3.2 Recherche d’une solution particuli`
ere. . . . . . . . . . . . 163
11.4 Seconds membres particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4.1 Oscillations forc´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.5 L’´equation y(n) + a1 y(n−1) + · · · + an y = 0 . . . . . . . . . . . . 166
11.5.1 Recherche de n solutions lin´eairement
ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.5.2 Probl`eme aux valeurs initiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.5.3 Wronskien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.6 L’´equation y(n) + a1 y(n−1) + · · · + an y = f(x) . . . . . . . . . 169
11.6.1 Solution g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.6.2 Recherche d’une solution particuli`
ere. . . . . . . . . . . . 169
´
Chapitre 12 EQUATIONS DIFFERENTIELLES
´
` COEFFICIENTS VARIABLES
LINEAIRES
A
12.1 Ensemble des solutions d’une e´quation lin´eaire . . . . . . . . . 173
12.1.1 Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.1.2 Equation non homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.2 Equation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.3 L’´equation y + a(x)y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.3.1 L’´equation homog`ene y + a(x)y = 0 . . . . . . . . . . . . 176
12.3.2 L’´equation non homog`ene y + a(x)y = f(x). . . . . 176
12.4 Equations `a coefficients analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Table des mati`eres

xvii

´
`
Chapitre 13 METHODES
PARTICULIERES,
EXEMPLES
´
´
´
D’EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
NON LINEAIRES
13.1 Abaissement de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.2 Exemples d’´equations non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.2.1 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.2.2 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Chapitre 1

Limites et continuit´
e
1.1 Remarques a` propos des nombres r´eels
1.1.1

Sous-ensembles de nombres r´eels

Intervalles

Intervalle ferm´e


[a, b] = x | a x b
Intervalle ouvert


]a, b[ = x | a < x < b
Intervalle semi-ouvert a` droite


[a, b[ = x | a x < b
Intervalle semi-ouvert a` gauche


]a, b] = x | a < x b
Intervalles illimit´es ferm´es :


[a, ∞[ = x | a x


] − ∞, b] = x | x b

a

b

a

b

a

b

a

b

a
b

2

Limites et continuit´
e

Intervalles illimit´es ouverts :


]a, ∞[ = x | a < x

a



] − ∞, b[ = x | x < b

b

Ensembles major´
es et minor´
es

c est appel´
e majorant de A ⊂ R si A c.
c

A

c est appel´
e minorant de A ⊂ R si c A.
c

A

A est dit major´e s’il existe (au moins) un majorant.
A est dit minor´e s’il existe (au moins) un minorant.
A est dit born´e s’il est major´e et minor´e.
Plus grand et plus petit e´l´
ements

c est appel´
e le plus grand e´l´ement de A ⊂ R si c ∈ A, A c.
c est appel´
e le plus petit ´el´ement de A ⊂ R si c ∈ A, c A.
L’intervalle ] a , b ] n’a pas de plus petit e´l´ement, mais il en
a un plus grand.
Exemple.

a

1.1.2

b

Distance, voisinage

eels
« Distance » de deux nombres r´


efinition. d(x, y) = |x − y|.
In´egalit´e du triangle : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (pour tous x, y, z
r´eels).
Invariance de la distance par translation : d(x, y) = d(x + c, y + c)
(quels que soient x, y, c r´eels).

Remarques a` propos des nombres r´
eels

3

Sous-additivit´
e des valeurs absolues : |x + y| |x| + |y|. Quelquefois
cette in´
egalit´e est aussi appel´
ee «in´egalit´e du triangle».
Voisinage d’un nombre r´
eel

On appelle ε-voisinage (ouvert) de x.


Vε (x) = y | d(x, y) < ε
= ] x − ε , x + ε [ (ε > 0)

Vε (x)
x−ε

x

x+ε

On appelle voisinage de x tout ensemble contenant (au moins) un
ε-voisinage de x. On ´ecrit souvent V (x).
V (x)
x−ε x x+ε

Ensembles ouverts, ensembles ferm´
es

On appelle ensemble ouvert une partie de R qui est voisinage de
tous ses points.
On appelle ensemble ferm´e une partie de R dont le compl´ement est
ouvert.

1.1.3

Nombres rationnels et nombres r´eels

Les nombres r´
eels se distinguent des nombres rationnels essentiellement par une propri´et´e. Cette propri´
et´e peut eˆtre exprim´
ee de diff´
erentes mani`
eres. L’une d’elles est donn´
ee ci-dessous (existence du sup),
une autre (crit`
ere de Cauchy) se trouve dans le paragraphe ayant trait
`a la convergence des suites (§ 1.2.2). On dit que la droite r´eelle est
compl`ete. Cette propri´
et´e d’ˆetre compl`
ete est parfois formul´
ee intuitivement, en disant : «il n’y a pas de trou dans la droite num´
erique».

4

Limites et continuit´
e

Ensemble des majorants

L’ensemble des majorants d’une partie (major´ee) de R est un intervalle illimit´e : si c majore A, alors tout c tel que c < c majore
aussi A.
A

Question.

c

c

L’ensemble des majorants a-t-il un plus petit e´l´ement ?

L’ensemble des minorants d’une partie (minor´
ee) de R est un invervalle illimit´e : si c minore A, alors c < c minore aussi A.
c

Question.

c

A

L’ensemble des minorants a-t-il un plus grand e´l´ement ?

Supremum, infimum

Si l’ensemble des majorants de A poss`ede un plus petit e´l´ement, on
l’appelle supremum de A ou borne sup´
erieure de A (la borne sup´
erieure
est not´
ee sup A).
Si l’ensemble des minorants de A poss`ede un plus grand e´l´ement,
on l’appelle infimum de A ou borne inf´
erieure de A (la borne inf´erieure
est not´
ee inf A).
La droite r´
eelle est « compl`
ete »

Axiome. Pour toute partie born´
ee A de la droite r´
eelle, la
borne sup´
erieure (sup A) et la borne inf´
erieure (inf A) existent.
(On dit que la droite r´
eelle est compl`
ete.)

Limite d’une suite num´
erique

5

1.2 Limite d’une suite num´erique
1.2.1
Notion de limite
erique. Intuitivement parSoit a1 , a2 , a3 , . . . , a n , . . . une suite num´
lant, un nombre a s’appelle alors la limite de la suite an , si pour des
indices n croissants, les nombres an s’approchent de a autant que l’on
veut. De fa¸con pr´ecise :
´finition. On dit que la suite num´
De
erique an tend vers a (ou
converge vers a) si, pour tout nombre ε > 0 (aussi petit soit-il),
il existe un indice N tel que n > N entraˆıne |an − a| < ε.
On peut donner beaucoup de d´
efinitions ´equivalentes de la notion
de limite d’une suite num´
erique. Nous en citerons une deuxi`
eme.
´finition (´equivalente). On dit que la suite an converge vers
De
a si, pour tout voisinage V (a) du nombre a, il existe un indice
N `a partir duquel(1) tous les an se trouvent dans ce voisinage
V (a).
Si la suite an tend vers a, on dit qu’elle est convergente et que sa
limite est a.
Si la suite ne tend vers aucune limite, elle est dite divergente.
1.2.2
Crit`
ere de Cauchy
Si l’on veut d´emontrer la convergence d’une suite an en appliquant
la d´efinition de limite, il faut d’abord connaˆıtre (ou deviner) cette
limite pr´esum´ee a. Le crit`ere de Cauchy permet de d´
emontrer la convergence d’une suite, sans savoir quelle en est la limite. Intuitivement
parlant, le crit`ere de Cauchy dit qu’une suite an converge si pour des
indices n et m suffisamment grands, les deux termes an et am sont
aussi proches que l’on veut. De fa¸con pr´ecise :
(1)

C’est-`
a-dire pour des indices n > N .

6

Limites et continuit´
e

Proposition. La suite an converge si et seulement si pour
tout ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un indice N tel que n,
m > N entraˆıne |an − am | < ε (crit`ere de Cauchy).
1.2.3


en´
eralisation : lim sup, lim inf

´finition. On appelle le point a un point d’accumulation de
De
la suite an , s’il existe une sous-suite qui converge vers a.

´finition
De
(1) Si la suite an est born´ee, nous appelons :
limite sup´erieure de an le plus grand des points d’accumulation (notation lim sup an );
limite inf´erieure de an le plus petit des points d’accumulation (notation lim inf an ).
(2) Si an n’est pas major´
ee, on dit que lim sup an = ∞.
Si an n’est pas minor´
ee, on dit que lim inf an = −∞.

1.3 Limite d’une fonction
1.3.1

Limite quand x tend vers l’infini

´finition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
De
+∞) si, pour tout ε > 0 (aussi petit soit-il), il existe un
nombre
r´eel N (suffisamment grand) tel que x > N entraˆıne f(x) − a
< ε.
Notation.

lim f(x) = a ou

x→∞

lim f(x) = a.

x→+∞

D´efinition analogue pour limx→−∞ f(x).
En utilisant la notion de voisinage, on obtient la d´efinition ´equivalente :

Fonctions continues

7

´finition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
De
+∞) si, pour tout voisinage V (a) du point a, il existe une valeur
N `a partir de laquelle(2) f(x) se trouve dans V (a).
1.3.2

Limite quand x tend vers x0

´finition. On dit que f(x) tend vers a (quand x tend vers
De
x0 ) si, pour tout ε > 0, il existe
δ > 0 tel que (pour x = x0 )
|x − x0 | < δ entraˆıne f(x) − a < ε.
On peut ramener la convergence d’une fonction a` la convergence de
suites :

efinition (´equivalente). On dit que f(x) tend vers a (quand
x tend vers x0 ) si, pour toute suite xn (xn = x0 ) qui converge
vers x, la suite f(xn ) converge vers a.

1.4 Fonctions continues

efinition. f(x) est dite continue au point x0 si lim f(x) =
x→x0

f(x0 ).


efinition (´equivalente). f(x) est dite continue au point x0
si, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que |x − x0 | < δ entraˆıne
f(x) − f(x0 ) < ε.

´finition (´equivalente). f(x) est dite continue au point x0
De
si l’image r´eciproque f −1 (V ) de tout voisinage V de f(x0 ) est
un voisinage de x0 .
(2)

C’est-`
a-dire pour x > N .

8

Limites et continuit´
e

Proposition
• Si f(x), g(x) sont continues en x0 , alors
(1) f(x) + g(x), f(x) − g(x), f(x) · g(x) sont continues en x0 ;
(2) f(x)/g(x) est continue en x0 (si g(x0 ) = 0).
• Si f(x) est continue en x0 et si g(x) est continue en f(x0 ),
alors


(3) g f(x) est continue en x0 .

1.4.1
Fonctions continues dans un ensemble ferm´e
Soit f(x) continue sur [ a , b ]. Sur cet intervalle la fonction
• est born´
ee,
• poss`
ede un maximum et un minimum,
• prend (une fois au moins) toute valeur entre f(a) et f(b) (th´
eor`eme
de la valeur interm´ediaire),
• est uniform´
ement continue. (Uniform´ement continue signifie : pour
tout ε > 0, il existe δ > 0 (qui ne d´epend pas de x ∈ [ a , b ] mais
de ε!)
tel que |x − x | < δ, x , x ∈ [ a , b ], entraˆıne
seulement

f(x ) − f(x ) < ε.)

1.5 Calcul de limites ; s´eries
1.5.1

Limites de suites num´
eriques

R`
egles de calcul

Proposition. Soient lim an = a et lim bn = b. Alors
n→∞

(1) lim (an ± bn ) = a ± b,
n→∞

(2) lim (an · bn ) = a · b,
n→∞
a
an
= (si b = 0, bn = 0).
(3) lim
n→∞ bn
b

n→∞

Calcul de limites ; s´eries

9

Liste de quelques limites

an

lim an an

1
n
1
(α > 0)


n
a

n
n

1.5.2

0
0
1

lim an

xn
(x r´eel) 0
n!

1 n
e = 2, 718281 . . .
1+
n

n
n!
n’existe pas (= ∞)

1

Limite d’une fonction

R`
egles de calcul

Proposition. Si pour

lim ,

lim , lim ,

lim ,

lim ,

x→+∞ x→−∞ x→x0 x→x0 + x→x0 −

on a lim f(x) = a, lim g(x) = b, alors




lim f(x) ± g(x) = a ± b
lim f(x) · g(x) = a · b
a
f(x)
=
lim
g(x)
b
si b = 0 et g(x) = 0.
Liste de quelques limites

Proposition
1
= 0 (α > 0)
x→+∞ xα


1 x
1+
=e
lim
x→+∞
x


1 x
lim
1+
=e
x→−∞
x
lim

sin x
=1
x→0 x
tg x
=1
lim
x→0 x
lim

10

Limites et continuit´
e

1.5.3

Notion de s´
erie num´
erique

Sommes partielles

Etant donn´
ee la s´erie a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·, on appelle
sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an
la n-i`eme somme partielle de la s´erie.
Convergence d’une s´
erie num´
erique

´finition. La s´erie a1 + a2 + a3 + · · · est dite convergente,
De
si la suite des sommes partielles converge :
lim sn = S

n→∞

(sn = a1 + a2 + · · · + an ) .

S est alors appel´
ee la somme de la s´
erie.
Notation. Si a1 + a2 + a3 + · · · converge vers S, on ´ecrit





ai = S.

i=1


erie g´
eom´
etrique a + ap + ap2 + ap3 + · · ·

La somme des n premiers termes est
a + ap + ap2 + · · · + apn−1 = a

1 − pn
.
1−p

Proposition. La s´erie g´eom´etrique a + ap + ap2 + · · · (a = 0)
converge pour |p| < 1 :
a + ap + ap2 + · · · =
(pour |p| 1 elle diverge).

a
1−p

(|p| < 1)

Chapitre 2

Nombres complexes
2.1 Op´erations ´el´ementaires sur les nombres complexes
Unit´e imaginaire i : i2 = −1.
Nombres complexes z : z =
x +
partie
r´eelle

iy


.

partie
imaginaire

2.1.1
Repr´
esentation graphique
Partie r´eelle de z = x = Re(z).
Partie imaginaire de z = y = Im(z).
Argument de z = ϕ = arg(z).

Module ou valeur absolue de z = ρ = |z| = x2 + y2 .
axe imaginaire
z = x + iy

iy
i

ρ
ϕ
1

Remarque.

x
axe r´
eel

arg(z) n’est d´
efini qu’`
a 2kπ pr`es (k entier).

12

Nombres complexes

2.1.2

Forme trigonom´
etrique des nombres complexes
(forme polaire)
z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ)

2.1.3
Comment calculer avec les nombres complexes ?
Comme avec des polynˆ
omes dont l’ind´etermin´ee est appel´
ee i, mais
2
en posant i = −1.
2.1.4
Addition et soustraction des nombres complexes
Si z = x + iy et w = u + iv, alors

z+w
z
i

z ± w = (x ± u) + i(y ± v)

w

−z = −x − iy

1

−z

2.1.5
Multiplication des nombres complexes
Si z = x + iy = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) et w = u + iv = σ(cos ψ + i sin ψ),
alors
z · w = (x + iy) · (u + iv) = xu + ixv + iyu +
i2 yv
−1

= xu − yv + i(xv + yu)

Op´erations e´l´ementaires sur les nombres complexes

13

Forme trigonom´
etrique

z · w = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) · σ(cos ψ + i sin ψ)


= ρσ cos ϕ · cos ψ − sin ϕ · sin ψ + i(cos ϕ · sin ψ + sin ϕ · cos ψ)


= ρσ cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
Multiplier deux nombres complexes revient donc a` multiplier leurs
modules et additionner leurs arguments.
2.1.6

Division des nombres complexes

Si z = a + ib = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) et w = c + id = σ(cos ψ + i sin ψ),
alors
a + ib
(a + ib)(c − id)
z
=
=
w
c + id
(c + id)(c − id)
ac + bd
bc − ad
ac + bd + i(bc − ad)
=
+
i
=
c2 + d2
c2 + d2
c2 + d2
Forme trigonom´
etrique

ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
ρ(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ − i sin ψ)
z
=
=
w
σ(cos ψ + i sin ψ)
σ (cos ψ + i sin ψ)(cos ψ − i sin ψ)



=cos2 ψ+sin2 ψ=1


ρ
cos ϕ · cos ψ + sin ϕ · sin ψ + i(sin ϕ · cos ψ − cos ϕ · sin ψ)
σ

ρ
cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)
=
σ
Diviser deux nombres complexes revient donc a` diviser leurs modules et soustraire leurs arguments.
=

Cas particulier

Inverse d’un nombre complexe :
1
(a − ib)
a − ib
a
b
1
=
=
= 2
= 2
−i 2
2
2
z
a + ib
(a + ib)(a − ib)
a +b
a +b
a + b2

14

Nombres complexes

Forme trigonom´
etrique

1
(cos ϕ − i sin ϕ)
1
=
=
z
ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
ρ (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ)



=cos2 ϕ+sin2 ϕ=1

=

1
(cos ϕ − i sin ϕ)
ρ

2.1.7
Nombres complexes conjugu´
es
Nombres conjugu´
es : z = a + ib, z = a − ib.
Forme trigonom´
etrique.

z = ρ(cos ϕ+i sin ϕ), z = ρ(cos ϕ−i sin ϕ).
z = a + ib

2π − ϕ

i

ϕ
1

−ϕ

z = a − ib

cos(−ϕ) = cos ϕ, sin(−ϕ) = − sin ϕ d’o`
u cos(−ϕ) +
i sin(−ϕ) = cos ϕ − i sin ϕ.

Remarque.

2.1.8

R`
egles de calcul pour les nombres conjugu´es
z · z = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 = ρ2 = |z|2
Re z =

z +w = z +w

z+z
2

z·w = z ·w

Im z =

z−z
2i

(z n ) = (z )n

z
w

=

z
w

Op´erations e´l´ementaires sur les nombres complexes

15

z −z
−z

i

z
z +z
1
z

2.1.9
Puissances ni`emes des nombres complexes
Si z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), alors
z 2 = z · z = ρ2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ)
Calculer le carr´
e d’un nombre complexe revient a` trouver le carr´e du
module et le double de l’argument.
z n = z · z · · · z = ρn (cos nϕ + i sin nϕ)
Calculer la puissance ni`eme d’un nombre complexe revient a` trouver la
puissance ni`eme du module et n fois l’argument.
Nombres de module 1, formule de de Moivre

Si |z| = ρ = 1, alors

n
cos ϕ + i sin ϕ = cos nϕ + i sin nϕ
2.1.10

(formule de de Moivre)

Racines ni`emes des nombres complexes


efinition. w est appel´
e racine ni`eme de z si z = wn .
Calcul des racines ni`emes

Soit z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ); on cherche : w = σ(cos ψ + i sin ψ) tel
que z = wn .

16

Nombres complexes

On a ρ(cos ϕ + i sin ϕ) = σn (cos nψ + i sin nψ) d’o`
u
ρ = σn

et ϕ ≡ nψ(mod 2π)

o`
u ϕ + 2kπ = ψ, donc
σ=


n

ρ et ψ =

ϕ 2kπ
+
n
n

(k entier)

erentes situ´ees sur un cercle
Pour z
= 0, il y a n racines ni`emes diff´
n
de rayon |z| et formant un polygone r´
egulier.

2.2 Formules d’Euler et de de Moivre,
fonctions exponentielle et logarithme

2.2.1

Formules d’Euler
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ

Interpr´
etation g´
eom´
etrique des formules d’Euler

eiϕ est un nombre complexe de module 1 et d’argument ϕ.
i

eiϕ

ϕ
1

Formules d’Euler et de de Moivre,. . .

17

Expression de cos ϕ et de sin ϕ par la fonction exponentielle

eiϕ + e−iϕ
cos ϕ =
2

eiϕ − e−iϕ
sin ϕ =
2i

2.2.2
Les trois repr´
esentations des nombres complexes
(1) z = x + iy, surtout utile pour l’addition et la soustraction;
(2) z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), pour passer de la repr´
esentation (3) a` la
repr´
esentation (1);
(3) z = ρ eiϕ simplifie souvent les multiplications, divisions, puissances
et racines.
2.2.3

Formule de de Moivre
iϕ n
e
= einϕ

2.2.4
Fonction exponentielle
Soit z = x + iy ; alors w = ez = ex · eiy = ex cos y + i ex sin y.
On a donc
|w| = ex

arg w ≡ y

Re w = ex cos y
2.2.5

(mod 2π)

Im w = ex sin y

Logarithme


efinition. log w = z ´equivaut a` w = ez .
Posons z = x + iy : log w = x + iy ´equivaut a` w = ex eiy , avec
ex = |w| et y = arg w, d’o`
u
log w = ln |w| + i(ψ + 2kπ)

o`
u ψ = arg w

Pour retrouver rapidement cette formule :
log w = log σ eiψ = log σ + log ei(ψ+2kπ) = log σ + i(ψ + 2kπ)

18

Nombres complexes

2.3 Fonctions hyperboliques

efinitions
ex − e−x
: sinus hyperbolique;
sh x =
2
ex + e−x
: cosinus hyperbolique;
ch x =
2
sh x
ex − e−x
th x =
: tangente hyperbolique;
= x
ch x
e + e−x
ex + e−x
ch x
= x
: cotangente hyperbolique.
cth x =
sh x
e − e−x

2.3.1

Graphes des fonctions hyperboliques
y

y

3

3

y = ch x

y = cth x

2

2

1
1

1
1

y = e−x /2

y = ex /2
-2

-1

1

2

y = th x
x

-2

-1

1

-1

-1

-2

-2

y = sh x
-3

y = cth x
-3

-1

2

x

Fonctions rationnelles

19

2.3.2
Quelques identit´
es
Les fonctions hyperboliques satisfont a` des identit´
es analogues a`
celles des fonctions trigonom´
etriques.
Les cinq formules les plus usuelles dans la suite sont pr´
ec´ed´ees par
un point gras.



ch2 x − sh2 x = 1



x
ch x − 1
sh(x ± y) = sh x · ch y ± ch x · sh y
sh = ±
ch(x ± y) = ch x · ch y ± sh x · sh y
2
2

ch x + 1
x
th x ± th y
ch =
th(x ± y) =
1 ± th x th y
2
2
sh 2x = 2 sh x · ch x

2
2
2
x
ch 2x = ch x + sh x = 2 ch x − 1 th = ± ch x − 1
2
ch x + 1
= 1 + 2 sh2 x
ch x − 1
sh x
=
=
2 th x
ch x + 1
sh x
th 2x =
1 + th2 x
(+ pour x > 0 ; − pour x < 0)






2.3.3



Relations entre fonctions hyperboliques et
trigonom´
etriques


cos z = ch iz
sin z = −i sh iz



ch z = cos iz
sh z = −i sin iz

2.4 Fonctions rationnelles
2.4.1

ecomposition de polynˆ
ome en facteurs irr´
eductibles
(1) Polynˆ
omes a` coefficients complexes ; facteurs complexes
« Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre». Tout polynˆome du type
ecompos´e en
P (z) = z n + c1 z n−1 + c2 z n−2 + · · · + cn peut eˆtre d´

20

Nombres complexes

facteurs lin´
eaires :
P (z) = (z − z1 ) · (z − z2 ) · · · (z − zn )

o`
u zk = αk + iβk

(2) Polynˆ
omes a` coefficients r´
eels ; facteurs complexes admis
Tout polynˆ
ome du type P (x) = xn + c1 xn−1 + c2 xn−2 + · · · + cn
peut eˆtre d´
ecompos´e en n facteurs lin´
eaires. On trouve deux types
de facteurs :
les facteurs r´
eels : (x − a), a r´eel;


les
facteurs
complexes
:
si
x−(α+iβ)
est un facteur de P (x), alors


x − (α − iβ) est aussi un facteur de P (x).
(3) Polynˆ
omes r´eels ; facteurs r´eels
La d´ecomposition en r facteurs lin´eaires et s facteurs de degr´
e 2
est possible.



Les facteurs de degr´
e 2 sont du type x−(α +iβ) · x −(α −iβ) =
x2 − 2αx + α2 + β 2 (r + 2s = n; voir ci-dessus).
2.4.2
Partie enti`
ere d’une fonction rationnelle
Soit R(x) = P (x)/Q(x) avec : degr´
e P degr´e Q.
Par une «division avec reste», on peut d´ecomposer la fonction rationnelle en une somme d’un polynˆ
ome (partie enti`
ere) et d’une fraction proprement dite (partie fractionnaire) :
P (x)
P (x)
= S(x) +
Q(x)
Q(x)

(degr´
e P < degr´e Q)

S(x) est la partie enti`
ere (polynˆ
ome), P (x)/Q(x) la partie fractionnaire.
2.4.3

ecomposition d’une fraction proprement dite
Toute fraction proprement dite peut eˆtre d´
ecompos´ee en une somme
de certaines fractions standardis´
ees (´
el´ements simples) qui sont,
α
,
soit du type
(x − a)k
βx + γ
soit du type
k .
2
x + bx + c

Fonctions rationnelles

21

Comment d´
ecomposer ?

Soit P (x)/Q(x) une fraction proprement dite. Q(x) = xn + . . .
Premier pas

D´ecomposition du d´
enominateur en facteurs irr´
eductibles :
P (x)
Q(x)
=

P (x)
(x − a1 )k1 (x − a2 )k2 · · · (x2 + b1 x + c1 ) 1 (x2 + b2 x + c2 ) 2 · · ·

Exemple.

1
1
=
.
(x + 1)(x − 1)
x2 − 1

Deuxi`
eme pas

D´ecomposition en e´l´ements simples a` coefficients ind´
etermin´es.
On peut d´
ecomposer la fraction en une somme d’´
el´ements simples.
Le nombre et le type d’´
el´ements simples d´
ependent des facteurs du
d´enominateur. Ils sont a` choisir selon les listes suivantes :

Facteurs de Q(x) El´ements simples correspondants
(x − a)
(x − a)2

α
(α `a d´eterminer)
x−a
α2
α1
+
(α1 , α2 `a d´eterminer)
(x − a)2 (x − a)

..
.
(x − a)k

α1
α2
+
+···
(x − a)k
(x − a)k−1
αk
(αi `a d´eterminer)
+
x−a

22

Nombres complexes

Facteurs de Q(x) El´ements simples correspondants
(x2 + bx + c)
(x2 + bx + c)2

βx + γ
(β, γ `a d´eterminer)
+ bx + c
β2 x + γ2
β1 x + γ1
+
(x2 + bx + c)2 x2 + bx + c
(β1 , β2 , γ1 , γ2 `a d´eterminer)

x2

..
.
(x2 + bx + c)

Exemple.

β1 x + γ1
β2 x + γ2
+
+···
(x2 + bx + c)
(x2 + bx + c) −1
β x + γ
(βi , γi `a d´eterminer)
+ 2
(x + bx + c)

a
b
1
=
+
.
(x + 1)(x − 1)
x+1 x−1

Troisi`
eme pas

D´eterminer les coefficients des ´
el´ements simples.
Il existe plusieurs m´
ethodes pour d´
eterminer les coefficients des
´el´ements simples. Elles consistent essentiellement a` poser sur un d´
enominateur commun les e´l´ements simples. Le d´
enominateur commun est
bien sˆ
ur encore Q(x). Nous avons donc :
...
P (x)
=
Q(x)
Q(x)
Puisque les deux fonctions sont identiques, les deux num´
erateurs doivent ˆetre identiques.

Fonctions rationnelles

23


ethode des coefficients ind´
etermin´
es (exemple)

a
b
a(x − 1) + b(x + 1)
1
=
+
=
(x + 1)(x − 1)
x+1 x−1
(x + 1)(x − 1)
(a + b)x + b − a
=
(x + 1)(x − 1)
Le num´erateur de gauche est identique a` celui de droite :
1 ≡ (a + b)x + b − a
Deux polynˆ
omes sont identiques si leurs coefficients respectifs sont les
mˆemes :
degr´e 1 : a + b = 0
degr´
e 0: − a+b = 1
d’o`
u a = −1/2, b = 1/2. Nous trouvons donc
1
−1/2
1/2
=
+
(x + 1)(x − 1)
x−1 x−1
Autre m´
ethode : choix appropri´
e des valeurs de x (exemple)

a
b
a(x − 1) + b(x + 1)
1
=
+
=
(x + 1)(x − 1)
x+1 x−1
(x + 1)(x − 1)
Le num´erateur de gauche est identique a` celui de droite :
1 ≡ a(x − 1) + b(x + 1)
Les deux fonctions prennent la mˆ
eme valeur pour chaque x ; on peut
en particulier choisir pour x les racines du d´
enominateur :
x = −1, d’o`u 1 = −2a

x = 1, d’o`
u 1 = 2b

ainsi (comme ci-dessus) :
a=−

1
2

b=

1
2

24

Nombres complexes

2.5 Oscillations harmoniques

2.5.1


ethode complexe (id´
ee g´
en´
erale)

Certains probl`
emes impliquant des fonctions p´
eriodiques peuvent
ˆetre r´
esolus selon la m´ethode suivante :


Remplacement des fonctions donn´
ees x1 (t), x2 (t), . . . par des fonceelles
tions (auxiliaires) complexes z1 (t), z2 (t), . . . dont les parties r´
respectivement sont e´gales aux fonctions donn´
ees : Re zi = xi .



R´esolution du probl`eme pos´
e pour les fonctions (auxiliaires) complexes.



La partie r´eelle de la solution (du probl`eme «auxiliaire » complexe)
est la solution du probl`eme original.

Cette m´
ethode sera appliqu´
ee ci-dessous (§ 2.5.3) `a l’addition (superposition) d’oscillations harmoniques. Elle repose essentiellement sur
l’´equation Re(z1 + z2 ) = Re z1 + Re z2 . (Elle est aussi utilis´ee pour la
r´esolution de certaines e´quations diff´erentielles ayant des solutions p´
eriodiques.)

2.5.2

Repr´
esentation complexe des oscillations
harmoniques

Pour une oscillation harmonique (vibration sinuso¨ıdale) donn´ee
x(t) = A · cos(ωt + α), on cherche une fonction complexe z(t) dont
la partie r´eelle est x(t) :

Oscillations harmoniques

25
z(0) = A eiα = A∗
z(t) = A ei(ωt+α)

x
A cos α
A
1

i

x(t)

α
−α
ω

T t

1

T est la p´eriode, 1/T la fr´equence (= ω/2π), A l’amplitude, α la
phase et ω la pulsation (= 2π/T ); A∗ = A · eiα = z(0) est l’amplitude
complexe ou phaseur. On a
z(t) = A · eiωt · eiα = A∗ · eiωt
L’amplitude complexe rassemble l’information sur l’amplitude et
sur la phase initiale de x(t). Le module de l’amplitude complexe est
l’amplitude de la fonction (r´eelle) originale. L’argument de l’amplitude
complexe est la phase initiale de la fonction primitivement donn´
ee.

2.5.3

Addition (superposition) d’oscillations harmoniques
de mˆ
eme fr´
equence

Probl`
eme

Etant donn´
e:

trouver x = x1 + x2 .



x1 (t) = A1 cos(ωt + α1 )
x2 (t) = A2 cos(ωt + α2 )

26

Nombres complexes

Solution

(1) Introduire :



z1 (t) = A1 ei(ωt+α1 )
z2 (t) = A2 ei(ωt+α2 ) .

(2) Recherche de z1 + z2 .

z2 (0) = A∗2
z(0) = A∗
i
z1 (0) = A∗1
1

z1 et z2 effectuent un mouvement circulaire avec la mˆ
eme « vitesse
angulaire».
z = z1 + z2 repr´
esente donc aussi un mouvement circulaire avec
cette mˆ
eme vitesse angulaire.
z(t) = z1 (t) + z2 (t) = (A1 eiα1 + A2 eiα2 ) eiωt = A∗ eiωt

A∗1

A∗2

o`
u l’amplitude complexe A∗ = A∗1 + A∗2 .
(3) Revenir a` la partie r´eelle. Le module A et l’argument α de l’amplitude complexe A∗ sont respectivement l’amplitude et la phase de la

Oscillations harmoniques

27

solution cherch´
ee x(t). A et α peuvent eˆtre trouv´
es graphiquement
(voir esquisse ci-dessus) ou alg´ebriquement :
A = |A | = |A 1 + A 2 |


= A1 (cos α1 + i sin α1 ) + A2 (cos α2 + i sin α2 )


= (A1 cos α1 + A2 cos α2 ) + i(A1 sin α1 + A2 sin α2 )
1/2

2
2
= (A1 cos α1 + A2 cos α2 ) + (A1 sin α1 + A2 sin α2 )

= A21 (cos2 α1 + sin2 α1 ) + A22 (cos2 α2 + sin2 α2 )
1/2
+ 2A1 A2 (cos α1 cos α2 + sin α1 sin α2 )




=

cos(α1 −α2 )

A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α1 − α2 )

Comme
A1 cos α1 + A2 cos α2
Re A
=
cos α =
|A |
A
on a
x1 (t) + x2 (t) = A · cos(ωt + α)
avec


A = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(α1 − α2 )
cos α =

A1 cos α1 + A2 cos α2
A

Chapitre 3

Calcul diff´
erentiel de
fonctions d’une variable
3.1 D´eriv´
ees

efinition. Si la limite suivante existe,
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
∆x→0

f (x) = lim

elle est appell´
ee d´eriv´ee de f au point x. f est alors dite d´erivable
au point x.

y

y = f (x)

f (x + ∆x)
f (x)
x

Notation. f (x),

df
, Df, f˙, etc.
dx

x + ∆x

x

30

Calcul diff´
erentiel de fonctions d’une variable

3.1.1

Fonctions d´
erivables et fonctions continues

Proposition. Une fonction d´
erivable au point x est continue
en ce point.
Remarque.

Il existe des fonctions continues qui ne sont d´
erivables

nulle part.

3.1.2


en´
eralisations : d´
eriv´
ee `
a gauche, d´
eriv´
ee `
a droite

D´eriv´ee a
` gauche en x :
D´eriv´ee a
` droite en x :

f(x + ∆x) − f(x)
.
∆x
∆x→0−
lim

f(x + ∆x) − f(x)
.
∆x
∆x→0+
lim

y

x

3.1.3

x

Th´
eor`
eme des accroissements finis
(th´eor`eme de la moyenne)

Formulation intuitive

Il y a un point ξ entre a et b o`
u la tangente est parall`
ele a` la s´ecante.

D´eriv´ees

31

y
y = f (x)

a

ξ

b

x

Proposition. Soit f continue sur [ a , b ] et diff´erentiable sur
] a , b [, alors il existe ξ (a < ξ < b) tel que
f (ξ) =

f(b) − f(a)
b−a

Le th´eor`eme des accroissements finis sert souvent a` estimer l’accroissement d’une fonction dans un intervalle. A cette fin, on peut le
formuler de la mani`ere suivante :
Proposition (variante). Soit f une fonction continue sur
[ a , b ] et diff´erentiable sur ] a , b [ . Il existe alors une valeur ξ
(a < ξ < b) telle que l’accroissement ∆f = f(b) − f(a) peut eˆtre
exprim´e comme suit
∆f = f (ξ) · (b − a)

3.1.4

Th´
eor`
eme de Rolle
(cas particulier du th´
eor`eme des accroissements finis)

Formulation intuitive

Entre deux z´
eros d’une fonction d´
erivable, il y a (au moins) un z´ero
de la d´eriv´ee (donc un point o`
u la tangente est horizontale).

32

Calcul diff´
erentiel de fonctions d’une variable

y

y = f (x)
a

b

ξ

x

Proposition. Soit :
f continue sur [ a , b ]
f existe sur ] a , b [
f(a) = f(b) = 0,
alors il existe ξ (a < ξ < b) tel que f (ξ) = 0.

3.1.5


en´
eralisation du th´
eor`
eme des accroissements finis

Proposition. Soit : f(x), g(x) continues sur [ a , b ], d´erivables
sur (a, b), g (x) = 0 dans (a, b), alors il existe ξ (a < ξ < b) tel
que
f(b) − f(a)
f (ξ)
=
g(b) − g(a)
g (ξ)

3.1.6

Fonctions dont la d´
eriv´
ee s’annule

Proposition. Soit f (x) ≡ 0 sur l’intervalle I = (a, b); alors
f(x) ≡ cste

(sur I)


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