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Correction du contrôle de mathématiques n°8 – Le produit scalaire – 1ère S3
Exercice 1 :
1. Soit   x; y  le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Donc Ω est le point de concours des
médiatrices des côtés du triangle ABC.
Soit I le milieu de  AB  donc I  3; 1 et  d  la médiatrice de  AB  .

 x  3
 2
IM 
AB  

 y  1
8
 2  x  3  8  y  1  0  x  3  4 y  4  0  x  4 y  1  0

M  x; y    d   IM . AB  0

Donc une équation de la médiatrice de  AB  est x  4 y  1  0
1

Soit J le milieu de  AC  donc J  ; 2  et  d ' la médiatrice de  AC  .
2

1

x 
 3 

M  x; y    d '  JM . AC  0
JM
AC  
2


6
 y  2
1
1
9

3  x    6  y  2   0  x   2 y  4  0  x  2 y   0
2
2
2


Donc une équation de la médiatrice de  AC  est x  2 y 

9
0
2

11

11
y


6 y   0

12


2
2
 3x  8  0
 x8

3

  1

x  4 y 1  0

Les coordonnées de Ω vérifient le système : 
9
 x  2y  2  0


 8 11 
Donc   ;  
 3 12 
2. M  E  x2  y 2  6 x  8 y  5  0   x  3   y  4   9  16  5  0   x  3   y  4   20
2

2

Donc E est un cercle de centre   3;4  et de rayon

2

2

20  2 5 .

Exercice 2 :
1. a) 𝐴𝐵⃗ . 𝐽𝐾⃗ + 𝐴𝐶⃗ . 𝐽𝐾⃗ = (𝐴𝐵⃗ + 𝐴𝐶⃗ ) . 𝐽𝐾⃗
= (𝐴𝐼⃗ + 𝐼𝐵⃗ + 𝐴𝐼⃗ + 𝐼𝐶⃗ ) . 𝐽𝐾⃗
= (2𝐴𝐼⃗ + 𝐼𝐵⃗ + 𝐼𝐶⃗ ) . 𝐽𝐾⃗
Comme I est le milieu de [BC] alors : 𝐼𝐵⃗ = 𝐶𝐼⃗
D’où : 𝐴𝐵⃗ . 𝐽𝐾⃗ + 𝐴𝐶⃗ . 𝐽𝐾⃗ = (2𝐴𝐼⃗ + 𝐶𝐼⃗ + 𝐼𝐶⃗ ) . 𝐽𝐾⃗ = 2𝐴𝐼⃗ . 𝐽𝐾⃗
Ainsi : 𝑨𝑩⃗ . 𝑱𝑲⃗ + 𝑨𝑪⃗ . 𝑱𝑲⃗ = 2𝑨𝑰⃗ . 𝑱𝑲⃗





b.) AB.JK  AB. JH  HA  AK  AB.JH  AB.HA  AB. AK
Or le triangle ABC est rectangle en A, J est le projeté orthogonal de H sur (AB) donc AB.JH  0 et K est le
projeté orthogonal de H sur (AC) donc AB. AK  0
Donc : AB.JK  AB. HA





De même : AC.JK  AC. JA  AH  HK  AC.JA  AC. AH  AC.HK
Or le triangle ABC est rectangle en A, J est le projeté orthogonal de H sur (AB) donc AC.JA  0 et K est le
projeté orthogonal de H sur (AC) donc AC.HK  0
Donc : AC .JK  AC . AH
1
1
2. AI .JK  AB.JK  AC.JK  AB.HA  AC. AH
2
2



 



Or AB.HA  AC.AH  BA.AH  AC.AH  BC.AH
Or H est le projeté orthogonal de A sur (BC) donc BC. AH  0
Donc AI .JK  0
Donc les droites (AI) et (JK) sont perpendiculaires.
Exercice 3 :
1.ABCD est un rectangle et I   AB  et J   AD  donc les triangles ADI et DJC sont rectangles en A et D.
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans chacun des triangles :

DI  41 cm

DI 2  AI 2  AD2  42  52  41
2

281
5
JC 2  DJ 2  DC 2     82 
4
2





JC 



281
cm
2

2. DI .JC  DA  AI . JD  DC  DA.JD  DA.DC  AI .JD  AI .DC

39
 5
DI .JC  5      0  0  4  8 
2
 2

car  DA   DC  et  AI    JD 

Donc DI .JC  19,5
3. DI .JC  DI  JC  cos IOC  41 
Donc cos IOC 

39
41  281

281
 cos IOC
2

IOC

68, 7