DS8 Le produit scalaire .pdf

NOM :

Jeudi 3 mai 2012

Contrôle de mathématiques n°8 – Le produit scalaire – 1ère S3

Exercice 1 : Questions de cours ( / 4 points)

1. Dans le plan muni d’un  repère  orthonormé    O; i , j  , on considère les points :

A  2; 5

B  4;3

C  1;1

Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
2. Déterminer  l’ensemble  E des points M  x; y  tels que : x2  y 2  6 x  8 y  5  0

Exercice 2 : ( / 5,5 points)
ABC est un triangle rectangle en A, H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et I est le milieu de [BC]. On
projette orthogonalement H en J sur la droite (AB) et en K sur la droite (AC).
1. a) Démontrer que : 𝐴𝐵⃗ . 𝐽𝐾⃗ + 𝐴𝐶⃗ . 𝐽𝐾⃗ = 2 𝐴𝐼⃗ . 𝐽𝐾⃗
b) Démontrer que : 𝐴𝐵⃗ . 𝐽𝐾⃗ = 𝐴𝐵⃗ . 𝐻𝐴⃗ et que : 𝐴𝐶⃗ . 𝐽𝐾⃗ = 𝐴𝐶⃗ . 𝐴𝐻⃗
2. En déduire des questions précédentes que les droites (AI) et (JK) sont perpendiculaires.

Exercice 3 : ( / 3,5 points)
Soit ABCD un rectangle tel que : AB  8 cm et BC  5 cm.
On appelle I et J les milieux respectifs des côtés  AB  et  AD 
Les droites  DI  et  CJ  se coupent en O.
1. Calculer les longueurs DI et JC.
2. Calculer le produit scalaire DI .JC
3. En  déduire  une  valeur  approchée  à  0,1  degré  près  de  la  mesure  de  l’angle   IOC