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ou encore : pour tout ² > 0 , il existe α > 0 tel que l’image par f de
Bo (a, α) ∩ D soit incluse dans ]l − ², l + ²[. On note :
l =
ou plus simplement :

lim

x→ a

l =

x∈D

f (x)

lim f (x)

x→ a

Avec cette d´efinition, si a appartient `a D , il est facile de voir que la
seule limite possible est f (a). On dit dans ce cas que f est continue au point
a.

efinition 3
f continue en a ⇐⇒ f (a) =

lim f (x)

x→ a

Nous allons maintenant ´etudier quelques exemples en d´etails.

1.2

Etude d’un premier exemple

On consid`ere la fonction de deux variables d´efinie par :
f (x, y) =

ln(1 + xy 2 )
x2 + y 2

Nous vous proposons d’´etudier le comportement de cette fonction au voisinage de l’origine sous forme d’exercice :
• D´eterminer le domaine de d´efinition de f .
• Est ce que f est continue en tout point int´erieur de son domaine de
d´efinition ?
• D´eterminer la limite :
ln(1 + xy 2 )
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
lim

Peut-on prolonger f par continuit´e en (0, 0) ?
Voici le trac´e de la surface d’´equation :
z = f (x, y) =
au voisinage de l’origine .

2

ln(1 + xy 2 )
x2 + y 2