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efinition 8 Si pour tout i ∈ [1, n] les d´eriv´ees partielles de f
∂f
∂xi
sont d´efinies et continues en tout point de Ω , on dira que f est de classe
C 1 sur l’ouvert Ω .

2.3

Notations de Monge

Les notations :

∂f
= fx0 i
∂xi
sont attribu´ees `a Gaspard Monge (1746-1818) . D’abord professeur `a l’´ecole
du g´enie militaire de M´ezi`eres , il y invente la g´eom´etrie descriptive pour le
trac´e des ouvrages de d´efense ; il travaille sur de nombreux sujets , notamment les ´equations aux d´eriv´ees partielles , de 1772 `a 1780 . Elu `a l’acad´emie
des sciences , il est nomm´e en 1783 examinateur des ´el`eves de la Marine,
o`
u il succ`ede `a Bezout . Il participe `a la cr´eation de l’´ecole polytechnique ,
accompagne Bonaparte en Egypte , puis reprend son poste de professeur `a
l’X , d’o`
u il sera licenci´e apr`es la chute de l’Empire. Il est aussi courant de
noter, en m´ecanique par exemple :
∂ 2f
= f xi xi
∂x2i

∂f
= fxi
∂xi

2.4

Calcul pratique

Dans la pratique on d´erive par rapport `a une variable, en consid´erant les
autres comme constantes ; on ´ecrira par exemple :
∂ 2
(x − 2xy) = 2(x − y)
∂x
Les r`egles de calcul sont les mˆemes que pour les d´eriv´ees des fonctions d’une
variable ; par exemple, pour un produit :
∂f
∂g
∂f g
=
g+f
∂xi
∂xi
∂xi
et la d´erivation partielle est lin´eaire :
∂f
∂g
∂(αf + g)

+
∂xi
∂xi ∂xi
Exemples
p
a) Si r = x2 + y 2 , alors
rx0 =
y
b) Si θ = arctan , alors
x

x
r

ry0 =

θx0 = −

x2

5

y
+ y2

y
r