transfert de chaleur .pdf



Nom original: transfert de chaleur.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par / Solid Converter PDF, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 05/05/2012 à 20:57, depuis l'adresse IP 41.227.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 770 fois.
Taille du document: 16.8 Mo (114 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


1

Conduction

Convection

Rayonnement

Le flux de chaleur traverse le
corps A, l’interface AB et le
corps B.
Le flux est proportionnel à la
conductivité thermique du
matériau.

Le flux de chaleur est
transporté par la matière en
déplacement.
Ses mouvements sont dits de
convection naturelle sous
l’influence de variations de
densité et de la pesanteur,
ou de convection forcée si le
fluide est mis en circulation
par une pompe ou une
différence de pression.

Le flux de chaleur est
transporté sans transport de
matière, sous forme d’ondes
électromagnétiques,
(ex: rayonnement solaire)

2

1.1 Loi de la conduction – généralités:
dT
Le taux d’énergie par conduction qX est proportionnel au produit du gradient de température
dx
et de la surface à travers laquelle cette énergie est transférée:
q x A

dT
dx

La constante de proportionnalité k W/m.K est appelé « conductivité thermique »,

propriété physique du milieu. Et l’équation est dite « loi de Fourier » :

q x   kA

dT
dx

Le flux à travers un mur plan : q   k A

T1

k

T2

 T2

 T1 
L



 T1  T 2 
L
kA

q’’
Jean-Baptiste Joseph Fourier

L
3

CONDUCTIVITE THERMIQUE DE CERTAINS MATERIAUX

Matériau

k (W/m.K)

Matériau

k (W/m.K)

Argent

419

Plâtre

0,48

Cuivre

386

Amiante

0,16

Aluminium

204

Bois (feuillu-résineux)

Acier doux

45

Liège

0,044-0,049

Acier inox

15

Laine de roche

0,038-0,041

Glace

1,88

Laine de verre

0,035-0,051

Béton

1,4

Polystyrène expansé

0,036-0,047

Brique terre cuite

1,1

Polystyrène (mousse)

0,030-0,045

Verre

1,05

Polystyrène extrudé

0,027

Eau

0,60

Air

0,026

0,12-0,23

4

1.2 Conduction dans les différents systèmes de coordonnées:

Le bilan thermique d’un système ( dx dy dz) s’écrit comme:
Taux d’énergie
par conduction
rentrant
au système

Taux d’énergie
généré dans
le système

Taux d’énergie
par conduction
sortant
du système

q x
dx
x
q y
q y  dy  q y 
dy
y
q
q z  dz  q z  z dz
z

Taux d’énergie
stocké à
l’intérieur
du système

q x  dx  q x 

qx  qy  qz

E G  q "'G dxdydz

T
E st  C p
dxdydz
t
5

q y
q x
q
T
q dxdydz 
dx 
dy  z dz  C p
dxdydz
x
y
z
t
"'
G

T
x
T
q y   kdxdz
y
T
q z   kdxdy
z
q x   kdydz

Sachant que:

6

A. coordonnées cartésiennes (x,y,z):

  T    T    T  "'
T


k

k

k

q


C



 G
p
x  x  y  y  z  z 
t

Si la conductivité k est considérée CONSTANTE:

 2 T  2 T  2 T q '''G 1 T




x 2 y 2 z 2
k  t


k
Cp

Diffusivité thermique [m2/s]

7

B. Coordonnées cylindriques (r,,z):

q z+dz

qr

rd θ

q

θ +d θ

dz

r


z
T(r, θ, z)
y

x

q r+dr
dr

qz

θ

1   T  1   T    T  "'
T
kr

k

k

q


C





 G
p
r r  r  r 2     z  z 
t

8

C. Coordonnées sphériques (r,,):

q θ d+ θ
qΦ d+ Φ

rsin θ d Φ

qr
z

T

θ

r
x

Φ

rd θ

(r, θ , Φ )
y

q r+dr


dr



1   2 T 
1
 
T 
1
  T  "'
T


kr

k
sin


k

q


C




G
p
r 2 r 
r  r 2 sin   
  r 2 sin 2     
t

9

FORME GENERALE
q "'G 1 T
 T

k  t
2

(k : constante)

Conditions aux limites
1. C.L de Dirichlet : Température constante à la surface:
T0, t   Ts

2. C.L de Neumann : Flux constant à la surface:
• flux thermique fini:

k

T
x

 q "s
x 0

• surface dite adiabatique ou isolée:

T
0
x x 0
3. Condition de convection à la surface (Cauchy) :

k

T
x

 hT  T 0, t 
x 0

10

1.3 Conduction en régime permanent sans génération:
A. Mur plan:

d 2T
 0 (k constante)
2
dx
Ts,1

k

T( x )  c1x  c 2

Ts,2

avec les CL :

T(0)=Ts,1
T(L)= Ts,2

q’’

x
T ( x )  Ts , 2  Ts ,1   Ts ,1
L
L
et

q x   kA

dT kA
Ts,1  Ts,2   Ts,1 L Ts,2 

dx
L
kA

Résistance
thermique

11

B. Flux à travers des murs en série:
T22
T11
T3

T1
k1

k2

k3

q

L1

q

L2

L3

T1  T3
T1  T11 T11  T22


L1
L2
L
L1
L
 2  3
k1A
k 2A
k1A k 2 A k 3 A

12

C. Analogie électrique:
T22
T11

T1

k

T2
q’’

L

q' ' 

T1  T2
L
k

T3

T1
k2

k1

k3

q’’

L1

L2

q' ' 

L3

T1  T3
L1 L 2 L 3


k1 k 2 k 3
13

Introduisons la convection, pour avoir :

x

x=L

qx

T∞,1
Ts,1
Ts,2

« h » : coefficient de convection
[W/m2.K]

T∞,2
Fluide
T∞,1,h1

q

T∞,1

Fluide
T∞,2,h2
Ts,2

Ts,1

1
h 1A

q '' 

L
kA

T1  T 2
1 L 1
 
h1 k h 2

T∞,2

1
h 2A
(W/m2)
14

D. Cas d’un cylindre creux:

1 d  dT 
 kr
0
r dr  dr 
et

et

qr

T(r1)=Ts,1
T(r2)= Ts,2

dT
dT
  k (2rL)
dr
dr

q r   kA

T(r ) 

avec les CL :

Ts ,1  Ts , 2

r
Ln   Ts , 2
r 
 r2 
Ln 1 
 r2 


T


s ,1

 Ts , 2 

Résistance thermique
de conduction

r 
Ln 2 
 r1 
2kL

15

en tenant compte de la convection:

16

Un tube en cuivre de rayon ri est utilisé pour transporter un réfrigérant à basse
température Ti qui est inférieure à la température ambiante de l'air T∞ autour du tube.
Déterminer l'épaisseur optimale de l'isolant qu'il faudrait appliquer autour du tube afin de
minimiser les pertes thermiques. Calculer la résistance thermique globale par unité de
longueur d'un tube dont le diamètre 10 mm ayant les épaisseurs d'isolation suivantes:
0,2; 5 ; 10 ; 20 et 40 mm successivement. L'isolation est constituée par de la fibre de verre
kI = 0,055 W/m.K et le coefficient de convection de l'air ambiant h= 5 W/m2.K.

La résistance thermique par unité de longueur

r
1
ri
R 't 

2k 2rh
Ln

et le flux thermique est : q r 
'

T  Ti
R 't
17

dR 't
1
1
k
Optimiser l’épaisseur de l’isolation 
 0


r

dr
2kr 2r 2 h
h

Résistance R’t Maximale ou minimale ? 

d 2 R 't
1
1



dr 2
2kr 2 r 3 h

d 2 R 't
1
1
k
1 1 



>0
pour r  

2 
3
2
dr 2
k
2k
2

k
/
h
h


k / h

Positif, donc le rayon critique d’isolation est : rc 

k
 0 , 011 m
h

Résistance totale est mini

18

Epaisseur de
l’isolation
(rI-ri) mm
0
2
5
6
10
20
40

Rayon de
l’isolation
rI (m)
0,005
0,007
0,010
rc = 0,011
0,015
0,025
0,045

La quantité sans dimension :

hr
k

Résistances
thermiques
(m.K/W)
R’cond

R’conv

R’totale

0
0,97
2,00
2,28
3,18
4,66
6,35

6,37
4,55
3,18
2,89
2,12
1,27
0,71

6,37
5,52
5,18
5,17
5,30
5,93
7,06

Est appelée « le nombre de Biot »

Bi 
On remarque que :

hr
k

Si Bi  1  l’isolation augmente le transfert de chaleur
Si Bi  1  l’isolation diminue ce transfert
19

Un fil électrique de diamètre 1 mm est couvert de 2 mm d'épaisseur d'une isolation en
plastique (k=0,5 W/m.K). L'air ambiant a une température de 25°C et son h= 10 W/m2.K.
La température du fil est de 100°C. Déterminer le flux thermique dans les cas suivants :
a) Le fil est sans isolation.
b) Le fil est couvert d'isolant plastique.

hre 10(2  0,5)10 3
Bi 

 0, 05 < 1
k
0,5
Sans isolation :

q' 

Avec isolation :

q' 

La présence du plastique augmentera le transfert

hA
Ts  T   2,36 W/m
L
Ts  T
 10,90 W/m
ro
Ln
1
ri

2k I 2re h
20

E. Cas d’une sphère creuse:

1 d 2 (rT)
0
2
r dr

et

q r   kA

T(r2)= Ts,2

dT
dT
  k (4r 2 )
dr
dr

T(r )  Ts ,1
Ts , 2  Ts ,1
Nous obtenons la solution suivante:

avec les CL :

T(r1)=Ts,1



T T
qr  1 2
r2  r1
4kr1r2

r2  r1 
1  
r2  r1  r 
Résistance thermique
de conduction

21

Analogie électrique:

22

Résistances thermiques de conduction
En cartésiens

En cylindriques

En sphériques

re
ri

L
kA
L

 re 
Ln 
 ri 
2kL

L

re

ri

re  ri
4kri re

Résistance thermique de convection

1
hA
23

1.4 Conduction en régime permanent avec génération d’énergie:
A. Cas d’un mur plan:

d 2 T q "'G

0
2
dx
k

q "'G L2  x 2  Ts , 2  Ts ,1 x Ts ,1  Ts , 2
1   
T(x ) 

2k  L2 
2
L
2

T(L)  Ts ,1

x

T(L)  Ts , 2
-L

Ts,1

+L
q’’’G
Ts,2

24

B. Cas d’un cylindre plein :

1   T  1   T 
  T 
T
"'
kr

k

k

q


C
G
p






r r  r  r 2     z  z 
t

dT
dr

avec les conditions aux limites :

1 d  dT  q "'G
0
r

r dr  dr  k

0
r 0

T ( ro )  Ts

q "'G ro2  r 2 
1  2   Ts
T(r ) 
4k  ro 





et au niveau de la surface :  q r L  h 2ro L Ts  T 
"'
G

2
o

ou bien :

q"'G ro
Ts  T 
2h

25

1.5 Transfert thermique des profilés minces :

Différentes configurations

A. Analyse générale :
qx = qx+dx + dqconv

q x  kA t

q x  dx  q x 

dq x
dT
d 
dT 
dx   kA t
k
A
 t
 dx
dx
dx
dx 
dx 

et

dT
dx

dq conv  hdA l  T  T 
26

d  dT  h dA l
T  T    0
 At

dx  dx  k dx

d 2 T  1 dA t  dT  1 h dA l 



  T  T   0
dx 2  A t dx  dx  A t k dx 

B. Profilé à section transversale constante :
Al = Px

d2T hP
 TT0
dx2 kAt
Posons:

d2 2
m  0
dx2

solution

mx
(x)  Ce
C2emx
1

(x) T(x)T

 2 hP
m  kA
t


(0)=T(0)-T b

avec 
d
h

(L)

k

dx xL

27



b

h
sinh m(L  x)
mk
h
cosh mL+
sinh mL
mk

cosh m(L  x) 

q prof  q b  kA t

dT
dx

  kA t
x 0

et

d
dx x 0

h
cosh mL
mk
 hPkA t b
h
cosh mL+
sinh mL
mk
sinh mL 

q prof

2ème cas: si

d
0 (isolation au bout du profilé)
dx xL

3ème cas: si (L) L

L
sinh mx  sinh m(L  x)
 b

b
sinh mL

cosh mL  L
b
q prof  hPkA t b
sinh mL

4ème cas: si L(L)  0

 cosh m(L  x)

b
cosh mL
q prof  hPkA t b tanh mL


 e  mx
b
q prof  hPkA t b

28

Un profilé long et de section circulaire est exposé à l'air
ambiant. Trouver :
a) Les pertes thermiques q si le profilé est fabriqué de
- cuivre, - d'acier inoxydable.
b) De combien doit le profilé être long pour le considérer
comme infini.

a) kcu= 386 W/m.K et kacier= 15 W/m.K
Cuivre :
Acier :

(abaques)


q prof  hPkA t b  10 0, 025 x386 (0, 025 2) (100  25)  28,9 W
4
q=5,7 W

b)
Comparons :

q prof  hPkA t b tanh mL (Isolation au bout)
q prof  hPkA t b

(Infiniment long)

1/ 2

2, 65
 kA t 
 L  L 
 2, 65 

m
 hP 

 tanh mL  0,99

ou mL  2,65

Pour le cuivre : L = 1,3 m
Pour l’acier :
L = 0,26 m
29

C. Efficacité d’un profilé mince :
C’est le rapport du transfert thermique du profilé et du transfert maxi quand celui-ci est
considéré isotherme à la température de la base.

prof 

q prof
q max



q prof
hA prof b
Surface totale du profilé

 Profilé rectangulaire, triangulaire et parabolique: q max  hPL c b





 Profilé annulaire: q max  2 h r2c  r1  b
2

2

Longueur corrigée

Rayon corrigé

30

1.6 Conduction en régime transitoire:
A. Cas des solides à grande inertie thermique:

 VC
Fluide
h, T∞

solide
Propriétés
ρ,k,C,V,As

dT
 hA s T( t )  T 
dt

énergie stockée
dans le solide

C.I : T(t=0)=Ti

T=T(t)
SOLUTION:
posons: (t)=T(t) - T∞

i=Ti - T∞

 hA s 
  hL   t  
( t )
 exp 
t   exp     2  
i
  k  L  
 CV 
Bi : nombre de Biot
Fo: nombre de Fourier

Bi

 e  BiFo

Fo
31

Et la chaleur totale transférée est égale à :
t

t

0

0

Q( t )   q ( t )dt  hA s Ti  T  e  BiFo dt

dont la solution est :





Q( t )
1
 1  e  BiFo
hA s Ti  T 
BiFo

TT(t)

Domaine de validité de la méthode dans le cas d’un mur plan:

kA
Ts,1  Ts,2   hATs,2  T 
L
 L 
Ts,1  Ts,2    kA   Bi
Ts,2  T   1 
 hA 

hL c
 0,1
k
V
Lc 
As

Ts,1

Bi 1

qcond

qconv
Ts,2

Bi 1

Ts,2

Bi 1

Ts,2

Bi 

Long cylindre: ro/2
Sphère: ro/3

x

T=T(x,t)
T=T(x,t)

T∞ , h

L
32

Une personne a été trouvée morte à 17H dans une chambre à une
température de 20°C. La température de son corps était à 25°C, et le
coefficient de convection a été estimé égal à h=8 W/m2. Si cette personne
est assimilée à un cylindre de 1,70 m de long et 30 cm de diamètre,
déterminer l’heure de sa mort.

20°C, 8 W/m2.K

Ts= 25°C
Puisque le corps humain est composé principalement de 72% d’eau, par
conséquent nous pouvons prendre les propriétés suivantes de l’eau à la
température de :
k  0, 620 W / m.K
37  25

 31C  304.K    995 kg / m 3
2
C  4,18 kJ / kg.K
 p
V
r 2L
(0,15) 2 (1, 7)
La longueur caractéristique :
Lc 


 0, 069m
A s 2 rL  2 r 2 2 (0,15)(1, 7)  2 (0,15) 2
hA s
h
8W / m 2 .K


 2,8 10 5 s 1
3
C p V C p L c (995kg / m )(4180J / kg.K)(0, 069m)

T  T
25  20
 exp 2,8 105 t 
 t  43706 s  12,1 h
Ti  T
37  20





L’heure de la mort est à 5 h du matin

33

B. Conduction dans un solide semi-infini:

 2 T 1 T

2
x
 t

Equation différentielle à résoudre:

CAS 2

CAS 1

T ( x ,0)  Ti

T ( x ,0)  Ti

T (0, t )  Ts

k

Ts

T
x

 q "o

x

q q
"
s

T
x

x 0

T
x

 hT  T (0, t )
x 0

x

"
o

 t 
2q  
  x2 



T ( x , t )  Ti 
exp
k
 4 t 
k Ts  Ti 

q "o x
 x 
t

erfc

k
 2 t 

T ( x , t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 

k

x 0

q’’s

SOLUTION

T ( x ,0)  Ti

T∞ , h

x

q "s ( t )   k

CAS 3

1/ 2

"
o

T ( x , t )  Ts
 x 
 erfc

Ti  Ts
 2 t 
  hx h 2 t 
- exp  2 
k 
  k

 x
h t  


* erfc

k 

 2 t
34

La fonction « erf » est dite la fonction d’erreur de Gauss définie comme:
x

2
2
erf ( x ) 
e
d

0
et

2
d
erf ( x )  2 e x
dx


Et la fonction « erfc » est dite complémentaire définie comme:

erfc( x )  1  erf ( x )

Détermination de la température dans un solide semi-infini:

Table de « erf »

35

Déterminer la profondeur minimale xm , afin d'éviter la congélation de l'eau dans une
conduite sous terraine. Le sol est à une température constante initialement à 20°C et sa
surface est à - 15°C, pour une période de 60 jours.
Atmosphère
Sol
Ti =20°C

T =-15°C
s

x
m

Les propriétés du sol sont:

  2050 kg / m 3
k  0,52 W / m.K
C  1848J / kg.K
  0,138 10 -6 m 2 / s

T(xm, , 60j)=0°C
H2O

Température constante à la surface (cas 1) :

0  (15)
 x 
 0,429  erf  m 
20  (15)
 2 t 
Et d’après la table de « erf »

T( x m , t )  Ts
 x 
 erf  m 
Ti  Ts
 2 t 

 xm 

  0,40  x m  0,68 m
2

t



36

C. Conduction dans un solide infini –problème 1D:
SITUATION

PLAQUE INFINIE
DE LONGUEUR 2L

CYLINDRE INFINI
DE RAYON ro

SPHERE
DE RAYON ro

Géométrie

C.I : T(x,0)=Ti
T
0

n
centre
C.L :
h Ts  T    k

T
n s

Position
Nombre de Biot
Nombre de Fourier
Temp. à l’axe de symétrie
o To  T

i Ti  T
Température locale
 T  T

i Ti  T
Transfert de chaleur
Q
Q

Q o CV Ti  T 

T(0,t)=To

x
L

hL
k

t
L2

T(0,t)=To

r
ro

hro
k

t
ro2

T(0,t)=To

r
ro

hro
k

t
ro2

Figure 1a

Figure 2a

Figure 3a

Figure 1b

Figure 2b

Figure 3b

Figure 1c

Figure 2c

Figure 3c
37

FIGURE 1a
Température du plan médian en fonction du temps
pour une plaque infinie d’épaisseur 2L

38

FIGURE 1b
Température locale en fonction
de la température du plan médian

39

FIGURE 1c
Transfert de chaleur
de la surface de la plaque

40

FIGURE 2a
Température de l’axe du cylindre
41

FIGURE 2b
Température locale en fonction
de la température de l’axe du cylindre

42

FIGURE 2c
Transfert de chaleur pour
un cylindre infini de rayon ro

43

FIGURE 3a
Température du centre de la sphère de rayon ro

44

FIGURE 3b
Température locale en fonction de la
température du centre de la sphère

45

FIGURE 3c
Transfert de chaleur de la sphère de rayon ro
46

Soit un cylindre infini en fonte initialement à 400°C, ayant 20 cm de diamètre. Nous
voulons le refroidir dans un milieu à 50°C et h=420 W/m2.K, pendant 20 mn.
Les propriétés de cette fonte sont : k=70 W/m.K et α=2 10-5 m 2/s.
Déterminer : a) La température sur la surface.
b) La température à l'axe de symétrie.
c) Le transfert de chaleur par unité de longueur.
Bi 

hro
t
 0, 6 ; Bi -1  1, 66 ; Fo  2  2, 4 et
k
ro

 Bi 

2

(Fo)  0, 86

o
 0,1  T(0, t)  0,1Ti  T   T  85C
i
r

1 
 0,75
b) d’après la fig. 2b : pour
ro
o

 o

 0,75x 0,1  0,075
et la température de la surface égale à :
i  o i
a) d’après la fig. 2a :

ce qui donne : T(ro,t)=0,075(Ti-T∞)+T∞ = 76,3°C
c) d’après la fig. 2c :

Q  CV(Ti  T )
Q
 0,8 avec  o
2
Qo
 V  ro L

et le transfert par unité de longueur égal à :Q'  0,8ro CTi  T   0,8ro
2

2

k
Ti  T   8,6 kWh/m

47

D. Conduction en régime transitoire en (2D et 3D):
La solution des problèmes 2D et 3D est constituée d’un produit de deux ou trois termes suivants:

S(x) 

P(x) 

C(r) 

(x, t) T(x, t)  T

i
Ti  T

solide semi-infini

(x, t) T(x, t)  T

i
Ti  T

plaque infinie

(r, t) T(r, t)  T

i
Ti  T

cylindre infini

48

SITUATION

Plaque semi-infinie

GEOMETRIE

TEMPERTURE AU POINT P

p (x1 , x 2 )
o

Barre rectangulaire infinie

Cylindre semi-infini

 S(x1 )P(x 2 )

p(x1,x 2)
 P(x1) P(x 2)
o

p(x,r )
 S(x) C(r)
o

49

SITUATION

GEOMETRIE

TEMPERTURE AU POINT P

p(x,r )
 P(x) C(r)
o

Cylindre fini

Barre rectangulaire
semi-infinie

Parallélépipède
rectangulaire

p (x1 , x 2 , x 3 )
o

 P(x1 )P(x 2 )S(x 3 )

p(x1,x 2,x3)
 P(x1) P(x 2) P(x3)
o

50


Aperçu du document transfert de chaleur.pdf - page 1/114

 
transfert de chaleur.pdf - page 3/114
transfert de chaleur.pdf - page 4/114
transfert de chaleur.pdf - page 5/114
transfert de chaleur.pdf - page 6/114
 




Télécharger le fichier (PDF)


transfert de chaleur.pdf (PDF, 16.8 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP Texte



Documents similaires


cours transfert de chaleur
physique4
experiencefourier effetpeau
exo2 dl
tipe pdf
ce quon montrera au tableau

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.02s