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chap 9 fonction second degré .pdf



Nom original: chap 9 fonction second degré.pdf
Titre: Définition
Auteur: --

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Chap 09 second degré
I)

Etude de la fonction carrée

1)
Représentation graphique
Définition
La fonction carrée est la fonction f définie sur IR par f : x  x²
Compléter le tableau suivant :
x
–3
–2
–1
f(x)

– 0,5

0

0,5

1

2

3

Tracer alors la représentation graphique de la fonction carrée sur le dessin ci-dessous.

Définition
La représentation graphique de la fonction carrée dans un repère orthogonal est appelé une parabole. Le
point O(0 ;0) origine du repère est le sommet de cette parabole.
Remarque
Que peut-on conjecturer, à l’aide du dessin précédent des propriétés de la fonction carrée.
La fonction carrée est …………………… sur ] – ∞ ; 0] et est ………….…… sur [ 0 ; + ∞ [
Le minimum de la fonction est …………….. .
Donner au vu de la représentation graphique le tableau de variation de la fonction carrée.

2) Variation de la fonction carrée
L’objectif est de démontrer les conjectures précédentes :
Théorème
La fonction carrée est strictement croissante sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [
La fonction carrée est strictement décroissante sur l’intervalle ] – ∞ ; 0].

Démonstration
x et x’ sont deux réels on suppose x < x’ et on cherche à comparer x² et x’²
On suppose que x et x’ sont positifs
On multiple chaque membre de l’inégalité x < x’ par le nombre positif x (le sens de l’inégalité est donc
conservé)
On obtient
x  x < x’  x
soit
x² < x’ x
On multiple chaque membre de l’inégalité x < x’ par le nombre positif x’
On obtient
x  x’ < x’  x’
soit
x’ x < x’ ²
D’où

x² < x’ x
et
x’ x < x’ ²
soit
x² < x’ x < x’ ²
Donc sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [
x < x’ implique x² < x’ ²
Sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ , la fonction carrée ………………. les inégalités. Donc la fonction carrée est
strictement ……………. sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.
On suppose que x et x’ sont négatifs
On multiple chaque membre de l’inégalité x < x’ par le nombre négatif x (le sens de l’inégalité est donc
inversé)
On obtient
x  x > x’  x
soit
x² > x’ x
On multiple chaque membre de l’inégalité x < x’ par le nombre négatif x’
On obtient
x  x’ > x’  x’
soit
x’ x > x’ ²
D’où

x² > x’ x
et
x’ x > x’ ²
soit
x² > x’ x > x’ ²
Donc sur l’intervalle ] – ∞ ; 0]
x < x’ implique x² > x’ ²
Sur l’intervalle ] – ∞ ; 0], la fonction carrée ………………. les inégalités. Donc la fonction carrée est
strictement ……………. sur l’intervalle ] – ∞ ; 0].
Remarque
Si x et x’ n’ont pas le même signe, on ne peut pas comparer leurs carrés,
Prenons par exemple x = 2 et x’= – 5 et x = – 3 et x’= 6
3) Equation et inéquation liées à la fonction carrée
a) Equation x ² = k
Dans le tableau suivant tracer sur le premier graphique la droite d’équation y = 5, sur le second
y= 0 et sur le troisième y = – 1,5. Compléter ensuite les deux dernières lignes du tableau.

Propriété
 Si k > 0, alors l’équation x² = k possède deux solutions qui sont k et – k
 L’équation x² = 0 a une seule solution : 0.
 Si k < 0, alors l’équation x² = k n’a pas de solution.
Dem :
 Si k > 0, alors k = ( k )² alors
x² = k
 x² – k = 0
 x² – (

 (x –


k )( x +

x=

x –

k )=0

k = 0 ou x = –

k = 0 ou x +

k )² = 0
k =0

k

l’équation x² = k possède deux solutions qui sont k et – k
 Si k < 0, alors l’équation x² = k n’a pas de solution parce qu’un carré est toujours positif.

b) Inéquation x² > k
Dans le tableau suivant tracer sur le premier graphique la droite d’équation y = 5, sur le second y = 3
et sur le troisième y = – 1. Compléter ensuite la dernière ligne du tableau.

Pour aller plus loin avec les calculs algébriques
Considérons la fonction f définie par f(x) = ( x + 3)² – 4
On veut résoudre l’équation f(x) =0 puis l’inéquation f(x) >0
1) On se rappelle l’identité remarquable : a² – b² = ……………………..
2) On factorise f(x) avec cette identité remarquable :
f(x) = ( x + 3)² – 4
f(x) = ……………………..
f(x) = ……………………..
3) On résout alors l’équation f(x) =0

4) On fait un tableau de signe pour résoudre l’inéquation f(x) >0.

L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) >0 est donc …………………………………

Fonctions polynômes du second degré
1) Définition
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré (ou de degré deux) toute fonction de la forme :
f(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des réels fixés avec a ≠ 0.
Les fonctions polynômes de degré 2 sont définies sur IR.
Exemples et contre exemples
f(x) = x² – 4x + 10 et g(x) = – 2x² – 3x sont deux fonctions polynôme du second degré
pour

f(x)

a = …. , b = …. et c = …. pour

g(x)

a = …. , b = …. et c = ….

h(x) = x3 – 4x + 10 et g(x) = – 5x – 8 ne sont pas des fonctions polynôme du second degré.
Propriété
Pour toute fonction polynôme de degré 2, f(x) = ax² + bx + c il existe α et β deux réels uniques tels que
pour tout réel x f(x) = a( x – α)² + β. Cette écriture s’appelle la forme canonique.
Ex :

x² – 4x + 10 = (x – 2)² + 6

3x² + 6x – 7 = 3(x + 1)² – 10

5x² – 4x + 1 = 5(x – 2 )² + 1
5
5

3x² – 12x + 5 = 3(x – 2)² – 7

– 2x² – 2x = – 2(x + 1 )² + 1
2
2
2) Représentation graphique
Propriété définition
La courbe représentative d’une fonction f polynôme de degré 2 dans un repère orthogonal est une
parabole de sommet S(α ; β), avec α = – b
si
f(x) = ax² + bx + c
2a

Exemple :
f(x) = 2 x² + 4x – 3

g(x) = – x² + 3x + 1

on remarque que :
a=

…… 0

α= – b =
2a

a=

…… 0

α= – b =
2a

le sommet a pour coordonnées S(…… ; …… )

le sommet a pour coordonnées S’(…… ; …… )

le point d’intersection avec l’axe des ordonnées

le point d’intersection avec l’axe des ordonnées

M ( …… ; …… )

M’ ( …… ; …… )

A partir de chacune des courbes déterminer le tableau de variation correspondant :
–∞
x
Variation
de f

+∞

–∞
x
Variation
de g

Propriété
Soit α = – b l’abscisse du sommet de la parabole Cf alors la droite d’équation x = – b est axe de
2a
2a
symétrique de la parabole représentant f .
Si a est positif alors la parabole est évasée (orientée) vers le haut.
Si a est négatif la parabole est évasée (orientée) vers le bas.

+∞

Rmq :si l’on connaît deux images par ex f( – 1 ) = 14 et f(5) = 14 alors α =

1  5
=2
2

donc x = 2 est axe de symétrie. Ici f(x) = x² – 4x + 9 = (x – 2)² + 5
L’intersection de la parabole P représentant f(x) = ax² + bx + c avec l’axe des ordonnées est le point M de
coordonnées M(0 ; c).
L’intersection de la parabole P avec l’axe des abscisses n’existe pas toujours. Lorsqu’elle existe l’abscisse
des points d’intersection vérifie f(x) = 0 ; les coordonnées sont donc du type (x1 ; 0)

3) Sens de variation
Théorème
Soient f(x) = ax² + bx + c et P la parabole représentative de f, de sommet S(α ; β)
Si a > 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur ] – ∞ ; α] puis strictement croissante sur [ α ; + ∞ [
Si a < 0 alors la fonction f est strictement croissante sur ] – ∞ ; α] puis strictement décroissante sur [ α ; + ∞

Propriété
Soit f(x) = a( x – α)² + β, les variations sur IR de la fonction f dépendent du signe de a

Si a > 0
–∞
x
Variation
de f

Si a < 0
α

+∞

β

x
–∞
Variation
de f

α
β

Dem
Si a < 0 et x1 < x2 < α alors (x1 – α) < ( x2 – α) < 0
donc (x1 – α)² > ( x2 – α)² car x² est décroissante sur ] – ∞ ; 0]
donc a (x1 – α)² < a ( x2 – α)² car a < 0
d’où a (x1 – α)² + β < a ( x2 – α)² + β
Donc sur ] – ∞ ; α] x1 < x2 implique f(x1) < f(x2) la fonction est donc strictement croissante.
Idem pour α < x1 < x2

+∞


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