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TD5 - M´
ethode du maximum de vraisemblance
1. (a)
L(λ; k1 , . . . , kn ) =

n


p(ki ) =

i=1

n


e−λ

i=1

e−nλ λnk
λki
= n
ki !
i=1 ki !

ln L(λ; k1 , . . . , kn ) = −nλ + nk ln(λ) − ln(

n


ki !).

i=1

Cette fonction de log-vraisemblance est continue en λ ; il suffit donc d’annuler sa d´eriv´ee
et de v´erifier que la d´eriv´ee seconde est n´egative pour obtenir le maximum :
∂ ln L
nk
(k1 , . . . , kn , λ) = −n +
= 0.
∂λ
λ
ˆ MV = K.
Comme la d´eriv´ee seconde est ´egale a` − nk
eduit λ
λ2 , on en d´
(b) On a
∂ 2 ln L
nk
(k1 , . . . , kn , λ) = − 2
2
∂λ
λ
In (λ) = −E(−

nK

n
)= 2 =
2
λ
λ
λ

ˆMV suit as. la loi N (λ, λ/n).
(c) λ
2. (a) On a




1
2
exp −
L(θ; r1 , . . . , rn ) = (π)
(ln(ri − r0 ) − θ) .
i (ri − r0 )
i


n
ln L(θ; r1 , . . . , rn ) = − ln(π) −
ln(ri − r0 ) −
(ln(ri − r0 ) − θ)2
2
i
i
−n/2



∂ ln L
(θ; r1 , . . . , rn ) = 2
(ln(ri − r0 ) − θ) = 2(
ln(ri − r0 ) − nθ),
∂θ
i
i

et

∂ 2 ln L
(θ; r1 , . . . , rn ) = −2n < 0.
∂θ2

ln(Ri − r0 )

θMV = i
n

D’o`
u

(b)
FZ (z) =
=

P (Z ≤ z) = P (ln(R − r0 ) ≤ z)
P (R − r0 ≤ ez ) = P (R ≤ ez + r0 ) = FR (ez + r0 )

fZ (z) =
=
On a donc

Comme
on a

2
1
e−(z−θ) ez
πez
− 11 (z−θ)2
1
=
e 22
2π 21

fR (ez + r0 )ez = √
2
1
√ e−(z−θ)
π

1
Z ∼ N (θ, ).
2

Zi
θ MV = i
= Z,
n
1
).
θ MV ∼ N (θ,
2n
1

3. (a) La vraisemblance est donn´ee par :
L(θ; x1 , ...xn ) =

n


1[θ,θ+1](xi )

i=1






=

1

si xi ∈ [θ, θ + 1]∀i ∈ {1, . . . , n}
sinon


si θ ∈ max xi − 1 , min xi

0

sinon

1
0

=



1≤i≤n

1≤i≤n

Toutes les valeurs de θ comprises entre max Xi −1 et min Xi (c’est-`a-dire entre Sn −1 et
1≤i≤n

1≤i≤n

In ) maximisent la vraisemblance. Tous les ´el´ements du segment sont donc des estimateurs
du maximum de vraisemblance. La forme g´en´erale de se segment est donn´ee par :
θ n = α(Sn − 1) + (1 − α)In

(0 ≤ α ≤ 1)

Il y a donc bien une infinit´e de solutions sauf lorsque Sn − 1 = In .
(b) Commen¸cons par rappeler la fonction de r´epartition de la loi parente :

si x ≤ θ
⎨ 0
x − θ si θ ≤ x ≤ θ + 1
FX (x) = P (X ≤ x) =

1
si x ≥ θ + 1
La fonction de r´epartition de Sn s’´ecrit de la mani`ere suivante :
FS (x)

= P (Sn ≤ x)
= P ( max Xi ≤ x)
1≤i≤n

= P (X1 ≤ x et X2 ≤ x et ... et Xn ≤ x)
n

=
P (X ≤ x) = FX (x)n
i=1


⎨ 0
(x − θ)n
=

1

si
si
si

x≤θ
θ ≤x≤θ+1
x≥θ+1

La densit´e est la d´eriv´ee de la fonction de r´epartition :
fS (x) = n(x − θ)n−1 1[θ,θ+1](x)
La fonction de r´epartition du minimum In s’´ecrit de la mani`ere suivante :
FI (x)

= P (In ≤ x)
= P ( min Xi ≤ x)
1≤i≤n

= 1 − P ( min Xi > x)
1≤i≤n

= 1 − P (X1 > x et X2 > x et ... et Xn > x)
n

= 1−
(1 − P (X ≤ x)) = 1 − (1 − FX (x))n
i=1


⎨ 0
1 − (1 − x + θ)n
=

1

si
si
si

x≤θ
θ≤x≤θ+1
x≥θ+1

La densit´e est toujours la d´eriv´ee de la fonction de r´epartition :
fI (x) = n(1 − x + θ)n−1 1[θ,θ+1](x)
2

(c)


E(In ) =



x fI (x) dx



0
θ+1

=
θ

=

x n(1 − x + θ)n−1 dx

−[x(1 − x +

θ)n ]θ+1
θ

=

(1 − x + θ)
n+1
1
θ+
n+1
θ−


E(Sn ) =

0


=

θ

=

=

(1 − x + θ)n dx

θ



x fS (x) dx
θ+1

x n(x − θ)n−1 dx

[x(x − θ)n ]θ+1

θ





=

θ+1

+

θ

n+1 θ+1



=



θ+1

θ

(x − θ)n+1
θ+1−
n+1
n
θ+
n+1

(x − θ)n dx

θ+1
θ

(d) Pour que θ n soit une estimateur sans biais de θ il faut que E(θ n ) = θ. Calculons l’esp´erance
de l’estimateur :
E(θ n ) =
=
=
=
=

E (α(Sn − 1) + (1 − α)In )
α(E(Sn ) − 1) + (1 − α)E(In )




1
n
− 1 + (1 − α) θ +
α θ+
n+1
n+1




1

+ θ+
n+1
n+1
1 − 2α
θ+
n+1

L’estimateur θ n sera donc sans biais pour la valeur α∗ = 1/2.
(e) On a E(X) = θ + 12 . L’estimateur par la m´ethode des moments donne donc :
1
2
1
θ = E(X) −
2
1
θ m = X − .
2

E(X) = θ +

Sa variance est donn´ee par :
2
¯ = σ
Var(θ m ) = Var(X)
n

o`
u σ 2 est la variance de X. La variance d’une distribution uniforme sur un intervalle de
longueur unit´e est donn´ee dans le formulaire : σ 2 = 1/12. On a donc :
Var(θ m ) =

3

1
12n


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