L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES STAT Ι)Série Corrigée N°3 ( Calcul des Probabilités) .pdf



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BEN AHMED MOHSEN

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L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT 𝜤)

Série Corrigée N°3-ÉNONCÉS
Calcul des Probabilités
EXERCICE 1: (ISG –SP 2011)
La base de données d’un magasin d’électroménager permet de dégager les constatations suivantes :
 La probabilité qu’un client achète un téléviseur est 0,6
 La probabilité qu’il achète un magnétoscope sachant qu’il a acheté un téléviseur est 0,4
 La probabilité qu’il achète un magnétoscope sachant qu’il n’a pas acheté un téléviseur est 0,2
1) Quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur et un magnétoscope
2) Quelle est la probabilité qu’il achète un magnétoscope
3) Le client achète un magnétoscope, quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur
4) Quelle est la probabilité qu’il achète un téléviseur sachant qu’il n’a pas acheté un magnétoscope

EXERCICE 2: (ISG –LAG -SC 2011)
La compagnie d’assurance SECOURT-SERTAIN propose des primes réduites à ses clients à faibles risques. Elle a donc
réparti la population en deux classes : ceux qui sont enclins aux accidents et ceux qui ne le sont pas. Ses statistiques
montrent qu’un individu enclin aux accidents a une probabilité de 0,4 d’en avoir un au cours d’une année, alors que
cette probabilité tombe à 0,2 pour les gens à faibles risques. On suppose que 30% de la population appartient à la classe
à haut risque.
1) Quelle est la probabilité qu’un nouvel assuré soit victime d’un accident durant la première année de son
contrat ?
2) Quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à haut risque s’il est victime d’un accident dans l’année qui
suit la conclusion de son contrat ?
3) Quelle est la probabilité conditionnelle pour un nouveau client d’avoir un accident durant la deuxième année de
son contrat s’il a eu un accident durant la première année ?

EXERCICE 3:
Une enquête relative au degré de satisfaction auprès des clients de trois stations de services d’une société de
distribution de gas-oil donne les résultats :
Station 1

Station 2

Station 3

Non Satisfait

6%

20%

15%

Satisfait

70%

60%

75%

Très Satisfaisant

24%

20%

10%

L’échantillon a concerné 2100 clients de la station 1 ; 2400 de la station 2 et 1500 de la station 3
Si un client est prélevé au hasard, quelle est la probabilité :
1) Client de la station 2
2) Soit non satisfait
3) Très satisfait
4) Soit de la station 2 sachant qu’il est non satisfait
5) Soit de la station 1 sachant qu’il est satisfait

1

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EXERCICE 4:
Dans un magasin se trouve quatre lots de pièces dont les proportions de pièces défectueuses sont respectivement 5% ;
5% ; 8% et 10%
On choisit au hasard un lot.
1) On tire dans ce lot une pièce, on constate que cette pièce est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle ait été
tirée dans un lot contenant :
a) 8% des pièces défectueuses
b) 5% des pièces défectueuses
2) On tire dans le lot choisi deux pièces avec remise. On constate que ces pièces sont toutes deux défectueuses.
Calculer la probabilité qu’elles aient été tirées dans un lot contenant 5% des pièces défectueuses

EXERCICE 5: (ISG –SP 2009)
Dans un processus de fabrication, des lentilles doivent subir deux traitements notés 𝑻𝟏 et 𝑻𝟐 . On prélève au hasard
une lentille dans la production et on définit les événements :
 𝑨 : la lentille présente un défaut pour le traitement 𝑻𝟏
 𝑩 : la lentille présente un défaut pour le traitement 𝑻𝟐
 𝑪 : la lentille ne présente pas de défauts pour les deux traitements
Une étude a montré que : 𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟏𝟎 ; 𝑷 𝑩 = 𝟎, 𝟐𝟎 𝒆𝒕 𝑷 𝑪 = 𝟎, 𝟕𝟓
1) Mettre l’événement 𝑪 en fonction des événements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩
2) Calculer la probabilité pour qu’une lentille prélevée au hasard dans la production :
a) Présente un défaut pour au moins un des deux traitements
b) Présente un défaut pour les deux traitements
c) Présente un défaut pour un seul des deux traitements
3) Les évènements 𝑨 𝒆𝒕 𝑩 sont-ils indépendants, justifier votre réponse

EXERCICE 6: (ISG –SC 2010)
Soient deux chaînes de production, 𝑪𝒉𝟏 et 𝑪𝒉𝟐 , de gaufres au chocolat. La chaîne 𝑪𝒉𝟏 produit des gaufres avariées
avec une probabilité 𝑷𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟓 et 𝑪𝒉𝟐 avec une probabilité 𝑷𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏 . La probabilité d’achat de gaufres de 𝑪𝒉 𝟏 ou
de 𝑪𝒉𝟐 est la même.
1) Tu achètes une gaufre. Quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas avariée ?
2) Tu achètes une gaufre et elle est avariée. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la chaîne 𝑪𝒉𝟏 ?

EXERCICE 7: (ISG –SP 2008)
On a trois paniers de fruits. Le panier I contient 3 pommes, 2 oranges, et 4 bananes. Le panier II contient 4 pommes, 2
oranges, et 1 banane. Le panier III contient 2 pommes, 4 oranges, et 2 bananes. Un panier est choisi au hasard et une
pièce de fruit est prise est prise de ce panier. La pièce prise est une orange, calculer la probabilité qu’on a choisit le
panier II

EXERCICE 8: (ISG –SP 2010)
Le un quart d’une population a été vacciné contre une maladie contagieuse. Au cours d’une épidémie, on constate que
 Parmi les vaccinés, il y avait un malade sur douze
 Le un cinquième des malades sont des vaccinés
1) Démontrer que la probabilité de tomber malade est égale à 𝟓 𝟒𝟖
2) Quelle était la probabilité de tomber malade pour un individu non-vacciné ?
3) Le vaccin est-il efficace ? Justifier votre réponse

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Série Corrigée N°3- CORRIGÉS
Calcul des Probabilités
Corrigé 1: (ISG –SP 2011)
Soient les événements :
T : « le client achète un téléviseur »
M : « le client achète un magnétoscope »
Les probabilités suivantes sont données :
 𝑷 𝑻 = 𝟎, 𝟔
 𝑷 𝑴/𝑻 = 𝟎, 𝟒
1) 𝑷 𝑻 ∩ 𝑴 = 𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴/𝑻 = 𝟎, 𝟐𝟒
2) 𝑻, 𝑻 un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑴 =𝑷 𝑻∩𝑴 +𝑷 𝑻∩𝑴
⇔ 𝑷 𝑴 = 𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴/𝑻 + 𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴/𝑻
⇔ 𝑷 𝑴 = 𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴/𝑻 + 𝟏 − 𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴/𝑻
⇔ 𝑷 𝑴 = 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟏 − 𝟎, 𝟔 × 𝟎, 𝟐
D’où 𝑷 𝑴 = 𝟎, 𝟑𝟐
3)
𝑷 𝑻∩𝑴
𝟎, 𝟐𝟒
𝑷 𝑻 𝑴 =
=
= 𝟎, 𝟕𝟓
𝑷 𝑴
𝟎, 𝟑𝟐
4)
𝑷 𝑻∩𝑴
𝑷 𝑻 . 𝑷 𝑴 /𝑻
𝑷 𝑻 𝟏 − 𝑷 𝑴/𝑻
𝟎, 𝟔 × 𝟏 − 𝟎, 𝟒
𝑷 𝑻 𝑴 =
=
=
=
𝑷 𝑴
𝟏− 𝑷 𝑴
𝟏− 𝑷 𝑴
𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟐
𝟗
D’où 𝑷 𝑻 𝑴 =



𝑷 𝑴/𝑻 = 𝟎, 𝟐

𝟏𝟕

Corrigé 2: (ISG –LAG -SC 2011)
Soient les événements :
H : « Le nouvel assuré fait partie de la classe à haut risque.»
F : « Le nouvel assuré fait partie de la classe à faible risque.»
Ai : «L’assuré aura un accident au cours d’une année donnée ‘’i ‘’ »
Les probabilités suivantes sont données :




𝑷 𝑯 = 𝟎, 𝟑
 𝑷 𝑨𝒊 /𝑯 = 𝟎, 𝟒 ; 𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, …
𝑷 𝑭 = 𝟎, 𝟕
 𝑷 𝑨𝒊 /𝑭 = 𝟎, 𝟐 ; 𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, …
1) 𝑯, 𝑭 un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑨𝟏 = 𝑷 𝑯 ∩ 𝑨 𝟏 + 𝑷 𝑭 ∩ 𝑨𝟏
⇔ 𝑷 𝑨𝟏 = 𝑷 𝑯 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑯 + 𝑷 𝑭 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑭
⇔ 𝑷 𝑨𝟏 = 𝟎, 𝟑 × 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟕 × 𝟎, 𝟐
D’où 𝑷 𝑨𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟔
2)
𝑷 𝑯 ∩ 𝑨𝟏
𝑷 𝑯 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑯
𝟎, 𝟑 × 𝟎, 𝟒
𝟔
𝑷 𝑯/𝑨𝟏 =
=
=
=
𝑷 𝑨𝟏
𝑷 𝑨𝟏
𝟎, 𝟐𝟔
𝟏𝟑
3)
𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏
𝑷 𝑨𝟐 /𝑨𝟏 =
𝑷 𝑨𝟏
Calculons 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 :

3

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𝑯, 𝑭 Un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟏 = 𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 + 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 + 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑭
⇔ 𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟏 = 𝑷 𝑨 𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 𝑷 𝑨 𝟏 ∩ 𝑯 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑭
Or 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 = 𝑷 𝑨𝟐 /𝑯 = 𝟎, 𝟒 𝒆𝒕 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑨𝟐 /𝑭 = 𝟎, 𝟐 Puisque les clients sont déjà répartis
en deux classes qu’ils fassent un au cours de l’année qui suit la conclusion du contrat ou pas
D’autre part 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 = 𝑷 𝑯 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑯 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝒆𝒕 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑭 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑭 = 𝟎, 𝟏𝟒
Par la suite 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 = 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔
D’où
𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏
𝟎, 𝟎𝟕𝟔 𝟏𝟗
𝑷 𝑨𝟐 /𝑨𝟏 =
=
=
𝑷 𝑨𝟏
𝟎, 𝟐𝟔
𝟔𝟓

Corrigé 3:
Soient les événements :
𝑺𝒊∈ 𝟏,𝟐,𝟑 : « Un client de la station 𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, 𝟑 »
NS : « le client n’est pas satisfait »
S : « le client est satisfait »
TS : « le client est très satisfait »
1)
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟐
𝟐𝟒𝟎𝟎
𝑷 𝑺𝟐 =
=
= 𝟎, 𝟒
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟏 + 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟐 + 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝟎
2) 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑵𝑺 = 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟐 + 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟑
⇔ 𝑷 𝑵𝑺 = 𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
⇔ 𝑷 𝑵𝑺 =
× 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐 +
× 𝟎, 𝟏𝟓
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎
D’où 𝑷 𝑵𝑺 = 𝟏𝟑, 𝟖𝟓%
3) De la même manière
𝑷 𝑻𝑺 = 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟐 + 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟑
⇔ 𝑷 𝑻𝑺 = 𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑻𝑺 /𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑻𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑻𝑺/𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
⇔ 𝑷 𝑻𝑺 =
× 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐 +
× 𝟎, 𝟏
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎
D’où 𝑷 𝑻𝑺 = 𝟏𝟖, 𝟗%
4) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐
𝑷 𝑺𝟐 /𝑵𝑺 =
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟑
𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐
𝟏𝟔𝟎
⇔ 𝑷 𝑺𝟐 /𝑵𝑺 =
=
≅ 𝟓𝟕, 𝟕𝟔%
𝟎, 𝟏𝟑𝟖𝟓
𝟐𝟕𝟕
5) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟏
𝑷 𝑺𝟏 /𝑺 =
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟑
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟕
𝟎, 𝟐𝟒𝟓
𝟗𝟖
⇔ 𝑷 𝑺𝟏 /𝑺 =
=
=
≅ 𝟑𝟔, 𝟒𝟑%
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟕𝟓
𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟓 𝟐𝟔𝟗

Corrigé 4:
Soient les événements :
𝑳𝟏 : « Lot contenant 5% de pièces défectueuses »
𝑳𝟐 : « Lot contenant 5% de pièces défectueuses »
𝑳𝟑 : « Lot contenant 8% de pièces défectueuses »
𝑳𝟒 : « Lot contenant 10% de pièces défectueuses »
4

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Les événements étant équiprobables, ce qui donne
Notons 𝑫 : « la pièce tirée est défectueuse »
Les probabilités suivantes sont données :
𝑷 𝑫/𝑳𝟏 = 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 = 𝟓%
𝑷 𝑫/𝑳𝟑 = 𝟖%
𝑷 𝑫/𝑳𝟒 = 𝟏𝟎%
1)
a) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑳𝟑 /𝑫 =

𝟏
𝟒

𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑

+ 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟒
𝟐
⇔ 𝑷 𝑳𝟑 /𝑫 =
=
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏
𝟕
b)
𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 /𝑫 =
𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑 + 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟒
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓
𝟓
⇔ 𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 /𝑫 =
=
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏
𝟏𝟒
2) Soient 𝑫𝟏 : « la première pièce tirée est défectueuse » et 𝑫𝟐 : « la deuxième pièce tirée est défectueuse »
On se propose de calculer 𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐 :
𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 =
𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐
Les événements 𝑫𝟏 𝒆𝒕 𝑫𝟐 étant indépendants par conséquent
𝟏
𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 =
Et 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐

𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏

𝑷 𝑳𝟏 = 𝑷 𝑳𝟐 = 𝑷 𝑳𝟑 = 𝑷 𝑳𝟒 =

+ 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖

= 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟐 = 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟐

𝟐

𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟏

= 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 =

𝟏𝟔𝟎𝟎

Et comme on 𝑳𝟏 , 𝑳𝟐 , 𝑳𝟑 , 𝑳𝟒 un système complet d’événement donc d’après la formule des probabilités totales
on a :
𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟒 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐

⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏
⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟏 /𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫 𝟏 /𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟑
+ 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟒 .𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟒
𝟏𝟎𝟕
⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏𝟐 =
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

D’où
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐

𝟏
𝟏
+
𝟐𝟓
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟔𝟎𝟎
=
=
≅ 𝟎, 𝟐𝟑𝟒
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟎𝟕
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

Corrigé 5: (ISG –SP 2009)
1) 𝑪 = 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∁
2)
a) 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏 − 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏 − 𝑷 𝑪 = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓
b) 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
Ce qui donne 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟓
c) 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑨 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
⇔ 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝟐𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟐 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟐
3) 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟐 ≠ 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
D’où 𝑨 et 𝑩 ne sont pas indépendants

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Corrigé 6: (ISG –SP 2009)
Soient les événements :
𝑪𝟏 : «Les gaufres sont produites par La chaîne de production 𝑪𝒉𝟏 »
𝑪𝟐 : «Les gaufres sont produites par La chaîne de production 𝑪𝒉𝟐 »
Et 𝑨 : « La gaufre achetée est avariée »
Les événements 𝑪𝟏 𝒆𝒕 𝑪𝟐 étant équiprobables, par conséquent 𝑷 𝑪𝟏 = 𝑷 𝑪𝟏 = 𝟎, 𝟓
Les probabilités suivantes sont données :
𝑷 𝑨/𝑪𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟓 Et 𝑷 𝑨/𝑪𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟏
1) 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪𝟏 + 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪𝟐
⇔ 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑪𝟏 . 𝑷 𝑨/𝑪𝟏 + 𝑷 𝑪𝟐 . 𝑷 𝑨/𝑪𝟐
⇔ 𝑷 𝑨 = 𝑷 𝑪𝟏 . 𝟏 − 𝑷 𝑨/𝑪𝟏
+ 𝑷 𝑪𝟐 . 𝟏 − 𝑷 𝑨/𝑪𝟐
D’où 𝑷 𝑨 = 𝟎, 𝟓 × 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟓 × 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟕
2)
𝑷 𝑪𝟏 /𝑨 =
D’où
𝑷 𝑪𝟏 /𝑨 =

𝑷 𝑪𝟏 ∩ 𝑨
𝑷 𝑨

𝟎, 𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓
𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟕

=

=

𝑷 𝑪𝟏 . 𝑷 𝑨/𝑪𝟏
𝟏−𝑷 𝑨

𝟓
𝟔

Corrigé 7: (ISG –SP 2008)
Soient les événements :
𝑸𝒊∈ 𝟏,𝟐,𝟑 : « Choisir le panier 𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, 𝟑 »
𝑨 : «La pièce de fruit prise est une pomme »
𝑩 : «La pièce de fruit prise est une orange »
𝑪 : «La pièce de fruit prise est une banane »
Les événements 𝑸𝟏 , 𝑸𝟐 𝒆𝒕 𝑸𝟑 étant équiprobables, par conséquent :
𝟏
𝑷 𝑸𝟏 = 𝑷 𝑸𝟐 = 𝑷 𝑸𝟑 =
𝟑
D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑸𝟐 . 𝑷 𝑩/𝑸𝟐
𝑷 𝑸𝟐 /𝑩 =
𝑷 𝑸𝟏 . 𝑷 𝑩/𝑸𝟏 + 𝑷 𝑸𝟐 . 𝑷 𝑩/𝑸𝟐 + 𝑷 𝑸𝟑 . 𝑷 𝑩/𝑸𝟑
Or
𝟒
𝟏
𝟐
𝑷 𝑩/𝑸𝟏 =
, 𝑷 𝑩/𝑸𝟐 =
𝒆𝒕 𝑷 𝑩/𝑸𝟑 =
𝟗
𝟕
𝟖
D’où
𝟏 𝟏
×
𝟑𝟔
𝟑 𝟕
𝑷 𝑸𝟐 /𝑩 = 𝟏 𝟒
=
≅ 𝟎, 𝟏𝟕𝟏
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟐𝟏𝟏
×
+
×
+
×
𝟑 𝟗
𝟑 𝟕
𝟑 𝟖

Corrigé 8: (ISG –SP 2010)
Soient les événements :
𝑽 : « L'individu est vacciné contre la maladie contagieuse »
𝑴 : « L'individu est malade »
Les probabilités suivantes sont données :
𝟏
𝟏
𝟏
𝑷 𝑽 = , 𝑷 𝑴/𝑽 =
𝒆𝒕 𝑷 𝑽/𝑴 =
𝟒
𝟏𝟐
𝟓

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1)
𝑷 𝑴/𝑽
𝑷 𝑴 ∩𝑽 𝑷 𝑽
𝑷 𝑴
=
=
𝑷 𝑽/𝑴
𝑷 𝑽∩𝑴 𝑷 𝑴
𝑷 𝑽
Il en résulte que :
𝟏 𝟏
×
𝑷 𝑽 . 𝑷 𝑴/𝑽
𝟓
𝑷 𝑴 =
= 𝟒 𝟏𝟐 =
𝟏
𝑷 𝑽/𝑴
𝟒𝟖
𝟓
2)
𝑷 𝑴∩𝑽
𝑷 𝑴 . 𝑷 𝑽/𝑴
𝑷 𝑴 . 𝟏 − 𝑷 𝑽/𝑴
𝑷 𝑴/𝑽 =
=
=
𝑷 𝑽
𝟏−𝑷 𝑽
𝟏−𝑷 𝑽
D’où
𝟓
𝟏
× 𝟏−
𝟒𝟖
𝟓 =𝟏
𝑷 𝑴/𝑽 =
𝟏
𝟗
𝟏−
𝟒
3) D’après les calculs précédents, en moyenne, 1 individu sur 9 non vaccinés tombe malade, contre 1 individu sur
12 vaccinés
La vaccination sera jugée relativement efficace

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 ÉCONOMÉTRIE
 TECHNIQUES DE SONDAGE
 STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
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