L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES STAT Ι)Série Corrigée N°3 ( Calcul des Probabilités).pdf


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BEN AHMED MOHSEN

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𝑯, 𝑭 Un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟏 = 𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 + 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 + 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 ∩ 𝑭
⇔ 𝑷 𝑨 𝟐 ∩ 𝑨 𝟏 = 𝑷 𝑨 𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 𝑷 𝑨 𝟏 ∩ 𝑯 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑭
Or 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 = 𝑷 𝑨𝟐 /𝑯 = 𝟎, 𝟒 𝒆𝒕 𝑷 𝑨𝟐 / 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑨𝟐 /𝑭 = 𝟎, 𝟐 Puisque les clients sont déjà répartis
en deux classes qu’ils fassent un au cours de l’année qui suit la conclusion du contrat ou pas
D’autre part 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑯 = 𝑷 𝑯 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑯 = 𝟎, 𝟏𝟐 𝒆𝒕 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑭 . 𝑷 𝑨𝟏 /𝑭 = 𝟎, 𝟏𝟒
Par la suite 𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏 = 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟔
D’où
𝑷 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟏
𝟎, 𝟎𝟕𝟔 𝟏𝟗
𝑷 𝑨𝟐 /𝑨𝟏 =
=
=
𝑷 𝑨𝟏
𝟎, 𝟐𝟔
𝟔𝟓

Corrigé 3:
Soient les événements :
𝑺𝒊∈ 𝟏,𝟐,𝟑 : « Un client de la station 𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, 𝟑 »
NS : « le client n’est pas satisfait »
S : « le client est satisfait »
TS : « le client est très satisfait »
1)
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟐
𝟐𝟒𝟎𝟎
𝑷 𝑺𝟐 =
=
= 𝟎, 𝟒
𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟏 + 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟐 + 𝑪𝒂𝒓𝒅 𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 + 𝟏𝟓𝟎𝟎
2) 𝑺𝟏 , 𝑺𝟐 , 𝑺𝟑 un système complet d’événement
D’après la formule des probabilités totales on a :
𝑷 𝑵𝑺 = 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟐 + 𝑷 𝑵𝑺 ∩ 𝑺𝟑
⇔ 𝑷 𝑵𝑺 = 𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
⇔ 𝑷 𝑵𝑺 =
× 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐 +
× 𝟎, 𝟏𝟓
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎
D’où 𝑷 𝑵𝑺 = 𝟏𝟑, 𝟖𝟓%
3) De la même manière
𝑷 𝑻𝑺 = 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟏 + 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟐 + 𝑷 𝑻𝑺 ∩ 𝑺𝟑
⇔ 𝑷 𝑻𝑺 = 𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑻𝑺 /𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑻𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑻𝑺/𝑺𝟑
𝟐𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟎
⇔ 𝑷 𝑻𝑺 =
× 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐 +
× 𝟎, 𝟏
𝟔𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎𝟎
D’où 𝑷 𝑻𝑺 = 𝟏𝟖, 𝟗%
4) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐
𝑷 𝑺𝟐 /𝑵𝑺 =
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑵𝑺/𝑺𝟑
𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟐
𝟏𝟔𝟎
⇔ 𝑷 𝑺𝟐 /𝑵𝑺 =
=
≅ 𝟓𝟕, 𝟕𝟔%
𝟎, 𝟏𝟑𝟖𝟓
𝟐𝟕𝟕
5) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟏
𝑷 𝑺𝟏 /𝑺 =
𝑷 𝑺𝟏 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟏 + 𝑷 𝑺𝟐 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟐 + 𝑷 𝑺𝟑 . 𝑷 𝑺/𝑺𝟑
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟕
𝟎, 𝟐𝟒𝟓
𝟗𝟖
⇔ 𝑷 𝑺𝟏 /𝑺 =
=
=
≅ 𝟑𝟔, 𝟒𝟑%
𝟎, 𝟑𝟓 × 𝟎, 𝟕 + 𝟎, 𝟒 × 𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟕𝟓
𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟓 𝟐𝟔𝟗

Corrigé 4:
Soient les événements :
𝑳𝟏 : « Lot contenant 5% de pièces défectueuses »
𝑳𝟐 : « Lot contenant 5% de pièces défectueuses »
𝑳𝟑 : « Lot contenant 8% de pièces défectueuses »
𝑳𝟒 : « Lot contenant 10% de pièces défectueuses »
4