L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES STAT Ι)Série Corrigée N°3 ( Calcul des Probabilités).pdf


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BEN AHMED MOHSEN

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Les événements étant équiprobables, ce qui donne
Notons 𝑫 : « la pièce tirée est défectueuse »
Les probabilités suivantes sont données :
𝑷 𝑫/𝑳𝟏 = 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 = 𝟓%
𝑷 𝑫/𝑳𝟑 = 𝟖%
𝑷 𝑫/𝑳𝟒 = 𝟏𝟎%
1)
a) D’après la formule de Bayes on a :
𝑷 𝑳𝟑 /𝑫 =

𝟏
𝟒

𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑

+ 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟒
𝟐
⇔ 𝑷 𝑳𝟑 /𝑫 =
=
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏
𝟕
b)
𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 /𝑫 =
𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑 + 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟒
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓
𝟓
⇔ 𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 /𝑫 =
=
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏
𝟏𝟒
2) Soient 𝑫𝟏 : « la première pièce tirée est défectueuse » et 𝑫𝟐 : « la deuxième pièce tirée est défectueuse »
On se propose de calculer 𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐 :
𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 =
𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐
Les événements 𝑫𝟏 𝒆𝒕 𝑫𝟐 étant indépendants par conséquent
𝟏
𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 =
Et 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫 𝟏 ∩ 𝑫𝟐

𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟏

𝑷 𝑳𝟏 = 𝑷 𝑳𝟐 = 𝑷 𝑳𝟑 = 𝑷 𝑳𝟒 =

+ 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫/𝑳𝟑
𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖

= 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟐 = 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟐

𝟐

𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟏

= 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓 =

𝟏𝟔𝟎𝟎

Et comme on 𝑳𝟏 , 𝑳𝟐 , 𝑳𝟑 , 𝑳𝟒 un système complet d’événement donc d’après la formule des probabilités totales
on a :
𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟐 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 + 𝑷 𝑳𝟒 ∩ 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐

⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟏 .𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 /𝑳𝟏
⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝑷 𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫 𝟏 /𝑳𝟏 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟏 + 𝑷 𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟐 . 𝑷 𝑫𝟐 /𝑳𝟐 + 𝑷 𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫 𝟏 /𝑳𝟑 . 𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟑
+ 𝑷 𝑳𝟒 . 𝑷 𝑫𝟏 /𝑳𝟒 .𝑷 𝑫 𝟐 /𝑳𝟒
𝟏𝟎𝟕
⇔ 𝑷 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟎𝟖𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏𝟐 =
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

D’où
𝑷 𝑳𝟏 ∪ 𝑳𝟐 / 𝑫𝟏 ∩ 𝑫𝟐

𝟏
𝟏
+
𝟐𝟓
𝟏𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟔𝟎𝟎
=
=
≅ 𝟎, 𝟐𝟑𝟒
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟎𝟕
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎

Corrigé 5: (ISG –SP 2009)
1) 𝑪 = 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∁
2)
a) 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏 − 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟏 − 𝑷 𝑪 = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓
b) 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
Ce qui donne 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟓
c) 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑨 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨
⇔ 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝟐𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎, 𝟏 + 𝟎, 𝟐 − 𝟐 × 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟎, 𝟐
3) 𝑷 𝑨 × 𝑷 𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟐 ≠ 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
D’où 𝑨 et 𝑩 ne sont pas indépendants

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