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Baccalaur´eat S 2012
Exercice sur les suites
L’objet de cet exercice est d’´etudier une suite dont on ne connaˆıt pas d’expression explicite.

Partie 1
1. Soit n ∈ N. Montrer que l’´equation ex + ln(x) = n admet une unique solution r´eelle.
On ´etudiera pour cela la fonction fn d´efinie par fn (x) = ex + ln(x) − n pour tout x ∈ R.
2. Pour tout n ∈ N, on d´esigne par xn l’unique solution de ex + ln(x) = n. On d´efinit ainsi
une suite (xn ) dont on n’a pas d’expression explicite. On d´efinit ´egalement les fonctions
fn comme ci-dessus. Calculer fn (xn+1 ) pour n ∈ N.
3. Soit n ∈ N. Dresser le tableau de variations de fn .
4. En d´eduire que (xn ) est strictement croissante. Quelle est la limite de (xn ) ?

Partie 2
1. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , ln(ln(n) − ln(ln(n))) 6 ln(n).
2. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , xn v´erifie ln(n) − ln(ln(n)) 6 xn 6 ln(n).
xn
3. En d´eduire que lim
= 1.
n→+∞ ln(n)


ln(xn )

.
4. Pour tout n ∈ N , on pose εn = xn − ln(n). Montrer que εn = ln 1 −
n
5. Dans cette question, toute trace de recherche, mˆeme infructueuse sera prise en compte
dans la notation.
−nεn
En d´eduire que lim
= 1.
n→+∞ ln(ln(n))
` l’aide de la calculatrice, ´evaluer a` 10−1 pr`es x10 , x250 et x1000 . Comparer ces valeurs a`
6. A
ln(ln(10))
ln(ln(250))
ln(ln(1000))
ln(10) −
, ln(250) −
et `a ln(1000) −
. Conclure.
10
250
1000

1


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