Exercices révisions dérivées .pdf


Nom original: Exercices révisions dérivées.pdf
Auteur: Cathy

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Exercices révisions dérivées
Exercice 1 :
1. On appelle f la fonction définie sur

par f  x   ax3  bx 2  cx  d où a, b , c et d sont des réels.

On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal.
Déterminer a, b , c et d sachant que :
 C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient – 6.
 La dérivée de f s’annule pour les valeurs – 1 et 3.
On pourra admettre pour la suite que : f  x  

2 3
x  2x2  6x
3

2. Etudier les variations de f.
3. Donner une équation de la tangente T à C en O. Préciser la position de C par rapport à T.
Exercice 2 :
Dans  le  plan  muni  d’un  repère,  la  parabole  P
d’équation: y  x 2  2 coupe  l’axe  des  ordonnées au
point A et  l’axe  des  abscisses  en  2  points  B et C.
Démontrer  qu’il  existe  une  unique  droite  parallèle  à  
(AB) tangente à P.
En donner une équation.

Exercice 3 :

x2  2x  5
Soit la fonction f  x   
2x  2
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que : f  x   ax  b 

c
2x  2

3. Etudier les variations de f.
4. Donner une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 1.

Correction exercice 2 :
P : y  x2  2
On cherche une tangente à P parallèle à la droite (AB).
Or deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Soit M un point de la courbe P, d’abscisse  m.
Le coefficient directeur de la tangente à P en M est : f '  m 
Donc, on cherche m tel que : f '  m  soit égal au coefficient directeur de (AB).
Calcul du coefficient directeur de (AB) :Il est égal à :
Déterminons les coordonnées de A et B :
 A  est  le  point  d’intersection  de  P avec  l’axe  des  ordonnées, donc : 𝑥 = 0
Comme A ∈ P, alors : 𝑦 = 𝑥 - 2 = 0 - 2 = - 2
Donc : A(0 ; - 2)
 B  est  un  des  2  points  d’intersection  de P avec  l’axe  des  abscisses,  donc : 𝑦 = 0
Comme B ∈ P, alors : 𝑦 = 𝑥 - 2
Soit : 0 = 𝑥 - 2
x - 2 = 0 ⟺ x = 2 ⟺ x = √2 ou x = - √2
B  est  le  point  d’intersection  d’abscisse  positive,  on  en  déduit  que : B(√𝟐 ; 0)

Ainsi :

=

(


)

=



= √2

Le coefficient directeur de (AB) est √2.

On cherche m tel que : f '  m   2

f  x   x2  2

donc f '  x   2 x

2
2
Donc, il existe une unique droite parallèle à (AB) tangente à P :  c’est  la  tangente  à  P au point M
f '  m  2  2x  2  x 

d’abscisse   m 

2
2

L’équation  de  cette  tangente  est de la forme : y  ax  b avec a  f '  m   2
2

 2  2
1
3
Or f 
  
  2   2   et M appartient à la tangente.
2
2
 2   2 
3
2
5
b  b  
Donc   2 
2
2
2

Ainsi, l’équation  de  la tangente recherchée est : y  2 x 

5
2


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