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Auteur: Cathy

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Exercices révisions dérivées
Exercice 1 :
1. On appelle f la fonction définie sur

par f  x   ax3  bx 2  cx  d où a, b , c et d sont des réels.

On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal.
Déterminer a, b , c et d sachant que :
 C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient – 6.
 La dérivée de f s’annule pour les valeurs – 1 et 3.
On pourra admettre pour la suite que : f  x  

2 3
x  2x2  6x
3

2. Etudier les variations de f.
3. Donner une équation de la tangente T à C en O. Préciser la position de C par rapport à T.
Exercice 2 :
Dans le plan muni d’un repère, la parabole P
d’équation: y  x 2  2 coupe l’axe des ordonnées au
point A et l’axe des abscisses en 2 points B et C.
Démontrer qu’il existe une unique droite parallèle à
(AB) tangente à P.
En donner une équation.

Exercice 3 :

x2  2x  5
Soit la fonction f  x   
2x  2
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que : f  x   ax  b 

c
2x  2

3. Etudier les variations de f.
4. Donner une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 1.

Correction exercice 2 :
P : y  x2  2
On cherche une tangente à P parallèle à la droite (AB).
Or deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Soit M un point de la courbe P, d’abscisse m.
Le coefficient directeur de la tangente à P en M est : f '  m 
Donc, on cherche m tel que : f '  m  soit égal au coefficient directeur de (AB).
Calcul du coefficient directeur de (AB) :Il est égal à :
Déterminons les coordonnées de A et B :
 A est le point d’intersection de P avec l’axe des ordonnées, donc :
=0
Comme A ∈ P, alors :
= ² - 2 = 0² - 2 = - 2
Donc : A(0 ; - 2)
 B est un des 2 points d’intersection de P avec l’axe des abscisses, donc :
=0
Comme B ∈ P, alors :
= ²-2
Soit : 0 = ² - 2
x² - 2 = 0
x² = 2
x = √ ou x = - √
B est le point d’intersection d’abscisse positive, on en déduit que : B(√ ; 0)

Ainsi :

=



=



=√

Le coefficient directeur de (AB) est √ .

On cherche m tel que : f '  m   2

f  x   x2  2

donc f '  x   2 x

2
2
Donc, il existe une unique droite parallèle à (AB) tangente à P : c’est la tangente à P au point M
f '  m  2  2x  2  x 

d’abscisse m 

2
2

L’équation de cette tangente est de la forme : y  ax  b avec a  f '  m   2
2

 2  2
1
3
Or f 
  
  2   2   et M appartient à la tangente.
2
2
 2   2 
3
2
5
Donc   2 
b  b  
2
2
2

Ainsi, l’équation de la tangente recherchée est : y  2 x 

5
2

Correction exercice 3 :
1. La fonction f est définie si et seulement si 2 x  2  0  x  1
Donc D f 
2.

\ 1

c
f  x   ax  b 
2x  2

f  x

 ax  b  2 x  2   c

2x  2

2ax 2  2ax  2bx  2b  c
f  x 
2x  2

1

a   2
2a  1

1
1
4
1


f  x   x  
Par identification : 2a  2b  2  b  
2
2 2x  2
2
2b  c  5


c  4


3. Pour tout x  1 , f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur ces intervalles.

2  x  1  8 2 x 2  4 x  6  x 2  2 x  3
1
2
f ' x    4



2
2
2
2
2
4  x  1
4  x  1
4  x  1
 2x  2
2

f ' x 

  x  1 x  3
2
4  x  1

Les racines de f ‘ sont 1 et – 3 donc on en déduit que f est décroissante sur ; 3 et 1;  et croissante
sur  3; 1 et 1;1 .
4. Une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 1 est de la forme y  ax  b avec a  f ' 1  0
De plus f 1  2 donc une équation de cette tangente est y  2


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