jvcprimitives .pdf

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Primitives
M´ethodes
Dans tout ce document, C d´esigne une constante r´eelle quelconque. Si f et g sont des fonctions d´erivables, f 0
et g 0 d´esignent respectivement
leurs d´eriv´ees.
Z
Attention : la notation

f (x)dx veut dire ici ”primitive de f ´evalu´ee en x”, mais elle est math´ematiquement

FAUSSE , et ne doit pas ˆetre utilis´ee sur une copie. Elle n’est l`
a que pour simplifier l’´ecriture.

Les primitives usuelles `
a retenir
Ces primitives se retiennent facilement pour la plupart car on retrouve les r´esultats du cours sur la d´erivation.
Z
1.
cos(x)dx = sin(x) + C
Z
2.
sin(x)dx = − cos(x) + C
Z
3.
tan(x)dx = − ln(| cos(x)|) + C
Z
1
xα+1 + C si α est un r´eel diff´erent de -1. 1
4.
xα dx =
α+1
Z
1
5.
dx = ln(|x|) + C
x
Z
6.
exp(x)dx = exp(x) + C

L’int´
egration par parties
Si f et g sont d´erivables, alors on a la relation :
Z
Z
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx

Les formes `
a connaˆıtre
Il y a un certain nombre de formes de primitives `a connaˆıtre pour pouvoir se d´ebrouiller dans `a peu pr`es tous
les exercices. a et b d´esignent ici des constantes r´eelles.
Z
1
1.
f 0 (ax + b)dx = f (ax + b) + C si a 6= 0
a
Z 0
f (x)
2.
dx = ln(|f (x)|) + C
f (x)
Z
3. Plus g´en´eralement, f 0 (x)g 0 (f (x))dx = g(f (x)) + C
4. On peut aussi reconnaˆıtre les formules de la d´eriv´ee d’un produit ou d’un quotient, mˆeme si c’est plutˆ
ot
rare.

M´
ethode pour trouver une primitive
La m´ethode `
a adopter est toute simple : il suffit de se ramener `a une des formes cit´ees au-dessus. Si on n’y
arrive pas, c’est qu’il faut sˆ
urement faire une int´egration par parties ! 2
1
1. Si α = n
avec n un entier naturel, on retrouve la fonction ”racine n-i`
eme”.
2. Ceci dit, au bac, il est souvent pr´
ecis´
e qu’il faut faire une int´
egration par parties lorsque c’est n´
ecessaire.

1

Primitives

M´ethodes

Quelques exemples pour s’entraˆıner
Trouver une primitive des fonctions suivantes (apr`es avoir donn´e leur ensemble de d´efinition) 3 :
1. x 7→ exp(2x + 4)
2. x 7→ x cos(x2 )
√
3. x 7→ 3x + 2
ln(x)
4. x 7→
x
1
5. x 7→
x ln(x)
6. x 7→ ln(x)
7. x 7→ exp(x) tan(exp(x))
8. x 7→ x3 exp(x)

3. Il est important de garder en tˆ
ete qu’une fonction doit ˆ
etre continue sur un intervalle pour pouvoir ˆ
etre primitiv´
ee sur cet
intervalle. Dans le cas d’une fonction admettant une discontinuit´
e comme la fonction inverse, on trouve une primitive sur chaque
intervalle o`
u elle est continue, puis on ”recolle” les morceaux.

2



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