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Nom original: RDM.pdf
Titre: RDM
Auteur: freddy

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RESISTANCE
DES
MATERIAUX

F.Golay
I.S.I.T.V.

-2-

I.S.I.T.V.

-3-

Résistance des Matériaux

Ce cours de résistance des matériaux a pour objectif d'approfondir la mécanique des
solides élastiques, puis à partir de la mécanique des milieux continus, nous introduirons la
théorie des poutres. Dans une première partie, nous étudierons la démarche qui nous permet
l'établissement des équations de la théorie des poutres (une démarche similaire pourrait être
utilisée pour les plaques et coques). Dans une deuxième partie, nous nous attacherons à
exposer les outils classiques de la théorie des poutres: étude de cas simples, méthodes
énergétiques, …etc…
La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des
structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général
utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de
l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes.

Ce polycopié est en perpétuel correction (quand j’en prends le temps). C'est pourquoi, je
serai reconnaissant aux étudiants de m'exposer toute suggestion susceptible d'en améliorer le
contenu.

I.S.I.T.V.

-4-

SOMMAIRE

RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
I - CINEMATIQUE ............................................................................................................................................7
I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ........................................................................................7
I - 2 Déformation......................................................................................................................................8
I - 3 Cas des petites perturbations............................................................................................................9
I - 4 Conditions de compatibilité ............................................................................................................10
II - STHENIQUE .............................................................................................................................................11
II -1 Forces.............................................................................................................................................11
II - 2 Contraintes ....................................................................................................................................11
II -3 Equilibre.........................................................................................................................................13
II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes............................................................................18
III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES ELASTIQUES ......................................................................21
III - 1 Approche expérimentale: essai de traction ..................................................................................21
III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .......................................................................22
III - 3 Théorème de superposition ..........................................................................................................24
III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes .........................................................24
III - 5 Thermoélasticité...........................................................................................................................24
THEORIE DES POUTRES
I - DEFINITIONS, HYPOTHESES DE BERNOUILLI ............................................................................................25
I - 1 Définition d'une poutre ...................................................................................................................25
I - 2 Notations.........................................................................................................................................25
I - 3 Hypothèse de Bernouilli..................................................................................................................26
II - DEPLACEMENTS ET FORCES GENERALISES ..............................................................................................27
II - 1 Déplacement généralisé ................................................................................................................27
II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ......................................................................................28
II - 3 Forces généralisées .......................................................................................................................28
III - DEFORMATION ET CONTRAINTES GENERALISEES ..................................................................................29
III - 1 Déformations généralisées...........................................................................................................29
III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs.....................................................................................31
III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre............................................................................32
IV - LOI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE LINEAIRE .....................................................................................34

I.S.I.T.V.

-5-

Résistance des Matériaux
ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

I - TRACTION OU COMPRESSION ...................................................................................................................36
I - 1 Définition ........................................................................................................................................36
I - 2 Déformations et contraintes............................................................................................................36
II - TORSION .................................................................................................................................................37
II - 1 Définition.......................................................................................................................................37
II - 2 Déplacement, contraintes, déformations .......................................................................................37
II - 3 Exemple .........................................................................................................................................39
III - FLEXION................................................................................................................................................40
III - 1 Flexion pure .................................................................................................................................40
III - 2 Flexion pure plane .......................................................................................................................40
III - 3 Flexion plane simple ....................................................................................................................41
III - 4 Exemples ......................................................................................................................................42
III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion ...........................................................................44
METHODES ENERGETIQUES
I - THEOREMES DE L'ENERGIE EN ELASTICITE LINEAIRE ...............................................................................49
I - 1 Notations et définitions ...................................................................................................................49
I - 2 Théorème fondamental ...................................................................................................................50
II - ENERGIE DE DEFORMATION EN RDM .....................................................................................................51
II - 1 Cas général ...................................................................................................................................51
II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression .................................................................................51
II - 3 Cas particulier de la flexion plane simple.....................................................................................52
II - 4 Cas particulier de la torsion..........................................................................................................52
III - THEOREME DE RECIPROCITE DE MAXWELL-BETTI ................................................................................53
IV - THEOREME DE CASTIGLIANO ET APPLICATIONS ....................................................................................54
IV - 1 Théorème de Castigliano .............................................................................................................54
IV - 2

Conséquence: Principe du travail minimum ou théorème de Ménabréa .............................55

IV - 3 Exemples ......................................................................................................................................56
V - EQUATION DE BERTRAND DE FONTVIOLANT ..........................................................................................58
V - 1 Enoncé ...........................................................................................................................................58
V-2

Application: Evaluation des réactions hyperstatiques surabondantes .....................................59

V-3

Application: Détermination des déplacements et rotations ......................................................60

FLAMBEMENT
I - STABILITE D'UNE POUTRE EN COMPRESSION ............................................................................................62
II - ETUDE DE QUELQUES CAS SIMPLES .........................................................................................................63
II-1 Colonne Rotule-Rotule ....................................................................................................................63

I.S.I.T.V.

-6II-2 Colonne Encastrée-Libre.................................................................................................................65
II-3 Colonne Encastrée-Rotule...............................................................................................................65
III - GENERALISATION: FORMULE D'EULER..................................................................................................66
IV - EXEMPLE ..............................................................................................................................................68
COMPORTEMENT AU DELA DU DOMAINE ELASTIQUE - CHARGES LIMITES
I - INTRODUCTION ........................................................................................................................................70
I-1 Critères de défaillance......................................................................................................................70
I-2 Comportement du matériau ..............................................................................................................70
II - ANALYSE LIMITE EN TRACTION ..............................................................................................................71
II-1 Analyse élastique.............................................................................................................................71
II-2 Analyse élastique-plastique .............................................................................................................72
II-3 Décharge .........................................................................................................................................73
III - ANALYSE LIMITE A LA TORSION ............................................................................................................74
III-1 Généralités .....................................................................................................................................74
III-2 Exemple..........................................................................................................................................75
IV - ANALYSE LIMITE A LA FLEXION ............................................................................................................76
IV-1 Généralités .....................................................................................................................................76
IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas".......................................................................................................77
IV-3 Théorème énergétique ....................................................................................................................79
BIBLIOGRAPHIE.........................................................................................................................................82
ANNEXE.........................................................................................................................................................84

I.S.I.T.V.

-7-

Résistance des Matériaux

RAPPELS DE MECANIQUE DES
MILIEUX CONTINUS

I - Cinématique
I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ...

L'espace physique est rapporté à un repère orthonormé direct (O, e 1 , e 2 , e3 ). L'ensemble
des particules ou points matériels constituant le milieu continu étudié, occupe à chaque instant
t, un ensemble de positions dans l'espace: c'est la configuration du système à l'instant t, noté
Ω(t) (d'intérieur Ω(t) et de frontière ∂Ω(t)).
On introduit aussi la notion de configuration de référence: c'est la configuration
particulière du système à un instant t0 fixé. Souvent on prendra Ω0 = Ω (0) , et on parlera alors
de configuration initiale.

Toute particule M0 de Ω0 est repérée par son vecteur position X(t) dans la configuration

de référence. Toute particule M de Ω(t) est repérée par son vecteur position x(t) dans la
configuration actuelle (à l'instant t).


ϕ ( X ,t)

Ω0


e3

e2

e1



x( X , t )


u( X , t )

M
X

M

O
Configuration de référence
à l’instant t0

Configuration actuelle
à l’instant t

Figure 1
La position de chaque particule M sera donc déterminée si on connaît sa position dans la
configuration de référence et une fonction Φ telle que:


x(t) = Φ X, t
(1)

Φ définit le mouvement par rapport à (O, e 1 , e 2 , e3 ) . Dire que le milieu est continu, c'est

( )

dire que Φ est une fonction continue et biunivoque de X.

X et t définissent les variables de Lagrange

x et t définissent les variables d'Euler

I.S.I.T.V.

-8-

Rappel de MMC

Le déplacement par rapport à la configuration Ω0 , à l'instant t, de la particule M0 est le
vecteur




u(X, t) = x(X, t) − X

(2)

I - 2 Déformation
Considérons deux particules voisines X et X+dX. A l'instant t ces particules occupent la




position x et x+dx avec dx(t) = Φ X + dX, t − Φ X, t

(

) ( )

Par définition du gradient on écrit:




2
∂Φ
X, t dX + Θ dX 
Φ X + dX, t = Φ X, t +
∂X



(

)

( )

( )

Soit

( )

( )

( )


∂Φ
F X, t =
X, t
(3)
∂X
F est une application linéaire qui fait passer de l'espace vectoriel dans lequel peut varier


dX dans l'espace vectoriel où varie à priori dx . Cette application linéaire, appelée tenseur
gradient, permet donc le passage de la configuration Ω0 à la configuration Ω(t).



dx = F X, t dX avec

En notation indicielle,

Fij =

∂Φ i ∂x i
=
∂X j ∂X j

 ∂x 1

 ∂X1
∂x
F= 2
 ∂X
 1
 ∂x 3
 ∂X1

∂x 1
∂X 2
∂x 2
∂X 2
∂x 3
∂X 2

∂x 1 

∂X 3 
∂x 2 
∂X 3 

∂x 3 
∂X 3 

Remarques:
* Transformation d'un élément de volume dV dans Ω0 en un élément de volume dv dans Ω(t).

()

dv = det F dV


* Transformation d'un élément de surface N dS dans Ω0 en un élément de surface dans Ω(t).
-T

n ds = det F F N dS
Le tenseur gradient décrit la transformation locale au voisinage d'une particule donnée.
Afin de rendre compte des déformations, c'est à dire des changements de forme autour de
cette particule, on s'intéresse à l'évolution du produit scalaire de deux vecteurs matériels pris
respectivement dans les deux configurations Ω0 et Ω(t).
Considérons trois particules voisines X, X+dX, X+dX'. Après déformations, elles occupent
dans Ω(t) les positions respectives x, x+dx, x+dx'.

I.S.I.T.V.

-9-

Résistance des Matériaux

(

)(

)






 ∂x
  ∂x ′

dx ⋅ dx ′ = F(X, t) dX ⋅ F(X ′, t ) dX ′ =  k dX i  ⋅  k dX ′j 

 ∂X i
  ∂X ′j

d'où sa variation autour de la transformation
 ∂x ∂x ′k


dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ =  k
− δ ij dX i dX ′j
 ∂X i ∂X ′j



soit




dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ = 2dXεdX ′

en posant
ε=

1 T

 F (X, t )F(X, t ) − 1
2


(4)

L'application linéaire ε est appelée tenseur des déformations. Cette application est

symétrique mais dépend bien sûr de la base (O, e 1 , e 2 , e3 ) initialement choisie.

Autre écriture:
D'après (2) et (3)
F(X, t) =

∂x
∂u
(X, t) = 1 +
(X, t)
∂X
∂X

soit
T
T


1  ∂u
∂u
∂u
∂u

ε =  (X, t) +
(X, t)+
(X, t) (X, t) 
2  ∂X
∂X
∂X
∂X




(5)

ou encore en notation indicielle
1  ∂u ∂u j ∂u k ∂u k 
+
ε ij =  i +
2  ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j 

I - 3 Cas des petites perturbations

∂u
Cette hypothèse correspond au cas où u (X, t ) et
(X, t ) sont petits.
∂X
En reprenant (5) et en ne retenant que les termes d'ordre 1, on obtient:
T


1  ∂u
∂u

ε HPP =  (X, t) +
(X, t) 
2  ∂X
∂X



ou encore en notation indicielle
1  ∂u ∂u j 
ε ij =  i +
2  ∂X j ∂X i 

I.S.I.T.V.

(6)

- 10 -

Rappel de MMC

I - 4 Conditions de compatibilité

A tout déplacement u on fait correspondre une déformation ε . On peut aussi se poser le
problème inverse. Ce problème est dit 'problème de compatibilité géométrique d'un champ de

déformation', ou encore 'problème d'intégrabilité d'un champ de déformation'.
Les conditions de compatibilité peuvent être établies dans le cas général, cependant nous
ne les établirons que dans le cas des petites perturbations.
Décomposons maintenant le gradient des déplacements en une partie symétrique ε et une
partie antisymétrique ω .
∂u
(X, t) = ε(X, t ) + ω(X, t )
∂X
T


1  ∂u
∂u

ω= 
(X, t) −
(X, t) 
2  ∂X
∂X




ωij =

1  ∂u i ∂u j

2  ∂X j ∂X i






On a
ωij,k = ε ki, j − ε jk ,i
soit en dérivant une nouvelle fois
ω ij,kl = ω ij,lk ∀ i,j,k,l dans {1,2,3}
∀i, j, k, lε ij, kl + ε kl, ij − ε ik , jl − ε jl, ik = 0

(7)

Réciproquement, si ε vérifie (7), alors les formes différentielles
dωij = ε ki , j − ε jk ,i dx k

(

)

sont exactes; elles permettent donc de construire le champ ω de tenseur antisymétrique.
On vérifie ensuite que les formes différentielles
du i = (ωik + ε ik )dx k


sont exactes, d'où la possibilité de construire un champ de déplacement u (X,t) défini dans Ω0 .

I.S.I.T.V.

- 11 -

Résistance des Matériaux

II - Sthénique
II -1 Forces
Elles résument les effets mécaniques, autres que cinématiques, exercés sur le milieu
continu considéré par le reste du domaine physique.
Leur schématisation à chaque instant

repose sur la définition d'un champ de vecteur Φ (x,t) et d'une mesure positive ω, définis sur

la configuration actuelle Ω(t). Φ (x,t) est une densité de force pour la mesure ω.

* Si ω est une mesure de volume, alors Φ (x,t) est une force volumique (densité
volumique
Ω(t) de la configuration actuelle, par la fonction
de force) définie dans
3
f: x ∈Ω(t) → f (x, t) ∈ ℜ

* Si ω est une mesure de surface, alors Φ (x,t) est une force surfacique (densité surfacique
de force) définie sur ∂ΩF(t) de la configuration actuelle, par la fonction


F : x ∈∂Ω F (t) → F(x,t) ∈ ℜ 3
* ... etc ...

Remarques:
* Les forces sont définies sur la configuration actuelle.
* A un instant donné et en un point donné x de ∂Ω(t), on ne peut imposer à la fois le
déplacement et la force !. Mais l'un des deux doit être imposé. On note ∂ΩF(t) la frontière où
la force est imposée, et ∂ΩU(t) la frontière où le déplacement est imposé. Dans le cas des
appuis mobiles, les composantes non imposées cinématiquement le sont pour les forces
* Le monde extérieur au milieu considéré doit, pour imposer le déplacement U(t) au bord

∂ΩU(t), exercer des forces que nous noterons R (x,t) . Comme elles sont à priori inconnues,
nous les appellerons réactions pour éviter de les confondre avec les autres forces qui, elles,
sont données.

II - 2 Contraintes

e3

II - 2.1 Notion de Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes
Soit un corps (C) en équilibre par application d'un
système d'actions mécaniques extérieures. Imagi-nons
e2 dF

O
e1

Σ

δΣ
M

qu'une surface Σ divise (C) en deux parties (1) et (2). La

n

partie (1) est en équilibre sous les actions mécaniques
extérieures qui lui sont appliquées et les actions

ds

mécaniques exercées par la partie (2). Nous admettrons
que sur chaque élément de surface dΣ de Σ, (2) exerce sur


(1) une force dF( x , t , n )1 / 2
de densité superficielle


T(x, t, n ) .





dF( x, t , n )1 / 2 = T( x , t , n )dΣ
(8)


T ( x , t , n ) est le vecteur contrainte au point x, relativement à la facette dΣ définie par son

I.S.I.T.V.

- 12 -

Rappel de MMC


vecteur normal n .
La densité surfacique de forces exercées en x dépend de x, t et aussi de l'orientation de la

surface Σ au voisinage de x. Elle est linéairement dépendante de n . On introduit alors
l'application σ telle que:



T( x , t , n ) = σ( x , t )n

(9)

L'application σ (x,t) s'appelle le tenseur des contraintes de Cauchy en x à l'instant t; il
caractérise, dans la configuration actuelle, les efforts intérieurs de cohésion exercés sur une

partie du solide à travers l'élément de surface n dΣ.

II - 2.2 Autre écriture du tenseur des contraintes


En utilisant la remarque du §I-2 pour exprimer n dΣ en fonction de N dS, (8) devient:



dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = Π N(X)dS

(

)

où Π est le tenseur




Π (X,t): N ∈ℜ 3 → Π(X, t, N ) = Π(X,t)N

∈ ℜ3

défini par
Π (X, t ) = (det F)σF

−T

Cette application linéaire Π (X, t ) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le premier tenseur des

contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t; la composante Πij est la iième composante du

vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à e j , de la
configuration de référence. On prendra garde au fait que le tenseur Π n'est pas symétrique.
Si maintenant on cherche le vecteur "force de cohésion" dans la configuration de référence


−1



dF0 X, t , N = F
(X, t )dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = SN(X)dS

(

)

(

)

où S est le tenseur défini par
−1

S=F Π
Cette application linéaire S(X,t) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le second tenseur des
contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t. Attention, sa composante Sij n'est pas la
iième composante du vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à

e j , de la configuration de référence, mais seulement la iième composante de son transporté
dans la configuration de référence.
Selon le jeu d'écriture adopté, on a donc trois descriptions des contraintes:

( )

σ = det F

−1

T

( )

Π F = det F

−1

FSF

T

(10)

I.S.I.T.V.

- 13 -

Résistance des Matériaux

II -3 Equilibre
II - 3.1 Le Principe des Puissances Virtuelles
Pour schématiser les efforts mis en jeu, il est commode d'imaginer des mouvements fictifs
(ou virtuels) et d'analyser le travail ou la puissance qui en résulte. Par exemple, pour évaluer
les forces de gravité agissant sur un objet, on peut imaginer de le soulever (mouvement virtuel
de bas en haut).
II-3.1.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972)
Un milieu matériel étant isolé, on peut distinguer les actions extérieures qui agissent sur le
milieu, des actions intérieures qui représentent les liaisons existant entre toutes les parties du
milieu.

Axiome d'objectivité
La puissance virtuelle des efforts intérieurs associée à tout mouvement rigidifiant est nulle.
Axiome d'équilibre
Pour tout milieu matériel repéré dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout
mouvement virtuel, la puissance virtuelle des quantités d'accélération ∏a est égale à la
somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs ∏i et des efforts extérieurs ∏e.
II-3.1.2 Position du problème
F

e3

n

e2

O
e1

f

Ω(t )

Σ(t )

Soit un milieu continu Ω(t) d'intérieur Ω(t) et de
frontière ∂Ω(t). Isolons maintenant un domaine Σ(t)

de frontière ∂Σ(t) intérieur à Ω(t), et soit n la
normale en un point de ∂Σ (t). A un instant t fixé,
un mouvement virtuel défini par une vitesse

virtuelle δv est appliqué à Σ(t). Cette vitesse est
supposée continue et continûment dérivable sur
Σ(t).

II-3.1.3 Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Pour déterminer la puissance virtuelle des efforts intérieurs nous ferons les hypothèses
suivantes:
* Πi admet une densité volumique pi:
Π i =∫∫∫Σ p i dx



* Πi est en chaque point une forme linéaire des valeurs en ce point de δ v et de ses
dérivées premières:

I.S.I.T.V.

- 14 -

Rappel de MMC

En décomposant le gradient des vitesses virtuelles en une partie symétrique δD et une
partie antisymétrique δW ,

∂δv
=δD+δW
∂x
T

1  ∂δv ∂δv 
δW = 

2  ∂x ∂x 


T

1  ∂δv ∂δv 
δD= 
+
2  ∂x ∂x 



1  ∂δv i ∂δv j 
δWij = 

2  ∂x j ∂x i 
1  ∂δv i ∂δv j 
δD ij = 
+
2  ∂x j ∂x i 

la densité volumique des efforts intérieurs devient:
pi = Ai δvi + Bij δwij - σij δDij

(11)

Le premier axiome du principe des puissances virtuelles impose que pour tout mouvement
de solide rigide la puissance des efforts intérieurs soit nulle. D'où:

- Soit un mouvement de translation: δv ≠ 0 , δW=0 et δD=0
alors


Π i =∫∫∫Σ p i dx =∫∫∫Σ A ⋅ δvdx =0
∀ ∑ dans Ω



soit A ⋅ δv = 0 ∀ δv , ou encore A = 0

- Soit un mouvement de rotation: δv = 0 , δW≠0 et δD=0
alors

Π i = ∫∫∫ pi dx = ∫∫∫ B:δW dx = 0
Σ

Σ

∀ Σ dans Ω

soit B : δW =0∀δW , ou encore B = 0 .
Donc en définitive:

Π i =− ∫∫∫Σ σ:δDdx

(12)

On peut montrer que le tenseur σ introduit ici correspond bien au tenseur des contraintes
de Cauchy exprimé au §II-2.1.
II-3.1.4 Puissance virtuelle des efforts extérieurs
Les efforts extérieurs comprennent
- des efforts exercés à distance par des systèmes extérieurs à Ω, supposés définis par une

densité volumique de forces f ,

- des efforts de cohésion schématisés par une densité surfacique de force T sur ∂∑


Π e =∫∫∫Σ f ⋅ δvdx + ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx
(13)

I.S.I.T.V.

- 15 -

Résistance des Matériaux

II-3.1.5 Puissance virtuelle des quantités d'accélération

Si γ est l'accélération et ρ la masse volumique de chacun des points de ∑, alors

Π a =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx
(14)

II - 3.2 Application du Principe des Puissances Virtuelles
En application du Principe des Puissances Virtuelles on obtient:



− ∫∫∫Σ σ:δDdx+ ∫∫∫Σ f ⋅ δvdx+ ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx

(15)

Pour exploiter le fait que (15) est vérifié pour tout mouvement virtuel, nous allons faire

apparaître δv dans chacun des termes.
En appliquant le théorème de la divergence, le premier terme devient:


∂δv
− ∫∫∫Σ σ:δDdx =− ∫∫∫Σ σ:
dx=−∫∫∂Σ σ ⋅ δv ⋅ ndx + ∫∫∫Σ div x σ ⋅ δvdx
∂x
Soit:





∫∫∂Σ T−σ ⋅ n ⋅ δvdx+ ∫∫∫Σ f +div x σ−ργ ⋅ δvdx = 0∀δv

(

)

(

)

Ou encore

f +div x σ=ρ γ dansΣ


T=σ ⋅ n sur∂Σ

(16)

II - 3.3 Equilibre
En considérant les développements du paragraphe précédent et en se ramenant au domaine
Ω(t), nous pouvons donc écrire les équations d'équilibre d'un solide soumis
à un champ de

forces extérieures f dans Ω(t), à un champ de forces extérieures Fe sur ∂ΩF(t) et à un

déplacement imposé U e sur ∂ΩU(t).
Dans la configuration actuelle:


f ( x , t )+div x σ( x , t )=0∀x∈Ω( t )

Fe ( x , t )∀x∈∂Ω F ( t )

σ( x , t ) ⋅ n ( x , t )=
R ( x , t ) ∀x∈∂Ω U ( t )

(17)
(18)

Dans la configuration de référence:


De même, si on note f0 , R 0 et F0 les densités volumiques et surfaciques de forces
mesurées dans la configuration de référence:


f 0 (X, t )+div X Π (X, t )=0∀x∈Ω 0

I.S.I.T.V.

(19)

- 16 -

Rappel de MMC


F0 ( x , t )∀x∈x −1 (∂Ω F ( t ), t )

Π (X, t ) ⋅ N(X, t )=
R 0 ( x , t )∀x∈∂Ω 0 U

(20)

II - 3.4 Cas des petites perturbations
Reprenons (17), en l'exprimant en fonction de X
∂σ ij
f i (x (X, t ), t )+
( x (X, t ), t )=0∀x (X, t )∈Ω( t )
∂x j

f i (x (X, t ), t )+

∂σij
∂X k

(X, t )

∂X k
(X, t )=0∀X∈Ω 0
∂x j



∂x
∂u
Or x(X,t) = X + u(X,t) soit
(X, t )=1+
( X, t )
∂X
∂X
On peut donc écrire l'équation d'équilibre sous la forme
−1

 ∂u

f i (x (X, t ), t )+
(X, t )1+
(X, t ) =0∀X∈Ω 0
∂X k
 ∂X
 kj
∂σij

Sous l'hypothèse des petites perturbations, on peut alors écrire:
−1

 ∂u

∂u
(X, t ) =1−
( X, t )
1+
∂X
 ∂X

soit
fi (x(X,t),t ) +

∂σ ij



∂u
(X,t) δ jk − k (X,t)  = 0
∂X k
∂X j



∀ X ∈Ω 0

Enfin, en ne retenant que les termes d'ordre 0, et après avoir effectué un développement de
fi au voisinage de X, on obtient:
∂σij
f i (X, t )+
(X, t )=0∀X∈Ω 0
∂X j
soit



f (X, t )+div X σ(X, t )=0∀x∈Ω 0

(21)


Le raisonnement
qui a permis de remplacer f (x(X,t),t)
par f (X,t), permet aussi de


remplacer Fe (x(X,t),t) par Fe (X,t) et R (x(X,t),t) par R (X,t). Donc, comme condition sur la
frontière on obtient:


Fe (X, t )∀X∈∂Ω 0F
σ(X, t ) ⋅ N(X, t )=
R (X, t ) ∀X∈∂Ω 0 U

I.S.I.T.V.

(22)

- 17 -

Résistance des Matériaux

II - 3.5 Autre approche
On utilise la loi fondamentale de la dynamique qui stipule que :
le torseur dynamique, qui est la dérivée temporelle du torseur cinématique est égal au
torseur des actions extérieures.
Ce qui se met en équations sous la forme suivante, en l’appliquant au domaine d ‘étude Σ :


d

∫∫∫Σ ρv dx = ∫∫∂Σ T dx + ∫∫∫Σ f dx
dt
(23)



d

∫∫∫ OM ∧ ρv dx = ∫∫∂Σ OM ∧ T dx + ∫∫∫Σ OM ∧ f dx
dt Σ

Par application des propriétés de la dérivée particulaire on peut écrire pour tout vecteur b :



 ∂ρb
d
+ div(ρb ⊗ v)  dx
∫∫∫Σ ρb dx = + ∫∫∫Σ 
dt
 ∂t



puis en utilisant le fait que pour tout vecteurs a et b



div(a ⊗ b) = ∇a ⋅ b + a divb
on peut développer sous la forme




 ∂ρb
d

+ ∇ρb ⋅ v + ρb divv  dx
∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ 
dt
 ∂t






 ∂b ∂ρ
d

∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b + ρ∇b ⋅ v + ∇ρ ⊗ b ⋅ v + ρb divv  dx
dt
∂t
 ∂t



  ∂ρ
  ∂b


d
ρ
b
dx
=
ρ
+

b
⋅ v  + b  + ∇ρ ⋅ v + ρ divv   dx

∫∫∫Σ
∫∫∫Σ  
dt
 ∂t
 

  ∂t
Par définition de la dérivée particulaire :


 db  ∂ρ
d

∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b  + divρv   dx
dt
 ∂t

 dt
Donc, grâce à la conservation de la masse
∂ρ


+ divρv =
+ ρ divv = 0
∂t
dt
et la définition du vecteur contrainte (8), la première équation de (23) devient :




d

dv
dx = ∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∂Σ σn dx + ∫∫∫Σ f dx
∫∫∫Σ ρv dx = ∫∫∫Σ ρ
dt
dt
et par application du théorème de la divergence


∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∫Σ div σ dx + ∫∫∫Σ f dx .

(24)

On retrouve donc bien la forme locale de la conservation de la quantité de mouvement :


div σ + f = ργ
(25)

I.S.I.T.V.

- 18 -

Rappel de MMC

II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes est un tenseur symétrique. Dans tous les développements à
venir, nous nous placerons dans le cas des petites perturbations pour un solide en équilibre.
En conséquence, nous omettrons les variables x et t.

II - 4.1 Contrainte normale et contrainte tangentielle
σn


n


T(n)

τ


Considérons une facette
de
normale
n
. Tout naturellement, le

vecteur contrainte T (n ) peut être décomposé en une
composante normale σn et une composante tangentielle τ.


σ n =T (n ) ⋅ n =n ⋅ σ ⋅ n
et
2
2
τ = σ⋅n − n ⋅σ⋅n

( ) (

)

On dira que σn est positive en traction et négative en compression.

II - 4.2 Directions principales, contraintes principales
La matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc
diagonalisable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contraintes principales (σI, σII,
σIII). Les vecteurs propres, orthogonaux deux à deux, sont les directions principales

(n I , nII , nIII ). On a donc:





σ I =T (n I ) ⋅ n I ,σ II =T (n II ) ⋅ n II ,σ III =T (n III ) ⋅ n III
II - 4.3 Invariants
Le tenseur des contraintes possède trois invariants définis mathématiquement comme les
coefficients de l'équation caractéristique det σ − α 1 . C'est à dire les quantité scalaires:

(

)

Σ I = Tr(σ)
2 
1
Σ II = Tr (σ) 2 −Tr (σ )
2


(27)

Σ III =Det (σ)

(29)

(28)

Exprimés en fonction des contraintes principales, on obtient
ΣI = σI + σII + σIII
ΣII = σI σII + σII σIII + σIII σI
ΣIII = σI σII σIII

II - 4.4 Cercles de Mohr
Connaissant le tenseur des contraintes σ , on se propose de déterminer le domaine

engendré par l'extrémité du vecteur contrainte quand n varie. Par commodité, nous nous
I.S.I.T.V.

- 19 -

Résistance des Matériaux

plaçons dans une base orthonormée dirigée suivant les directions principales de σ . Soit
n1 
σ1 0 0 
 
n=n 2 et σ= 0 σ2 0  avecn12 +n 22 +n 32 =1
n 
 0 0 σ3 
 3
et

n σ 
 1 1
T = n 2 σ 2 
n σ 
 3 3
D'après (23)
2
2
2
σ n = σI n1 + σ II n2 + σ III n 3
et d'après (24)
2
2
2 2
2 2
2
2
τ + σ n = σ I n1 + σII n 2 + σ III n3
Dans l'hypothèse où les contraintes principales sont distinctes, on obtient alors après
résolution du système:
2
2 τ + (σ n −σ II )(σ n −σ III )
n1 =
(σ I −σ II )(σ I −σ III )
n 22 =

τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III )
(σ II −σ I )(σ II −σ III )

n 32 =

τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II )
(σ III −σ I )(σ III −σ II )

Si on ordonne les contraintes principales de telle sorte que σI ≥ σII ≥ σIII , alors

τ 2 + (σ n −σ II )(σ n −σ III )≥0
τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III )≤0
τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II )≥0
ou encore
2

σ +σ   σ −σ 

τ + σ n − II III  ≥ II III 
2
2

 


2

2

2

σ +σ   σ −σ 

τ 2 + σ n − I III  ≤ I III 
2   2 

2

σ +σ   σ −σ 

τ + σ n − I II  ≥ I II 
2   2 


(30)

2

(31)

2

2

(32)

Dans le plan de Mohr, l'extrémité du vecteur contrainte, d'après (31), est donc intérieure au
cercle centré sur 0σn d'abscisse (σI + σIII)/2 et de rayon (σI - σIII)/2. Par contre, d'après (30)
(res. (32)), l'extrémité du vecteur contrainte est extérieure au cercle centré sur 0σn d'abscisses
(σII + σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2) et de rayon (σII - σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2).

I.S.I.T.V.

- 20 -

Rappel de MMC

τ

T
σIII

σII

σI

σn

Description des Cercles principaux:
Nous allons étudier la description du grand Cercle de Mohr. Les facettes concernées sont
parallèles à la direction associée à la contrainte principale σII.

III

t


n

On constitue avec les directions I,III,II un trièdre direct


(O, e I , e III , e II ) , la normale n de la facette évoluant dans le plan I

θ

III.

I




Et on définit l'angle θ = (I, n ), et le vecteur t tel que ( n , t ,II) soit
direct.

On a alors



n =Cosθe I +Sinθe III
et




T=σ I Cosθe I +σ III Sinθe III



En utilisant les formules de changement de base de (O, e I , e III , e II ) à ( n , t ,II), on a donc
σ +σ
σ −σ
σ n = I III + I III Cos 2θ
2
2
σ −σ
τ=− I III Sin 2θ
2
τ

σIII

σI+σ
σIII
2

Lorsque la facette tourne autour de la direction de
la contrainte principale σII d'un angle donné,
σI
− 2θ

σn

l'extrémité du vecteur-contrainte tourne sur le cercle
de Mohr d'un angle double dans le sens opposé
(autour du centre du cercle).


T

I.S.I.T.V.

- 21 -

Résistance des Matériaux

III - Loi de Comportement pour les solides élastiques
Pour déterminer l'évolution d'un système déformable, nous avons déjà déterminé les
équations de la cinématique et de la sthénique. A ces équations, il est maintenant nécessaire
d'adjoindre une relation supplémentaire reliant les efforts internes et les grandeurs
cinématiques. Cette relation, appelée Loi de Comportement, dépend du matériau considéré.
La construction d'une loi de comportement est basée sur des observations expérimentales.
Dans ce chapitre nous exposerons le modèle de comportement des matériaux élastiques,
sous l'hypothèse des petites perturbations.

III - 1 Approche expérimentale: essai de traction
Pour effectuer un essai de traction simple sur un
métal,

on

utilise

une

éprouvette

cylindrique

caractérisée par:
- des extrémités surdimensionnées
- des congés de raccordement (pour éviter les
concentrations de contrainte)
- une partie médiane cylindrique dans laquelle le
L champ de contrainte est supposé homogène, de

L0

S0

traction simple parallèlement à l'axe de l'éprouvette.
L'essai de traction consiste à enregistrer l'évolution
de l'allongement relatif de la longueur initiale L0 en
fonction de la force de traction F, ou du rapport
F/S0, où S0 représente l'aire initiale de la section de
l'éprouvette.

σ0

La figure ci-contre représente un tel enregistrement pour un

B

F
S0

acier inox. On remarque alors les propriétés suivantes:
- Le diagramme est indépendant de la vitesse de chargement

A

- La partie OA du diagramme est réversible. Si on charge
jusqu'à un niveau inférieur à σ0, alors la décharge décrit la
même courbe OA.

C

²L
L0

- La partie réversible est linéaire
- Si on effectue un chargement au delà du seuil σ0, puis
une décharge, l'éprouvette

permanente.

I.S.I.T.V.

présente une déformation

- 22 -

Rappel de MMC

La partie réversible du diagramme de traction est, par définition, représentative du
comportement élastique du matériau. σ0 est la limite initiale d'élasticité du matériau. La
linéarité du segment OA caractérise le comportement élastique linéaire du matériau.

III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP)
III - 2.1 Forme générale
A partir des observations expérimentales on peut écrire que les contraintes dépendent
linéairement des déformations. En l'absence d'effets thermique et de contraintes initiales on a:

σ( x , t )=C( x ):ε( x , t )

(33)

C est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d'élasticité
du matériau.
σ ij ( x , t )=C ijkl ε kl ( x , t )
En utilisant les propriétés des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que:
Cijkl = Cjikl Cijkl = Cijlk Cijkl = Cklij
Le tenseur C , dont la matrice représentative comporte 81 composantes, ne dépend donc
plus que de 21 paramètres indépendants.

III - 2.2 Matériau élastique homogène isotrope
Toutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est
invariante dans toute rotation de la configuration de référence. Ce modèle s'applique à la
plupart des matériaux: acier, béton, ...
Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s'écrit:

σ=λTr (ε)1+2µε

(34)

ou encore en notation indicielle
σij =λε kk δij +2µεij
Les coefficients matériel λ et µ, qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les

coefficients de Lamé. Leur expression en fonction du module d'Young E et du coefficient
de Poisson ν, est
E
νE
µ=
etλ=
ou
2(1+ν)
(1+ν)(1−2ν)

(35)

µ(3λ + 2µ)
λ
E=
etν =
λ+µ
2( λ + µ )
avec, en inversant (34)
ν
1+ν
ε=− Tr (σ)1+
σ
E
E

(36)

I.S.I.T.V.

- 23 -

Résistance des Matériaux

III - 2.3 Matériau élastique homogène orthotrope
Le matériau possède trois directions privilégiées deux à deux orthogonales. La loi de
comportement est invariante par les symétries par rapport aux plans orthogonaux construits à
partir de ces directions. Dans ces matériaux, on peut classer les tôles laminées, les composites
tissés, le bois, certains bétons structurés, ...
Dans ce cas on montre que la matrice de comportement est définie par 9 paramètres
indépendants. Dans le repère principal d'orthotropie, la loi se met sous la forme:
− ν12 − ν13
 1

0
0
0 
 E
E1
E1
 1

− ν 23
1
 − ν 21
0
0
0   σ11 
ε11  

E
E
E
2
2
ε   2
 σ 22 
1
 22   − ν 31 − ν 32

0
0
0 
ε 33   E

σ
E3
E3
  33 
3

=
σ 
1
2ε12   0
0
0
0
0   12 
G12
2ε 23  
 σ 23 

 
1
  σ 
2ε13 
0
0
0
0
0

  13 
G 23


1 
 0
0
0
0
0

G13 

(37)

Avec les conditions de symétrie
ν12 ν 21 ν13 ν31 ν32 ν 23
=
=
=
E1
E2
E1
E 3 E3
E2

III - 2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse
Un matériau homogène isotrope transverse est tel que la matrice de comportement est
invariante par toute rotation autour d'un axe privilégié. En utilisant cette invariance, on
montre que seuls 5 paramètres indépendants caractérisent le comportement. Si l'axe est porté
par la direction 3, on a alors:
− ν12
 1
 E
E1
 1

ν
1
 21
ε11  
E1
ε   E1
22

ν

ν 31

  31
ε 33   E 3
E3

=
2ε12   0
0
2ε 23  


2ε13   0
0


 0
0


− ν13
E1
− ν13
E1
1
E3

0

0

0

0

0

0

0

1
G12

0

0

0

1
G13

0

0

0

I.S.I.T.V.


0 

0  σ11 

σ 22 

0 

σ

 33 
 σ 
0  12 
σ 23 


0  σ13 

1 

G13 

(38)

- 24 -

Rappel de MMC

III - 3 Théorème de superposition


Si ( U, f , F) et (V, g, G ) sont deux jeux de données engendrant respectivement des solutions







u et v , alors α u +β v est solution du problème de données (αU + βV,αf + β g,αF + β G ) .

III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes
Les critères de résistance que nous allons définir représentent des valeurs limites pour les
contraintes maximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux
déformations.

III - 4.1 Critère de Tresca
Il consiste à considérer de manière indépendante les trois contraintes de cisaillement
maximal du tricercle de Mohr. Soit en fonction des contraintes principales
Sup{σ I −σ II , σ I −σ III , σ II −σ III }≤σ 0

III - 4.2 Critère de Von-Mises
1
(σ I −σ II ) 2 +(σ I −σ III ) 2 +(σ II −σ III ) 2 ≤σ 0
2

(

)

(39)

(40)

ou encore
1
(σ11 −σ 22 ) 2 +(σ11 −σ 33 ) 2 +(σ 22 −σ33 ) 2 +6(σ12 2 + σ13 2 + σ 232 ) ≤σ 0
2

(

)

III - 5 Thermoélasticité
Tout solide soumis à un écart de température cherche à se dilater s’il le peut. S’il ne peut
se dilater, alors il y a apparition de contraintes dites « d’origine thermiques ». Ce phénomène,
pour des écarts de température δT faibles par rapport à la « température de repos se traduit par
une loi de comportement dans le cas général sous la forme:

(

σ(x, t) = C(x) : ε(x, t) − αδT

)

(41)

où α représente le tenseur anisotrope des dilatations (en °C-1).
Pour plus de rigueur, nous invitons le lecteur à se référer au polycopié du cours de
Mécanique des Milieux Continus.
Dans le cas où le matériau est isotrope la loi se simplifie en :
σ = λ Tr( ε) 1 + 2 µ ε − α(3λ + 2µ) δT 1
Et la relation inverse :
ν
1+ ν
ε = − Tr( σ) 1 +
σ + α δT 1
E
E

I.S.I.T.V.

(42)

(43)

- 25 -

Résistance des Matériaux

THEORIE DES POUTRES
A partir de ce chapitre, on utilise les hypothèses des petites perturbations, du quasiéquilibre et de l'élasticité linéaire isotrope.

I - Définitions, hypothèses de Bernouilli
I - 1 Définition d'une poutre
On appelle poutre le solide engendré par une surface plane dont le centre de gravité décrit
une courbe γ, la surface S restant normale à cette courbe, avec:
* La courbe γ est appelée ligne moyenne ou fibre moyenne
* La surface S est appelée section normale
* Le rayon de courbure en tout point de γ doit être grand par rapport aux dimensions de S
* Les dimensions de S sont négligeables devant la longueur de la courbe γ
* Les variations de forme et de dimension de S doivent être progressives

I - 2 Notations
Considérons une poutre rectiligne de section droite constante S0 et de longueur L0 dans la
configuration de référence. A cette configuration de référence on associe le repère orthonormé

direct (O,e1 ,e 2 ,e3 ) , tel que :
* O est un point d'une section extrémité de la poutre sur la fibre moyenne

* e1 est le vecteur unitaire porté par l'axe de la poutre

* e 2 est un vecteur unitaire dans le plan des sections droites, de préférence parallèle à un
axe de symétrie de S (s'il en existe un)

e
2


e1
X1

e3

S

On note S(X1) la section droite d'abscisse X1. Dans la configuration déformée, le point

courant de la fibre moyenne déformée est x( X1 ) ,
* le vecteur unitaire tangent à la déformée de la fibre moyenne
I.S.I.T.V.

- 26 -

Théorie des poutres



−1
t (X1 )=a F(X1 )e1 aveca = F(X1 )e1



* Le plan P(X1) tangent en x( X1 ) à x(S(X1 )) , défini par le point x( X1 ) et les vecteurs


−1
F(X1 )e3 et E 2 (X1 )=bF(X1 )e 2 avecb= F(X1 )e 2

* Le vecteur unitaire E 1 (X1 ) normal à P(X1)




* Le vecteur unitaire E 3 (X1 ) tel que ( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) soit un repère

orthonormé direct.

S(X 1 )


E 3 (X1 )


E 2 (X1 )

E 1 (X1 )

t (X1 )




On notera u (X)=u (X1 , X 2 , X 3 ) le déplacement de la particule X, et u (X1 ) celui de la
particule située sur la fibre moyenne.

I - 3 Hypothèse de Bernouilli
Le caractère linéique de la géométrie des poutres fait qu'on s'attend à ce que les
phénomènes prépondérants soient essentiellement longitudinaux. On ne s'intéressera donc pas
aux déformations de sections droites. On énonce alors les hypothèses de Bernouilli

(i) Les sections droites restent planes
(ii) Les sections droites se déforment librement dans leur plan
(iii) La variation des déformations de la section le long de la poutre est très petite
Remarques:
* D'après (i) on peut confondre P(X1) et x(S(X1))
* Le déplacement de la section droite peut être représenté par un vecteur translation (par


exemple u (X1 ) et par un vecteur rotation (par exemple le vecteur rotation ω (X1 ) du repère




( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) par rapport au repère (O, e1 , e 2 , e3 ).
* Le déplacement d'un point courant de la section considérée, dû à la déformation de la
section, est donc de la forme


v 2 ( X )E 2 ( X1 )+ v 3 ( X )E 3 ( X1 )
les fonctions v2 et v3 sont nulles en X1, et d'après (iii) leurs dérivées v2,1 et v3,1 petites

I.S.I.T.V.

- 27 -

Résistance des Matériaux

devant ui , ωi et ui,1 , ωi,1. On peut donc écrire:






∀ X ∈ S(X1 ) u(X) = u(X1 ) + ω(X1 ) ∧ X1X + v 2 (X) E 2 (X1 ) + v 3 (X) E 3 (X1 ) (1)
L'hypothèse des petites perturbations fait que les composantes ui, vi, et ωi sont petites; ceci




implique que E 2 (X1 ) est de la forme e 2 + η , ainsi que E 3 (X1 ).

Si on explicite (1) dans la base (e1 , e 2 , e3 ) en ne retenant que les termes d'ordre 1, on
obtient:

u1 (X1 )+ω 2 (X1 )X 3 −ω3 (X1 )X 2 



∀X∈S(X1 )u (X)=u 2 (X1 )−ω1 (X1 )X 3 + v 2 (X)

 u ( X ) +ω ( X ) X + v ( X )

1
1
2
3
 3 1


(2)

On remarque alors, en ne retenant que les termes d'ordre 1:



- F(X1 ) e 2 et x(X1 ) x(X1 ,1,0) sont égaux et unitaires, donc égaux à E 2


- F(X1 ) e 3 est unitaire et orthogonal à F(X1 ) e 2
Par contre,

(F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u
(F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u
1

1

1

2

2,1 (X1 )−ω3 ( X1 ) + ⋯

1

1

1

3

3,1 ( X1 )+ω 2 ( X1 ) + ⋯

Donc en général la déformée d'une section droite n'est pas, au second ordre près,
orthogonale à la déformée de la fibre moyenne.

II - Déplacements et forces généralisés
La géométrie des poutres fait que les sollicitations extérieures peuvent être considérées
comme données
i
i +1
0
J
- soit sur une partie de la surface latérale [ X1 ; X1 ]∈∂S i ∈ {0,...,J} avec X 1 =0 et X1 =L
- soit sur les sections extrémités
i
- soit sur des cercles Γi = { X1 }∈∂S

II - 1 Déplacement généralisé
Afin de bien distinguer le déplacement du milieu continu de celui de la fibre moyenne, on
note


u (X1 ,0,0)=u f


D'après (2), se donner u satisfaisant à l'hypothèse de Bernouilli équivaut à se donner

u p =(u f , ω)
On appellera uP le déplacement généralisé de la poutre.

I.S.I.T.V.

- 28 -

Théorie des poutres

II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs


Soit δu une vitesse virtuelle de déplacement et φ un système de forces extérieures, c'est à

dire le couple ( f , F ) densité volumique de forces et densité surfacique de forces. La puissance
virtuelle des efforts extérieurs s'écrit alors:



Π ext (δu , φ)=∫∫∫Ω f ⋅ δudx + ∫∫∂Ω F ⋅ δudx
ou encore

(

)

J −1x i +1 
J
J −1x i +1


Π ext (δu , φ)= ∑ ∫ ∫∫S f ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫  ∫ F ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫ F ⋅ δu dx
i =1 x i
i =1 x i  ∂S
i =1Γi

f
p
Soit δu = (δu ,δω ) une vitesse virtuelle généralisée de la poutre, et associons lui la

vitesse virtuelle de déplacement

 δu1f   δω1f   0  δu1f + δωf2 X 3 − δωf3 X 2 






 
   

δu(X) = δu f (X1 ) + δω(X1 ) ∧ X1X =  δu f2  + δωf2  ∧  X 2  = 
δu f2 − δω1f X 3

f
f
 δu f   δωf   X  

δu 3 + δω1 X 2
 3  3  3 


(

)


et en utilisant la propriété du produit mixte (a ∧ b) ⋅ c = a ⋅ (b ∧ c) , on a finalement


J −1 x i +1

Π ext ( δu, φ) = ∑ ∫ δu f ⋅  ∫∫S f dx + ∫ F dx  dX1
i =1 x i
∂S




J −1 x i +1
+ ∑ ∫ δω⋅  ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx  dX1
(3)
i =1 x i
∂S





J 

+ ∑ δu f (X1i ) ⋅ ∫ F dx + δω(X1i ) ⋅ ∫ X1X ∧ F dx 
i =1 
Γi
Γi


II - 3 Forces généralisées
En posant





f f (X1 ) = ∫∫S f dx + ∫ F dx
Fi = ∫ F dx
∂S
Γi



i
f
c (X1 ) = ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx C = ∫ X1X ∧ F dx
∂S

Γi

Soit
J

Π ext (δu , φ)=Π ext (δu p , φ p )=∫0L δu f (X1 ) ⋅ φ f (X1 )dX1 + ∑ δu f (X1i ) ⋅ Φ i
i =1
f f i i i
p
f
1
J
f
avec φ = φ ,Φ ,⋯, Φ etφ = f ,c ,Φ = F ,C

(

)

(

) (

(4)

)

On appelle φP force généralisée appliquée à la poutre. Cette force est constituée d'une
densité linéique de force généralisée φf répartie le long de la fibre moyenne et de forces
généralisée concentrées Φi.

I.S.I.T.V.

- 29 -

Résistance des Matériaux

III - Déformation et contraintes généralisées
III - 1 Déformations généralisées
D'après (2) en utilisant l'hypothèse des petites perturbations, et en négligeant les dérivées
de v2 et v3,on obtient
 f

Sym
Sym 
u1,1 + ω2,1X 3 − ω3,1X 2
1

(5)
v 2, 2
Sym 
ε=  u f2,1 − ω1,1X 3 − ω3
2

1
 1 uf + ω X + ω
(v 2,3 + v 3,2 ) v 3,3 
1,1 2
2
 2 3,1
2


(
(

)
)

En introduisant alors les six quantités
a1 (X1 )=u1f,1 (X1 )
χ1 (X1 )=ω1,1 (X1 )

a 2 (X1 )=u f2,1 (X1 ) − ω3 (X1 ) χ 2 (X1 )=ω2,1 (X1 )
a 3 (X1 )=u 3f ,1 (X1 ) + ω 2 (X1 )
on trouve de manière simple

a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2
 1
(a 2 − χ1X 3 )
ε= 
 2
 1 (a + χ X )
1 2
 2 3

(6)

χ 3 (X1 )=ω3,1 (X1 )

Sym
v 2, 2
1
(v 2,3 + v 3,2 )
2


Sym 

Sym 

v 3,3 


(7)

Les six quantités définies par (6) constituent la déformation généralisée de la poutre en la
section S(X1).
Afin d'interpréter mécaniquement cette définition nous allons étudier successivement les
cas où une seule de ces quantités est non nulle.

Cas1: a1≠0, a2=a3=χ1=χ2=χ3=0
On en déduit


u 2f = 0, u f3 = 0 et ω = 0

a1 L

soit
u1(X)=a1X1 et u3(X)=u2(X)=0
La poutre est dans un état d'allongement
pur

I.S.I.T.V.

- 30 -

Théorie des poutres

Cas2: a2≠0,a1=a3=χ1=χ2=χ3=0

On en déduit

u 1f = 0,u 3f = 0et ω = 0


e2
a2 L

u f2 (X1 ) = a 2 X1 et u 2 (X) = a 2 X1
La poutre est dans un état de glissement

dans le plan (e1 , e 2 )
Cas3: a3 ≠0, a1=a2=χ1=χ2=χ3=0


e1

La poutre est dans un état de glissement

dans le plan (e1 , e 3 )

e3

a3 L

e1

Cas4: χ1≠0, a1 = a2 = a3 = χ2 = χ3 =0

On en déduit


a i = 0soit u f = 0


e2

etω2 = ω3 = 0,etω1 = χ1X1

χ1 L

La poutre est dans un état de torsion autour
de son axe


e1

Cas5: χ2≠0, a1=a2=a3=χ1=χ3=0

u1f = u f2 = 0 et ω1 = ω3 = 0


e3

1
Soit ω2 = χ 2 X1 et u f3 (X1 ) = − χ 2 X12
2
D ' où u1 (X) = χ 2 X1X 3 ,

1

- 2 χ 2 x 21


e1

1
u 2 (X) = 0, u 3 (X) = − χ 2 X12
2

χ2 L

La fibre moyenne se déforme selon une

parabole dans le plan (e1 , e 3 ), la section

droite tournant de χ2X1 autour de e 2 .
Cas6: χ3≠0, a1=a2=a3=χ1=χ2=0
ω1 = ω2 = 0 et par suite u1 (X) = −χ3X1X 2 ,

χ3 L


e2

1
u3 (X) = 0 et u 2 (X) = χ3X12
2
La fibre moyenne se déforme selon une

parabole dans le plan (e1 , e 2 ) , la section

droite tournant de χ3X1 autour de e 3

I.S.I.T.V.

1
χ x2
2 3 1


e1

- 31 -

Résistance des Matériaux

On en déduit alors la signification des déformées généralisées:
- a1 est l'allongement unitaire de la fibre moyenne


- a2 et a3 sont des glissements dans les plans (e1 , e 2 ) et (e1 , e 3 )

- χ1 est l'angle de torsion autour de l'axe e 1 par unité de longueur


- χ2, χ3 sont les courbures de la fibre moyenne dans les plans (e1 , e 2 ) , (e1 , e 3 )

III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs
En tenant compte de la cinématique particulière des poutres, nous allons expliciter
l'équation

Π int (δε, σ)=− ∫∫∫Ω σ : δεdX

(8)

où δε désigne une vitesse virtuelle de déformation, et σ l'état de contrainte dans la poutre.
Nous choisirons, bien sûr, δε de la forme


δa 1 + δχ 2 X 3 − δχ 3 X 2
Sym
Sym 
 1

(δa 2 − δχ1X 3 )
δε= 
δv 2, 2
Sym 
 2

1
 1 (δa + δχ X )
(δv 2,3 + δv 3,2 ) δv 3,3 
3
1 2
 2

2

(9)

Pour que les contraintes satisfassent l'hypothèse (ii) de Bernouilli, il est nécessaire que
 σ11 σ12 σ13 
σ= σ12
0
0 
(10)
σ13
0
0 
En portant (9) et (10) dans (8), on trouve finalement

( )

− Π int δε, σ

= ∫0L [δa 1 ∫∫S σ11dX + δa 2 ∫∫S σ12 dX + δa 3 ∫∫S σ13dX ]dX1
+ ∫0L [δχ1 ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX ]dX1
+

L
∫0

Posons alors
T1 (X1 ) = ∫∫S σ11dX

[δχ 2 ∫∫S X 3σ11dX − δχ 3 ∫∫S X 2 σ11dX]dX1
M1 (X1 ) = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX

T2 (X1 ) = ∫∫S σ12 dX M 2 (X1 ) = ∫∫S X 3 σ11dX

T3 (X1 ) = ∫∫S σ13dX

(11)

(12)

M 3 (X1 ) = − ∫∫S X 2 σ11dX

avec ces notation, on obtient plus simplement
3

− Π int δε, σ =∫0L  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1
i =1


( )

ou encore


T = ∫∫S σe1dX et




M = ∫∫S X1X ∧ σe1dX

I.S.I.T.V.

(13)

- 32 -

Théorie des poutres

III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre
III - 3.1 Contraintes généralisées
On définit les contraintes généralisées comme étant la fonction
p
s : X1 ∈ [0, L] → s p (X1 ) = T1 (X1 ), T2 (X1 ), T3 (X1 ), M1 (X1 ), M 2 (X1 ), M 3 (X1 ) ∈ ℝ6 (14)
On appelle T1 l'effort normal, T2 et T3 les efforts tranchants, M1 le moment de
torsion, M2 et M3 les moments de flexion.
Si on considère la partie de la poutre à gauche de la section S(X1), alors la normale unitaire

sur S(X1) sortante est n = e1 ; la densité surfacique de force exercée par la partie droite de la

poutre sur la partie gauche est σn , c'est à dire le vecteur de composante σ11,σ12,σ13. En
conséquence,

la contrainte généralisée sP(X1) est constituée des éléments de
réduction, au centre de la section S(X1), du torseur des forces
appliquées par la partie droite de la poutre sur la partie gauche!
Certains états de sollicitation élémentaires sont appelés 'sollicitations simples', ils
correspondent à des cas de chargement fréquemment rencontrés. Leur étude permet par le
théorème de superposition l'étude de cas plus complexes appelés 'sollicitations combinées'.

T1

T2ou3

M1

M2ou3

≠0

0

0

0

Traction ou compression simple

0

≠0

0

0

Cisaillement pur

0

0

≠0

0

Torsion pure

0

0

0

≠0

Flexion pure

0

≠0

0

≠0

Flexion simple

≠0

0

0

≠0

Flexion composée

Désignation

I.S.I.T.V.

- 33 -

Résistance des Matériaux

III - 3.2 Equation d'équilibre
Nous allons maintenant appliquer le principe des puissances virtuelles pour déterminer les
équations d'équilibre. Pour toute vitesse virtuelle de déplacement généralisé, on doit avoir
Πext + Πint = 0
Nous avons d'après (4)



J −1x i +1
J


Π ext = ∑ ∫ δu f ⋅ f f (X1 ) + δω ⋅ c f (X1 ) dX1 + ∑ δu f (X1i ) ⋅ F i +δω(X1i ) ⋅ C i
i =1 x i

(

)

{

i =1

}

et d'après (13)
3

Π int =−∫0L  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1
i =1

En utilisant la définition des déformations généralisées (6),



Π int =− ∫0L δu ,f1 ⋅ T(X1 ) − δω3T2 + δω 2 T3 + δω,f1 ⋅ M (X1 ) dX1




Soit en remarquant que e1 ∧ T = T2 e 3 − T3 e 2






Π int =− ∫0L δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

[

]

[

]

On décompose alors l'intégrale en somme d'intégrales comme pour les efforts extérieurs



J −1 i +1



Π int =− ∑ ∫ Xi1 δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1
i =1 X1

[

]

i+

i

En effectuant une intégration par partie et en notant X1 la valeur de X1 pris par valeur
supérieur,
Π int

J −1

X1i +1
i
i =1 X1
J −1
f

=

∑∫

f

]






⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

i+ 
f
 i +1−
∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω


i =1


Soit
Π int

[δu

J −1

X1i +1
i
i =1 X1
J 
f

=

∑∫

[δu

f




+ 
⋅  M (X1i +1 ) − M (X1i ) 



]






⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

i− 
i − 
f  i+
 i+
∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω ⋅  M (X1 ) − M (X1 ) 




i =1

+

Enfin en application du principe des puissances virtuelles
f

J −1 i +1
f f

X
f
∑ ∫ i1 δu ⋅ f + T,1 + δω ⋅ c + M ,1 + e1 ∧ T dX1
i =1 X1
J 

[

(

)

(




+


+ ∑ δu ⋅  F i + T(X1i ) − T(X1i )  + δωf


i =1
f

)]

(15)
i i+
i − 

⋅  C + M ( X1 ) − M ( X1 )   = 0



Comme (15) est vérifié pour toute vitesse virtuelle, on obtient pour l'équilibre



Pourchaqueint ervalle X1i , X1i +1 f f + T,1 = 0
(a )

f

c + M ,1 + e1 ∧ T = 0
( b)




+

Pour X1i i = 1, … , J
F i + T(X1i ) − T(X1i ) = 0
(c )
i i+

i−
C + M ( X1 ) − M ( X1 ) = 0 (d )

]

[

I.S.I.T.V.

(16)

- 34 -

Théorie des poutres

Remarque importante:
Sur un tronçon de poutre X1i , X1i +1 , dans le cas où il n'est pas chargé, on a




T,1 = 0et M ,1 + e1 ∧ T = 0

]

[

soit en particulier
dM 3
dM 2
=T3 et
=− T2
dX1
dX1

IV - Loi de Comportement élastique linéaire
σ11 Sym Sym 
0
Sym 
D'après (10), à cause de l'hypothèse (ii) de Bernouilli σ= σ12
σ13
0
0 
Or, pour un matériau élastique la loi de comportement en fonction du module d'Young E et
du coefficient de poisson est
ν
1+ν
ε=− Tr (σ)1+
σ
E
E
Soit dans notre cas
1
−ν
1+ ν
1+ ν
ε11 = σ11 ,ε 22 = ε 33 =
σ11 ,ε12 =
σ12 ,ε13 =
σ13 ,ε 23 = 0
E
E
E
E
D'où
T1 = ∫∫S σ11 dX = ∫∫S Eε11 dX = ∫∫S E(a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 )dX
E
E
ε12 dX = ∫∫S
(a 2 − χ1X 3 )dX
2(1 + ν)
1+ ν
E
E
(a 3 + χ1X 2 )dX
ε13 dX = ∫∫S
T3 = ∫∫S σ13 dX = ∫∫S
1+ ν
2(1 + ν)
E
M 1 = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX = ∫∫S
− a 2 X 3 + a 3 X 2 + χ1 (X 22 + X 32 ) dX
2(1 + ν)

T2 = ∫∫S σ12 dX = ∫∫S

(

(

)

)

M 2 = ∫∫S X 3 σ11 dX = ∫∫S E a 1X 3 + χ 2 X 32 − χ 3 X 2 X 3 dX

(

)

M 3 = − ∫∫S X 2 σ11 dX = − ∫∫S E a 1X 2 − χ 3 X 22 + χ 2 X 2 X 3 dX
Pour simplifier les écritures, nous définirons la fibre moyenne telle que
∫∫S E(X)OMdX=0
c'est à dire
∫∫S E X2 dX = ∫∫S E X 3 dX = 0

de plus nous choisirons e 2 de telle manière que
∫∫ E X2 X3 dX = 0
S

Dans ces conditions, nous obtenons

I.S.I.T.V.

- 35 -

Résistance des Matériaux

T1 = a 1 ∫∫S EdX
E
E
dX−χ1 ∫∫S
X 3 dX
2(1 + ν)
2(1 + ν)
E
E
T3 = a 3 ∫∫S
dX+χ1 ∫∫S
X 2 dX
2(1 + ν)
2(1 + ν)
E
M1 = ∫∫S
χ1 (X 22 + X 32 )dX
2(1 + ν)

T2 = a 2 ∫∫S

M 2 = χ 2 ∫∫S EX 32 dX
M 3 = χ 3 ∫∫S EX 22 dX
Si de plus les caractéristiques ne dépendent pas de l'espace, c'est à dire que l'on peut sortir
E et ν des intégrales, on obtient:
a ES
a ES
T1 =a1 ES,T2 = 2
,T3 = 3
2(1 + ν)
2(1 + ν)
et
M1 =

(17)

χ1 E
2
2
2
2
∫∫S (X 2 + X 3 )dX,M 2 =Eχ 2 ∫∫S X 3 dX,M 3 =Eχ 3 ∫∫S X 2 dX
2(1 + ν)

ou encore
M1=

χ1 EI1
,M 2 =Eχ 2 I 2 ,M 3 =Eχ3 I3
2(1 + ν)


où Ii est le moment d'inertie autour de l'axe (O, e i ).

I.S.I.T.V.

(18)

- 36 -

Sollicitations simples

ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

I - Traction ou compression
I - 1 Définition
On dit qu'une poutre est dans un état de traction (ou compression) quant le torseur des
actions extérieures est de la forme:
T1 ≠ 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 = 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0






f f = f f e1 ,c f = 0,Fi = Fi e1 ,Ci = 0
Attention: lorsque la longueur est supérieure à environs 8 fois la plus grande dimension
transversale, une poutre sollicitée en compression est calculée au "flambement".

I - 2 Déformations et contraintes
De (II-17) et (II-18) on déduit:
T1 = a 1 E S , a 2 = a3 = 0 et

χ1 = χ 2 = χ 3 = 0

Le tenseur des contraintes qui satisfait l'équilibre est de la forme:
σ n 0 0 
σ= 0 0 0
 0 0 0

(1)

(2)

où σn est une valeur constante dans toute la section. On obtient alors pour le tenseur des
déformations:
 σn
E

ε=  0


 0

0
−ν

σn
E

0




0 

σn 
−ν
E 
0

(3)

Relation de la contrainte avec l'effort normal
On sait que
T1 (X1 )=∫∫S σ11 dX

I.S.I.T.V.

- 37 -

Résistance des Matériaux

donc dans notre cas
σn =

T1
S

(4)

Allongement de la poutre
Soit ∆L l'allongement subi par une poutre de longueur L. Par définition
∆L=∫γ du1


Dans le cas présent, le déplacement d'une section droite est une translation d'axe e1 .
du σ
ε11 = 1 = n
(5)
dX1 E
Soit

σn
T
dX1 =∫γ 1 dX1
E
SE
Si la section de la poutre est constante
TL
∆L= 1
SE
∆L=∫γ ε11dX1 =∫γ

(6)

(7)

II - Torsion
Les sections droites de contour quelconque, lorsqu'elles sont sollicitées en torsion, se
gauchissent. Ce phénomène remet en cause l'hypothèse de Bernouilli. Les poutres droites de
section circulaire ne subissent pas de gauchissement.

II - 1 Définition
Une poutre est sollicitée en torsion pure si:
T1 = 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 ≠ 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0




f f = 0, c f = f f e1 , Fi = 0, Ci = Ci e1

(8)

II - 2 Déplacement, contraintes, déformations
De (8), (II-17) et (II-18) on déduit:
a1 = 0,a 2 = 0,a 3 = 0,χ1 ≠ 0,χ 2 = 0,χ3 = 0
(9)
f
D'après (9), on a u = 0 , la section tourne donc uniformément autour de son axe. χ1 est
l'angle unitaire de torsion.
Comme ε11 = a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 = 0 alors σ11

I.S.I.T.V.

 0
= 0 , soit σ= σ12
σ13

σ12
0
0

σ13 
0 
0 

- 38 -

Sollicitations simples

De la loi de comportement, ε ij = 1+Eν σ ij − Eν σ kk δ ij , on tire:
 0

ε= 1+Eν σ12
 1+ν σ13
 E


e3
G


e

θ

 0
  χ1X3
 = − 2
  χ1X 2
  2

1+ν σ
E 12

1+ ν σ 
E 13

0

0

0

0


er

θ


e2



χ1X3
2

χ1X 2 
2 

0 

0
0 


Dans le repère (G, e1 , e r , eθ )



∀ M u(M) = −ω1 X3 e2 + ω 1X2 e 3



Or e r = Cosθ e 2 + Sinθ e 3



et eθ = − Sinθ e 2 + Cosθ e3
0



Soit u (M )=ω1reθ

(10)

Pour déterminer les déformations, nous utilisons la définition des déformations en
coordonnées cylindriques:
 ∂u1
 ∂X1

ε (G ,e1 ,er ,eθ ) = Sym

Sym


(

1 ∂u1 + ∂u r
2 ∂r
∂X1
∂u r
∂r
Sym

Soit, en utilisant (II-6)
 0 0

ε (G ,e 1 ,e r ,e θ ) = 0 0
Sym 0


r ω1,1 
2 

)

(

)

1 1 ∂u1 + ∂u θ
2 r ∂θ
∂X1
u
u

1 1 r − θ + ∂u θ
2 r ∂θ
r
∂r
1 ∂u θ + u
r
r ∂θ

(

 0 0

0  = 0 0
0  Sym 0
 

(

)

  0
 
= 0
 
 Sym
 

0

)

0
Sym

( )

1 ∂u θ
2 ∂X1
1 − u θ + ∂u θ
2
r
∂r

(








)

0

r χ1 
2 

0
0 


et

0 0 τ 

 0 0
 τ 0 0

σ ( G ,e 1 ,e r ,e θ ) = 0

avec τ = 2Gε X1θ

et

G=

E
2(1+ ν )

G est appelé le module de glissement ou module de Coulomb. En définitive, on peut écrire:
τ = Grχ1
(11)
Relation entre la contrainte et les efforts généralisés
2
χ EI
τI
En utilisant (II-18) et (11)
M1 = 1 1 =χ1 G I1 = 1
2(1 + ν)
r
τ
Soit
Μ
τ= 1r
3
Ι1

La contrainte de cisaillement est maximale à la périphérie.

I.S.I.T.V.

(11)

- 39 -

Résistance des Matériaux

Détermination de l'angle de torsion
χ1 est l'angle unitaire de torsion. Donc, si on note θAB l'angle de torsion entre deux sections
A et B, on obtient:

θ AB =∫XX B χ1dX1 =∫XX B
A

A

τ
dX1
Gr

soit

θ AB = ∫

XB

XA

M1
dX1
G I1

(12)

II - 3 Exemple
Un arbre en acier de longueur L=1m est sollicité en torsion par un couple M=1500 mN.
Sous l'action de ce couple, on désire que l'angle unitaire de torsion reste inférieur à une
valeur limite αL=0.25 °/m et que la contrainte de cisaillement soit inférieure à 120 N/mm2.
On prendra G=8.104 N/mm2 et ρ=7800 kg/m3.
a) Calculer le diamètre admissible D1 de l'arbre.
b) On suppose que l'arbre est un tube de diamètre extérieur De=90 mm. Quel doit-être le
diamètre intérieur Di ?
c) Quelle économie de masse a-t-on réalisée ?
Réponses:
a) Pour que la géométrie de l'arbre soit admissible, il est nécessaire de satisfaire deux
critères.
* Critère de déformation
On veut χ1 < αL soit χ1 =
Or

(

)

M
M
≤ α L ou encore I1 ≥
=43.10 5 mm 4
G I1
Gα L

I1 =∫∫ X 22 + X 32 dX=∫∫ r 2 rdrdθ=2π

R 4 D14

4
32

1

Soit

 32M  4
 ≈82mm
D1≥
 πGα L 

* Critère de résistance
1

 16M  3
MD1
 ≈40mm
On veut τ=
≤120N / mm 2 soit D1≥
2I1
 120π 
Pour satisfaire au cahier des charges, l'arbre doit au moins avoir 82 mm de diamètre.
D 4e − D4i
b) Pour un tube, le moment quadratique est I1 = π
.
32
Avec la condition I1<43.105 mm4, on trouve Di=68.3 mm

(

)

c) Il est immédiat de constater que le gain de poids est de environs 20 Kg.

I.S.I.T.V.

- 40 -

Sollicitations simples

III - Flexion
III - 1 Flexion pure
Une poutre est sollicitée en flexion pure lorsque:
T1=T2=T3=M1=0 et M2≠0 , M3≠0

(13)

De (II-17) et (II-18) on déduit:
a 1 = a 2 = a 3 = 0 et χ 1 = 0, χ 2 ≠ 0, χ 3 ≠ 0,
Soit ε 11 = χ 2 X3 − χ 3X 2

et ε12 = ε13 = 0
 σ11
1
+
ν
ν
Comme ε ij = E σ ij − E σ kk δ ij et σ = σ12
σ13

σ12
0
0

σ13 
0 
0 

On obtient:
σ12 = σ13 = 0etσ11 = Eχ 2 X 3 − Eχ 3 X 2
Soit, d'après (II-18):
M
M
σ 11 = 2 X 3 − 3 X2
I2
I3

(14)

III - 2 Flexion pure plane
Une poutre est sollicitée en flexion pure plane lorsque:
T1=T2=T3=M1=M2=0 et M3≠0
D'après les développements du paragraphe précédent:
M
σ11 = − 3 X 2 = − Eχ 2 X 3
I3

(15)

La contrainte est maximale à la périphérie de la poutre.

2
Zone comprimée σ <0
Zone tendue σ>0

I.S.I.T.V.

3

1

- 41 -

Résistance des Matériaux

Déformée de la poutre
D'après (II-6), on peut écrire:
a1 = 0

→ u 1f,1 = 0

→ u 1f = Cste = 0

χ1 = 0

→ ω1,1 = 0

→ ω1 = Cste = 0

χ 2 = 0 → ω 2,1 = 0

→ ω 2 = Cste = 0

a3 = 0

=0

→ u 3f = Cste = 0

= ω3

→ u f2,11 = ω3,1 = χ 3



a2 = 0 →

u 3f ,1
u f2,1

Soit, en utilisant (II-18)
d2 u f2 M3
2 =
dX 1 EI 3

(16)

III - 3 Flexion plane simple
Il s'agit du cas particulier où:
T1=T3=M1=M2=0 et M3≠0 , T2≠0
(ou T1=T2=M1=M3=0 et M2≠0 , T3≠0)

(17)

La poutre n'est soumise qu'à des efforts tranchants et des moments fléchissants.

* Contrainte normale due au moment fléchissant
σ11 = E(a 1 + χ 2 X 3 − Eχ 3 X 2 ) = −Eχ 3 X 2 , soit:

σ11 = −

M3
X2
I3

(18)

* Contrainte tangentielle
2

A

D
C
3

B

1

2 A'
A
S2
B
B'
3
1
b
S1

X1+dX1

X1

Considérons un tronçon de poutre, non-chargé, compris entre X1 et X1+dX1.
 σ11 σ12 0
Le problème est plan de telle sorte que σ = σ12
0 0 .
 0
0 0


Les équation d'équilibre nous donnent σ11,1 + σ12, 2 = 0 , σ12 ,1 = 0 et T,1 = 0
T1,1 = 0֏ ∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 = 0
S

∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 + ∫∫ σ11,1dX 2 dX 3 =0
S1

S2

I.S.I.T.V.

- 42 -

Sollicitations simples

 − M3

X 2  dX 2 dX 3 =0
∫∫ − σ12, 2 dX 2 dX 3 + ∫∫ 
S1
S 2 I 3
 ,1
T2
X 2 dX 2 dX 3 =0
S2 I 3

− bσ12 + ∫∫

Soit en définitive,
T
σ12 = 2 ∫∫ X 2 dX 2 dX 3
bI 3 S2

(19)

* Déformée de la fibre moyenne
Rappel: Pour une courbe d'équation y=f(x), la courbure est définie par

1
y ′′
=
.
R (1 + y ′)3 / 2

Donc pour des déformées "petites", c'est-à-dire y'<<1, on obtient 1/R≅y".
Soit dans notre cas:
d 2 u f2 M 3
=
dX12 EI 3

(20)

III - 4 Exemples
III - 4.1 Exemple de flexion pure plane
F
F
Une poutre droite rectiligne de section constante repose sans
A

B
C

D

charge concentrée F=1500 N en C et D.

AC=CD=DB=a=0,5 m.
RA
F
F RB

A

frottement sur 2 appuis simples en A et B et supporte une

a) On cherche à déterminer les réactions aux points où sont
imposées des conditions cinématiques (en A et B). Comme il

C

D

B

s'agit d'appuis simples, il ne peut y avoir que des réactions

(pas de couples).
Pour déterminer les réactions, on applique le principe fondamental de la statique.
Soit RAX, RAY, RBX, RBY les composantes des réactions en A et B.




∑ Forces = 0soit R A + 2F + R B = 0

R AX   0   0  R BX  0

     
  
R AY  + − F + − F + R BY  = 0
 0   0   0   0  0

     
  





∑ Momentsen A = 0soit AC ∧ F + AD ∧ F + AB ∧ R B = 0
a   0  2a   0  3a  R BX  0
          
  
0 ∧ − F +  0  ∧ − F +  0  ∧ R BY  = 0
0  0   0   0   0   0  0
          
  




Les équations d'équilibre et la symétrie du problème impliquent: R A = R B = − F

I.S.I.T.V.

- 43 -

Résistance des Matériaux

b) On cherche les contraintes généralisées dans la poutre.
On sait que les contraintes généralisées dans une section donnée sont égales au torseur des
actions extérieures à droite de la section, ou encore, à l'inverse du torseur des actions
extérieures à gauche.
* soit une section G dans le tronçon de poutre AC.

−T = R A soit T1 = T3 = 0 et T2 = − F


− M = GA ∧ R A soit M1 = M 2 = 0 et M 3 = xF
Le tronçon AC est dans un état de flexion plane simple.
* soit une section G dans le tronçon de poutre CD.


− T = R A + Fsoit T1 = T2 = T3 = 0



− M = GA ∧ R A + GC ∧ Fsoit M1 = M 2 = 0et M 3 = aF
Le tronçon CD est dans un état de flexion pure.
III - 4.2 Exemple de flexion plane simple
P=1500N

P=1500N

A

Une poutre droite rectiligne de section circulaire
B

C
1m

D
2m

2m

P

RB

constante repose sans frottement sur 2 appuis simples en
A et B. La poutre est constituée d'un matériau de limite
élastique de 1600 bars. Quel doit être le rayon de cette
poutre ?

P
C

RA
A

D

a) On cherche à déterminer les réactions aux points où
sont imposées des conditions cinématiques (en A et B).
B Comme il s'agit d'appuis simples, il ne peut y avoir que des

réactions (pas de couples).




∑ Forces = 0soit R A + 2P + R B = 0
R A + R B = 2P






∑ Momentsen A = 0soit AC ∧ P + AD ∧ P + AB ∧ R B = 0
P − 2 P + 4R B = 0
Soit RB=P/4 et RA=7P/4
b) On cherche les contraintes généralisées dans la poutre.
On sait que les contraintes généralisées dans une section donnée sont égales au torseur des
actions extérieures à droite de la section , ou encore, à l'inverse du torseur des actions
extérieures à gauche.
* soit une section G dans le tronçon de poutre CA.


− M = GC ∧ Psoit M1 = M 2 = 0et M 3 = − xP
* soit une section G dans le tronçon de poutre AD.

I.S.I.T.V.

- 44 -

Sollicitations simples




− M = GC ∧ P + GA ∧ R A soit M1 = M 2 = 0et M 3 = − Px + 7P( x − 1) / 4
* soit une section G dans le tronçon de poutre DB.


M = GB ∧ R B soit M1 = M 2 = 0et M 3 = P(5 − x ) / 4
Le moment maximal est atteint pour x=1, soit M3max=-1*P.
M

4M 3
 4M 3

σ max = Max 3 X 2  = Max
X 2  d'où R = 3
4
πσ max
 πR

 I3


III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion
III - 5.1 Méthode de la double intégration
d 2 u f2 M 3
On a vu que
, donc par intégrations successives on obtient:
=
dX12 EI 3

 M

u f2 = ∫  ∫ 3 dX1 dX1 + C1X1 + C 2
(21)
 EI 3

où C1 et C2 sont des constantes qui seront déterminées par les conditions aux limites.
Exemple:
F=16kN
B

A
1m

C

1m

RA F
B

D
A

2m

RD
D

On cherche à déterminer la déformée de la poutre.
a) Premièrement on cherche les réactions aux points d'appuis.



R A + R D + F = 0
R + R D = F R A = 3F / 4
 A




AB ∧ F + AD ∧ R D = 0− F + 4R D = 0R D = F / 4
b) On détermine maintenant le moment de flexion dans chacun des tronçons de la poutre.
* Dans le tronçon AB: 0<x<1


M = −GA ∧ R A soit M 3 = R A X = 3FX / 4 = 12X
Soit EI 3 u 2 = 2X + C1X + C2
f

3

* Dans le tronçon BC: 1<x<2



M = −GA ∧ R A − GB ∧ Fsoit M 3 = R A X + F(1 − X) = 16 − 4X
Soit EI 3 u f2 = −2(X − 4) 3 / 3 + C 3 X + C 4
c) Pour déterminer les constantes on utilise les conditions aux limites et les conditions de
continuité.

I.S.I.T.V.

- 45 -

Résistance des Matériaux

u f
(0) = 0
 2 AB
C1 = −14
f
u f
C = 0
 2 AB (1) = u 2 BD (1)
 2
ce
qui
donne
 f

f
u 2,1 AB (1) = u 2,1 BD (1)
C 3 = 10
 f
C 4 = −40
( 4) = 0
u 2
 BD
En définitive u f2

AB

(X) = 2X 3 − 14Xet u f2

BD

(X) = −2(X − 4) 3 + 10X − 40

III - 5.2 Fonctions de singularité
Les fonctions de singularité permettent d'exprimer analytiquement une discontinuité.

On définit la fonction de singularité d'ordre n:
Sin < 0 f n (X) = ∞lorsqueX = a

f n (X) = 0lorsqueX ≠ a

n
f n (X) ≡ X − a telleque
n
Sin ≥ 0 f n (X) = (X − a ) lorsqueX ≥ a

f n (X) = 0lorsqueX < a
De la même manière on définit les règles d'intégration suivantes:
X

∫ x−a

lorsque n<0

n

−∞
X

dx = X − a

n +1

X−a

n +1

∫ (x − a ) dx =

lorsque n≥0

n

−∞

n +1

Utilisation pour le calcul des flèches
Soit q(X) un chargement vertical agissant sur une poutre. En accord avec les notations

utilisées dans ce cours (II-16), on a:
T2 = − ∫ qdX , et d'après (II-16b) M 3 = − ∫ T2 dX puis en utilisant (16), on détermine la
flèche. Donc, par quatre intégrations successives on détermine la déformée de la poutre.
Principales fonctions de singularités et leur utilisation
q

a

q = −M 0 X − a

X

−2

M0
q

a
W0

q = W0 X − a

X

I.S.I.T.V.

−1

- 46 -

Sollicitations simples

q

a
W0

q = W0 X − a

0

X
q

b
W0

a

q=

X
q

w0
X−a
b−a

1

b
W0

a

q=

X

w0
(b − a ) 2

X−a

2

Utilisation dans l'exemple précédent:
On sait que RA=12kN et RB=4kN.

D'où q(X) = 12 X

−1

− 16 X − 1

Par intégration, T2 = −12 X

0

−1

−1

+4 X−4

+ 16 X − 1

0

−4 X−4

0

+ cste

La constante est nulle car pour X<0 et X>4 il n'y a aucun effort tranchant.
1

1

1

Par une nouvelle intégration M 3 = 12 X − 16 X − 1 + 4 X − 4 + cste
La constante est nulle car pour X<0 et X>4 il n'y a aucun effort moment fléchissant.
Et par la suite:
1

1

EI 3 u f2,11 = M 3 = 12 X − 16 X − 1 + 4 X − 4
EI 3 u f2,1 = 6 X
EI 3 u f2 = 2 X

3

2

− 8 X −1

2

3

+2 X−4

2

− 8 X −1 / 3 + 2 X − 4

1

+ C1
3

/ 3 + C1X + C 2

Pour déterminer les deux constantes, on utilise les conditions aux limites; le déplacement
vertical est nul pour X=0 et X=4. Soit C1=-14kN.m2 et C2=0.
III - 5.3 Poutres constituant un système hyperstatique
Jusqu'alors, nous n'avons étudié que des poutres formant des systèmes isostatiques, ou

statiquement déterminés; c'est-à-dire que nous pouvions déterminer les réactions à l'aide des
seules équations du principe fondamental de la statique. Les réactions qui ne peuvent être
calculées par les seules équations d'équilibre détermine le degré d'hyperstaticité d'un système.
RA
MA
A

P Nous avons dans ce cas, 2 équations d'équilibre et 2
inconnues RA et MA: le système est isostatique.
B

I.S.I.T.V.

- 47 -

Résistance des Matériaux

RB

RA

P
Nous avons dans ce cas, 2 équations d'équilibre et 3
inconnues RA, RB et MA: le système est hyperstatique

MA
A

B

de degré 1.

RB
RA

P

Nous avons dans ce cas, 2 équations
d'équilibre et 5 inconnues RA, RB, RC

RC

P

MA

MC et MA, MC: le système est hyperA

C

B

statique de degré 3.

Exemple: Résolution en utilisant les conditions géométriques

RC
RA

P
a

b
B

A

MA

C

P
B

A

C

* Conditions d'équilibre statique:
RA + RC − P = 0
M A + (a + b)R C − aP = 0
* Equation de la déformée

q(X) = −M A X

−2

+ RA X

−1

T2 (X) = M A X

−1

− RA X

0

M 3 (X) = −M A X

0

−P X−a

+P X−a
1

+ RA X − P X −a
1

EI 3 u f2,1 (X) = − M A X + R A X
EI 3 u f2 (X) = − M A X

0

2

2

/2 + RA X

−1

+ R C X − ( a + b)

− R C X − (a + b )
1

+ R C X − ( a + b)

/2−P X−a
3

2

/6−P X −a

3

Donc C1=C2=0

Pb(L2 − b 2 )
2L2

,R C =

Pa 2 (3L − a )
2L3

et R A = P − R C

I.S.I.T.V.

0
1

/ 2 + R C X − (a + b )

* Utilisation des conditions aux limites.
Onsait queu f2 (0) = u f2 (a + b) = 0 et u f2,1 (0) = 0

MA =

−1

2

/ 6 + R C X − (a + b )

/ 2 + C1
3

/ 6 + C1X + C 2

- 48 -

Sollicitations simples

Exemple: Résolution en utilisant la méthode de superposition
P
P
a
A

b
B

B

A

C

A

C

Problème II

Problème I:
L'équilibre nous donne RAI=P et MAI=Pa

q I (X) = − M AI X

T2 I (X) = P a X

(

−2

−2

q I (X) = P − a X

(

C
RC

Problème I

(

B

−1

M 3I ( X ) = P − a X

+ X
0

− X
0

(

−1

+ X−a

(

0

1

+ X − X−a
1

2

2

/2+ X

−1

)
1

)

)

/2− X−a
3

−1

−P X−a

− X−a

EI 3 u f2I,1 (X) = P − a X + X
EI 3 u f2I (X) = P − a X

−1

+ R AI X

2

/6− X −a

/ 2 + C1
3

)

/ 6 + C1X + C 2

Et en utilisant les conditions aux limites : u f2I (0) = 0et u f2 I,1 (0) = 0

(

EI 3 u f2I (X) = P − a X

2

/2+ X

3

/6− X −a

3

/6

)

Flèche en L=a+b
EI 3 u f2 I (L) = P − aL2 / 2 + L3 / 6 − b 3 / 6 = Pa 2 (− 3L + a ) / 6

(

)

Problème II:
Il suffit de remplacer P par -RCI et a par L.

(

EI 3 u f2II (X) = −R C − L X

2

/2+ X

3

/6

)

Flèche en L=a+b
EI 3 u f2 II (L) = R C L3 / 3
Superposition des problèmes :
Comme il y a un appui simple en C, on doit écrire,
u f2 I (L) + u f2II (L) = 0
Soit
2R C L3 + Pa 2 (−3L + a ) = 0 et

RC =

Pa 2
2L3

I.S.I.T.V.

(3L − a )

)

- 49 -

Résistance des Matériaux

METHODES ENERGETIQUES

I - Théorèmes de l'énergie en élasticité linéaire
I - 1 Notations et définitions

On note u, ε et σ les solutions du problème général d'élasticité linéaire. Les autres champs

de déplacement seront notés v , ceux de déformations e et ceux de contraintes s .
a) Champ de déplacements cinématiquement admissible (C.A.):

Un champ de déplacements v est dit cinématiquement admissible, si il satisfait:

- les conditions de régularité (continuité et différentiabilité)


- les conditions aux bords v(X) = U(X)∀X∈∂Ω U
b) Champ de contraintes statiquement admissible (S.A.):

Un champ de contraintes s est dit statiquement admissible, si il satisfait aux équations
d'équilibre:


div(s)+f (X)=0∀X∈Ω

s ⋅ n =F(X) ∀X∈∂Ω F

(1)

c) Energie de déformation élastique:
On appelle énergie de déformation élastique d'un champ de déformations e :
1
W (e)=∫∫∫Ω ω(e)dXoù ω(e) = Ce : e
2

(2)

d) Energie complémentaire élastique:
On appelle énergie complémentaire élastique d'un champ de contraintes s :

W * (s)=∫∫∫Ω ω* (s)dXoùω* (s) =

−1

1
C s:s
2

(3)

e) Energies potentielles:

On appelle énergie potentielle élastique d'un champ de déplacements v C.A.:






ξ( v)= W (Bv) − ∫∫∫Ω f (X) ⋅ v(X)dX − ∫∫∂Ω F(X) ⋅ v(X)dX
(4)
F


où Bv est le champ de déformations dû au champ de déplacement v , c'est-à-dire:
B = 12 grad +grad T

(

)

On appelle énergie potentielle élastique d'un champ de contraintes s S.A.:


ξ* (s)= − W * (s) − ∫∫∂Ω s(X) ⋅ n (X) ⋅ U(X)dX
U

(

)

I.S.I.T.V.

(5)


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