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Chap01.fm Page 5 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

chapitre

1 Continuité. Limites
Activités

(page 10)
ACTIVITÉ 4

ACTIVITÉ 1

1
1. lim ⎛ 4 – ---⎞ = 4 .
x⎠
x → +∞ ⎝

1. 1 = g ; 2 = h ; 3 = f .
2. 1 et 3 : courbes de g et f.

X→4

3. a) Il s’agit de g représentée par 1 .
b) f ( a ) = b pour a 2 = b ; a = b ; b ∈ [ 0 ; 4 ] .

Travaux dirigés

X=2.

2. lim

3. lim

x → +∞

1
4 – --- = 2 .
x

(page 30)
TD 2

TD 1
2 1. lim

x → –∞

1
f ( x ) – ⎛ x – ---⎞

2⎠
= lim

x → +∞

1
f ( x ) – ⎛ x – ---⎞ = 0 .

2⎠

1
2. f ( x ) – ⎛ x – ---⎞ < 0 pour x < 0 ( f en dessous) ;

2⎠
1
f ( x ) – ⎛ x – ---⎞ > 0 pour x > 0 ( f au-dessus).

2⎠

A 1. d′ passe par O et A ( 2 ; 1 ) . Elle a pour équa1
tion y = --- x .
2
2. lim f ( x ) = 1 ; lim f ( x ) = + ∞ ;
x → –∞

x → +∞

lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ (il n’y a pas de

x → 1

x → 1

limite en 1).

3
( 2x – 1 ) ( x + 2 ) + 3
3 2x – 1 + ------------= ---------------------------------------------------x+2
x+2

B 1. f n’est pas définie pour x = 1 et elle s’annule
pour x = 0 .

2x 2 + 3x + 1
= ---------------------------------- = f ( x )
x+2
pour tout x ≠ – 2 .

2. Tableau de signes : g a même signe que f sur son
domaine :
x

1. lim [ f ( x ) – ( 2x – 1 ) ] = 0 d’où f admet une
x→∞

asymptote à l’infini d’équation y = 2x .

0


+∞

1




3. lim g ( x ) = 1 ; lim g ( x ) = 0 ;
x → –∞

3
2. f ( x ) – ( 2x – 1 ) = ------------- .
x+2
x

–∞

g(x)

x → +∞

lim g ( x ) = + ∞ ; lim g ( x ) = – ∞ ;

x → 0

x → 0

lim g ( x ) = 0 (on utilise les théorèmes 4 et 5).

–2

f ( x ) – ( 2x – 1 )





f
-----

dessous

dessus

x→1

C 1. f est définie sur ] – ∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞[ donc f 2
aussi.
Chap. 1 • Continuité. Limites

• 5

Chap01.fm Page 6 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

5. b) 0,34 < a 0,35 .

2. lim f 2 ( x ) = 1 ; lim f 2 ( x ) = + ∞ ;
x → –∞
lim f 2 ( x )
x→0

x → +∞

= + ∞ (on utilise le théorème 3).

TD 3
1 1. a) f ′ ( x ) = 3 ( x 2 – 1 ) .
x
f ′(x)

–∞


–1
0
3



+∞

1
0



f(x)
–1

2. b) f est strictement décroissante et continue sur
[ 0 ; 1 ] , f ( 1 ) = 1 et f ( 1 ) = – 1 .
3. On applique le théorème de la valeur intermédiaire. Si x a y , alors f ( x ) 0 f ( y ) ,
donc f ( x )f ( y ) 0 .
Réciproquement si f ( x )f ( y ) 0
alors f ( x ) 0 f ( y ) ou f ( y ) 0 f ( x ) donc
x a y ou y a x car f est monotone sur
[0 ; 1] .

2 1. a) f ′ ( x ) = 4x 2 ( x – 3 ) ; f ′ est positive sur
[ 0 ; 1 ] , f est donc strictement croissante et continue sur [ 0 ; 1 ] , ( E ) admet donc une unique solution sur cet intervalle (théorème de la valeur
intermédiaire).
b) 0,8 s 0,9 .
c) 0,86 s 0,87 .
d) f et strictement décroissante sur [ 3 ; 4 ] et
f ( 3 ) = – 25 , f ( 4 ) = 2 ; 3,96 < s′ 3,97 .
3
2
2. a) f ′ ( x ) = – --- ⎛ x – ---⎞ . f est donc strictement
2⎝
3⎠
4
croissante sur 0 ; --- et strictement décroissante
9
4
sur --- ; + ∞ .
9
f ( 1 ) = 1 et f ( 3 ) = 4 – 3 3 < 0 , f est strictement
décroissante sur [ 1 ; 3 ] et continue.
c) 1,76 < s 1,77 .

Corrigés des exercices
Maîtriser le cours

(page 36)

3



Non.
16

Langage de la continuité
12

1

Non.
8

3
4

2

2

1

–1

2

O

O

1

4



1

4

Oui.

5
2

Oui.

1

1
O

O

6

1

2

–1

1

2

Chap01.fm Page 7 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

5



2. Sur [ – 1 ; 0 [ g ( x ) = – x .
Sur [ 0 ; 1 [ g ( x ) = 0 .

Non.
5

1
4
–1

O

1

3

2

f n’est pas continue, g est continue.
1

O

8
1

2

3

4



2

5

1,5
1

6



a) Oui.
O

6

100

150

200

250

f discontinue en 20, 50, 100.

4

9 ● 1. Si x 7 622 f ( x ) = x – 6 500 .
Si x > 7 622 f ( x ) = 0 , 74 ( x – 6 500 ) .
2.

2

O

25 50

1

2

3
1500

1500

1250
1000

1250
1122
1000

750

750

500

500

–2

b) Non.

O

8500

3. f ( x ) = 1 122 est obtenu soit avec x = 7 622 soit
avec x 8 016 .

1

O

6500 7500
7000

1

7 ● 1. Sur [ – 1 ; 0 [ f ( x ) = x – 1 .
Sur [ 0 ; 1 [ f ( x ) = x .

10 ● 1. Si x < 0 f ( x ) = 0 .
Si x 0 f ( x ) = x .
2. a)
2
1

1
–2 –1 O

–1
O

1

2

1

b) f est continue sur I.
11




1. f est continue sur [ 0 ; 2 ] .
Chap. 1 • Continuité. Limites

• 7

Chap01.fm Page 8 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

(x – 1) + x – 1
x+ x
2. f ( x ) = 1 + ----------------- – 3 ------------------------------------------ .
2
2
a = 1 ; b = 1 ; c = –3.

19



1. a)
x

0

f(x)

2

1

4

4
0

Théorème de la valeur intermédiaire
12 1. f est continue et strictement croissante sur I.
2. 0 , 2 .
13 1. f est continue et strictement décroissante sur I.
2. 3 , 5 .
14 D’après le tableau de variation, f est continue
et strictement croissante sur I = ] – 2, 0[ , et prend
donc une fois et une seule toute valeur de J = [ 0 ; 0 , 2 ]
(théorème de la valeur intermédiaire) ; 0 , 1 ∈ J , possède un antécédent unique dans I ( f ( ) = 0 , 1 ) .
15 1. D’après le tableau de variation, f est continue
et strictement décroissante sur [ – 2 ; 2 ] et d’après le
théorème de la valeur intermédiaire ; 0 , 8 ∈ [ 0 ; 4 ]
possède un antécédent unique dans [ – 2 ; 2 ] .
1
2. --- < f ( ) < 1 .
2
1
Soit f ( 1 ) < f ( ) < f ( 0 , 5 ) et f décroît, donc --- < < 1 .
2
16 1. Sur [ 0 ; 3 ] , f n’est ni continue, ni monotone.
3 5
2. Oui, car sur --- ; --- , f est continue et strictement
2 2
croissante.
3. a) Sur [ 0 ; 1 [ , f est continue et strictement décroissante.
b) 0,5 .
17 1. a) f n’est pas continue sur [ 0 ; 4 ] .
b) Non.
2. a) f est continue et strictement croissante sur [ 0 ; 2 [ ;
on peut alors appliquer le théorème de la valeur intermédiaire à un intervalle fermé inclus dans [ 0 ; 2 [ .
b) 1 , 4 .

b) Oui.
2. a) f n’est pas strictement monotone sur I.
b) f est continue et décroissante sur J = [ 1 ; 4 ] .
1 ∈ [ f ( 4 ) ; f ( 1 ) ] = [ 0 ; 4 ] ; d’après le théorème de la
valeur intermédiaire, il existe unique dans [ 1 ; 4 ]
tel que f ( ) = 1.
c) 3 , 6 .
20 ● 1. Non (f non monotone).
2. a) On peut appliquer le théorème de la valeur
intermédiaire à f sur [ – 2 ; 0 ] .
f prend une fois la valeur 0,1.
Sur [ 0 ; 2 ] , f décroît ; donc pour tout x ∈ [ 0 ; 2 ] ,
1 > f ( x ) > 0 , 5 et f ( x ) ≠ 0 , 1.
b) – 2 < < – 1 .
3
1. Non car --- n’est pas l’ensemble d’arrivée.
2
2. Oui, car on applique à f le théorème de la valeur intermédiaire sur ] – 2 ; 0 [ .
3. Sur ] 0 ; 2 ] , f est continue et strictement croissante,
donc prend une fois toute valeur entre 2 et 3, et il existe unique dans ] 0 ; 2 ] tel que f ( ) = 2 , 5 .
21



22 ● 1. a) On applique 3 fois à f le théorème de la
valeur intermédiaire (sur [ – 2 ; 0 ] ; [ 0 ; 1 ] ; [ 1 ; 2 ] ).
On obtient 3 solutions ( < < ) .
b) – 1 < < 0 < < 1 < < 2 .
3
2. f ( x ) 1 pour x ∈ { 0 } ∪ --- ; 2 .
2
23



Non. Voir courbe.
f (b)

C

18



1.
f (a)

x

0

f(x)

0

2

4

2
–2

2. a) f n’est pas strictement monotone.
b) Sur [ 2 ; 4 ] , f est continue et strictement décroissante.
3. 3 , 4 .
4. 2 – ( x – 2 ) 2 = 0 ; x = 2 + 2 ( x > 2 ) .
x 3 , 414 .

8

a
O







b

24 ● 1. On applique le théorème de la valeur intermédiaire. Il existe une solution unique qui est située sur [ 1 ; 3 ] .
2. ∈ [ 1 ; 3 ] par conséquent – 1 < 3 – 1, donc
– 1 < 2.

Chap01.fm Page 9 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

3. a) On applique le théorème de la valeur intermédiaire. Il existe une solution unique qui est située sur
[– 2 ; 1] .
b) f 2 ( x ) = 1 équivaut à f ( x ) = – 1 ou f ( x ) = 1 .
Il y a donc deux solutions.
25 ● 1. Sur [ 0 ; 4 ] les fonctions x x et x x
sont continues et strictement croissantes et la fonction x – 3 est constante et continue.
Par conséquent la fonction f, somme de ces trois fonctions est continue et strictement croissante.
2. On a f ( 0 ) = – 3 et f ( 4 ) = 3 . On applique alors le
théorème de la valeur intermédiaire pour conclure
qu’il existe sur [ 0 ; 4 ] , unique tel que f ( ) = 0 .
3. On obtient 1 , 69 (par défaut).
4. f est strictement croissante donc pour x < , f ( x ) < 0
et pour x > , f ( x ) > 0 .

11

2
1
O

1

2

2. Si a > 0 .
x

0

1

2
3a + 2

f(x)

2
a
a–1

Familles de fonctions
26 ● 1. a) Oui.
b) On peut appliquer à f le théorème de la valeur
intermédiaire, d’une part, sur [ 0 ; 1 ] , d’autre part, sur
[ 1 ; 2 ] et on obtient ∈ [ 0 ; 1 ] et ∈ [ 1 ; 2 ] ayant
pour image par f 0.
c) 0 , 5 1 , 45 .
1
1
2. a) f ( 1 ) = – --- = a – 1 et a = --- .
2
2
b)

x
f(x)

0
1
--2

1

2
1

x

1
1. (fig. 1) : a = --- ; (fig. 2) : a = 2 .
2
2. Les fonctions ne sont pas continues en 2.
3. Il faut a = 1 .

b)

1

2

2
f(x)

3a + 2
a
a–1

À nouveau, seule possibilité : le segment en dessous,
soit a < 3a + 2 , c’est-à-dire a > – 1 donc – 1 < a < 0 .
Comme a = 0 convient aussi, en rassemblant, on
obtient – 1 < a < 2 .



Limites, représentation graphique,
asymptotes
30

28

0

29 ●● 1. On constate que tout élément de l’intervalle d’arrivée [ – 1 ; 7 [ possède au moins un antécédent. (Pour [ 1 ; 3 [ il y a deux antécédents). La
fonction n’est pas continue.
2. C’est une condition suffisante (lorsque c est compris entre a et b) mais d’après 1. ce n’est pas une condition nécessaire.

1
– --2

⎧ – x + 1--- = 0 x = 1--2
2

c) ⎨
⎪ 1--- x 2 – 1 = 0 x = 2 ( x > 1 )
⎩2
27

Seule possibilité : le segment sous l’arc de parabole,
donc a < 2 .
Solution 0 < a < 2 .
Si a < 0 .




1. a) f ( 1 ) = 2 = – 1 + a d’où a = 3 .
x

0

1

3

2
11

f(x)
2



1. a) lim f = – ∞ .
+∞

2. a) lim f = + ∞ .
–∞

31 lim f = + ∞ .
–∞

lim f = + ∞ .
a+

b) lim f = 1 .
+∞

b) lim f = – ∞ .
–∞

lim f = – ∞ .
a–

lim f = 0 .
+∞

Chap. 1 • Continuité. Limites

• 9

Chap01.fm Page 10 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

32

lim [ f ( x ) – ( ax + b ) ] = 0 d’où asymptote



x → +∞

en + ∞ d’équation y = ax + b = 2x + 1 ; a = 2 et b = 1.
c
lim f ( x ) = ∞ d’où d = 1, et f ( x ) = 2x + 1 + ------------x–1
x→1
f ( 0 ) = 2 = 1 – c ; c = – 1.
33



Si x < 0 , est en dessous de .
Si x > 0 , est au-dessus de .
36



8
-=0 ;
1. lim f = lim ( x – 1 ) car lim --------------2

x→∞
x→∞ x + 3

lim f = – ∞ lim f = + ∞.
–∞

+∞

2. a) lim f ( x ) – ( x – 1 ) = 0

1.

d’où

x→∞

d’équation

y = x – 1 est asymptote à au voisinage de l’infini.
8
- > 0 d’où au-dessus de D.
b) f ( x ) – ( x – 1 ) = --------------2
x +3
3.

5

x
j

y=1

–∞

0

1

5
--3

2

+∞
+∞

f(x)
–∞

i

O

D

1


y=

O

1

x+

–2
1

2. lim f ( x ) = 1 et lim f ( x ) = – ∞ .
x → –∞

34



x → +∞

1. lim f ( x ) = + ∞ ;
x → 1

lim f ( x ) = – ∞ et d

x → 1

d’équation x = 1 est asymptote verticale à .
3
2. f ( x ) = 2 + ------------- et lim f = 2 et d′ d’équation y = 2
x–1

est asymptote à en – ∞ et en + ∞.
3
f ( x ) – 2 = ------------- a le signe de x – 1 et est au-dessus
x–1
de d ′ pour x > 1 , en dessous sinon.
3.
x

–∞

f(x)

+∞

1
+∞

2
–∞

x → +∞

x→∞

x → +∞

lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ .

x → 2

x → 2

2. a 3 asymptotes d’équations x = 2 au voisinage de
2 ; y = – x en – ∞ ; y = x en + ∞ .



1. lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ .
x → 0

x → 0

lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ .

d’où

l’existence

x → +∞

2. lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ d’où asymptox → 0

–∞

asymptote à l’infini d’équation y = x .
9x
b) f ( x ) – x = --------------- a le signe de 9x.
x2 + 1

10

x → –∞

x → –∞

9x
35 ● 1. f ( x ) = x + ---------------.
2
x +1
2. lim f = lim x = + ∞ lim f = – ∞ .
+∞

3
1. lim f ( x ) = lim x car lim ------------- = 0
x→∞
x→∞
x→∞ 2 – x
d’où lim f ( x ) = lim f ( x ) = + ∞.



37

38

2

Courbe sans problèmes.

3. a) lim [ f ( x ) – x ] = 0

4. a) On applique à f le théorème de la valeur inter9
5
médiaire sur [ 0 ; 1 ] ; --- ∈ --- ; 2 .
5
3
9
Il existe unique tel que f ( ) = --- .
5
b) 0 , 15 .

d’une

x → 0

te au voisinage de 0 (la droite des ordonnées).
1 1
1 1
f ( x ) = 2x – 1 + --- + ------- = 2x – --- + ------- .
2 2x
2 2x
1
lim f ( x ) – ⎛ 2x – ---⎞ = 0 d’où a une asymptote à

2⎠
x→∞
1
l’infini d’équation y = 2x – --- .
2

Chap01.fm Page 11 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

f
f
a) lim --- = + ∞ . b) lim --- = 0 .
g
g
+∞
+∞
f
f
c) lim --- = 1. d) lim --- = + ∞ .
+∞ g
+∞ g
39




53



1. Voir théorème 6.

ax
lim f ( x ) = lim ------- = a donc si
x → +∞ x
lim f ( x ) = 2 alors a = – 2 .

2. Si a ≠ 0 on a

x → +∞

x → +∞

(Si a = 0 on a lim f ( x ) = 0 ).
x → +∞

Limites – Opérations
40

x → +∞

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .

41

x → 1

42

3. Si

lim f ( x ) = + ∞.
x → 1

lim f ( x ) = – 2 ; lim f ( x ) = + ∞ ;

x → +∞

x → 1

lim f ( x ) = – ∞.
lim f ( x ) = – ∞.



45



46



x → –∞

x → 0

x → –∞

x → 1

x → 1

lim

49

lim f ( x ) = 0 ;

x→0

1
x → – ------2


lim

1
x → – ------2

f(x) = + ∞ ;

f ( x ) = – ∞.

lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ ;
x → –∞

lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞.
lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ ;

x → +∞

x → 2

51

x → –∞




58




1
x+5
3x + 5
f ( x ) = ------------- ; g ( x ) = ------------- ; h ( x ) = ----------------- .
x–1
x–1
x–1

lim

f(x) = + ∞ ;

lim

x → – 2

f ( x ) = – ∞.

x→1

Si a < 1 , lim f ( x ) = + ∞ et lim f ( x ) = – ∞ .
x → 1

Si a > 1 , lim f ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = + ∞ .
x → 1

lim x 2 + 2x + c = 0 d’où

x → –1

x → –1

59 a) D = .
lim f ( x ) = lim 3x 2 = + ∞
x → –∞

x → +∞

b) D =
lim f ( x ) = lim x 3 = – ∞
x → –∞

lim f ( x ) = lim x 3 = + ∞ .

Si a = 1 , lim f ( x ) = 2 .
x → 1

On doit avoir

1 – 2 + c = 0 soit c = 1.
x+a
x+a
On a alors f ( x ) = ------------------------------ = ---------------------2- .
2
x + 2x + 1 ( x + 1 )
On veut alors lim x + a > 0 soit – 1 + a > 0 c’est-à-

x → –∞

x → 2

x → – 2

52



–1
x–5
3x – 5
f ( x ) = ------------- ; g ( x ) = ------------- ; h ( x ) = ----------------- .
x–1
x–1
x–1

lim f ( x ) = + ∞ .

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .


57

x → –∞

x → 0





dire a > 1 .

x → +∞

x → 0

50

56

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ ;

x → +∞

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .

48



x → –∞

x → 0



1
x
2x 2 + x
- ; h ( x ) = -------------------.
f ( x ) = ------------- ; g ( x ) = --------------3
x–1
x3 – 1
x –1

3
1
3x
f ( x ) = --- + ------------- ; g ( x ) = ----------------- ;
2 x–2
2x – 4
3x – 5
h ( x ) = ----------------- .
2x – 4
55

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ ;

x → +∞





lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ .

x → +∞

lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ .

47

c = 1.
4. D’après 3., on a c = 1 et lorsque x tend vers 1 ,
x – 1 est négatif. On veut donc la limite du numérateur strictement positive.
Or lim – 2x + b = – 2 + b, d’où b > 2 .

54

x → –∞

x(x – 3)
–x
f ( x ) = ------------------------------------------ = ----------------------- ;
2(3 – x)(3 + x) 2(3 + x)
1
lim f ( x ) = – --- .
4
x→3
44

lim ( x – c ) = 0 donc

x → 1

x → 1

x → 1

43

lim f ( x ) = – ∞ on a

x → 1

x → 1

x → +∞

x → +∞

60 a) D =
x2
lim f ( x ) = lim – ------ = – ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .
3
x → –∞
x → +∞
x → –∞
b) D =
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .
x → –∞

x → +∞

Chap. 1 • Continuité. Limites

• 11

Chap01.fm Page 12 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

64 a) D = – ∞ ; – 3--- ∪ – 3--- ; 1 ∪ ] 1 ; + ∞[
2
2
x
lim f ( x ) = lim --- = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞
x → –∞
x → –∞ 2
x → +∞
lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞

61 a) D = ] – ∞ ; 3 [ ∪ ] 3 ; + ∞[
2x
lim f ( x ) = lim ------- = 2 ;
x → –∞ x
2x
lim f ( x ) = lim ------- = 2
x → +∞
x → +∞ x
x → –∞

lim f ( x ) = – ∞ ( N → 5 ; D →

x → 3

0 )

lim f ( x ) = + ∞ ( N → 5 ; D → 0 ) .

x → 3

5
5
b) D = – ∞ ; – --- ∪ – --- ; + ∞
2
2
1
1
lim f ( x ) = – --- ; lim f ( x ) = – --2 x → +∞
2
x → –∞
lim

5
x → – --2

lim

5
x → – --2

f( x ) = – ∞ ( N → 7,5 ; D →

0 )

x → +∞

f ( x ) = + ∞ ( N → 5 ; D → 0 car on est à

l’extérieur des racines)
lim

f(x) = – ∞

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .
x → 1

65 En 1, f prend une forme indéterminée pour
1
1–x
x ≠ 1 , f ( x ) = ---------------------- = – --- ; lim f ( x ) = – 1 .
x x→1
x(x – 1)
66 En 2, f prend une forme indéterminée, si
2(x – 2)
2
1
x ≠ 2 , f ( x ) = -------------------------------------- = ------------- ; lim f ( x ) = --- .
(x – 2)(x + 2) x + 2 x → 2
2

x → –∞

2

b) lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ .
x → +∞

b) D =
x
1
lim f ( x ) = lim -----2- = lim --- = 0
x → –∞
x → –∞ x
x → –∞ x
lim f ( x ) = 0 .
x → +∞

63 a) D = ] – ∞ ; – 2 [ ∪ ] – 2 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞[
lim f ( x ) = 0 ; lim f ( x ) = 0
x → +∞

lim

f( x ) = – ∞ ( N → – 9 ; D → 0 )

lim

f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ ;

x → – 2

3
x → – --2

lim f ( x ) = + ∞ .

lim f ( x ) = + ∞ .

x → – 2

3
x → – --2

x → +∞

x → 2

x → –∞

3
3
b) D = – ∞ ; – --- ∪ – --- ; 1 ∪ ] 1 ; + ∞[
2
2
3
lim f ( x ) = lim – --- x = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞
x → –∞
x → +∞
x → –∞ 2
lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞

67 a) lim f ( x ) = + ∞ ;

lim f ( x ) = – ∞

x→

x → 1

Formes indéterminées

lim f ( x ) = 1 ; lim f ( x ) = 1

x → – 2

lim f ( x ) = – ∞ ; lim f ( x ) = + ∞ .

x → 1

f( x ) = + ∞ ( N → 7,5 ; D → 0 ) .

x → –∞

lim

3
x → – --2

x → 1

62 a) D = ] – ∞ ; – 2 [ ∪ ] – 2 ; 2 [ ∪ ] 2 ; + ∞[

x → – 2

3
x → – --2

x → 1

x → –∞

1
68 a) lim f ( x ) = lim --------=0.
x → +∞
x → + ∞ 2x 3
– 2x 2
-= –1.
b) lim f ( x ) = lim ------------x → –∞
x → – ∞ 2x 2
x–3
69 a) lim f ( x ) = lim ---------------= –3.
x→0
x → 0 1 – x4
x2
1
lim f ( x ) = lim ---------5- = lim – -----3- = 0 .
x → +∞ x
x → +∞
x → +∞ – x
x6
b) lim f ( x ) = lim ---------3- = lim ( – x 3 ) = + ∞ .
x → –∞
x → –∞ – x
x → –∞
70



lim f ( x ) = – ∞ .

– x3
lim f ( x ) = lim ⎛ ----------⎞

x ⎠
x → –∞
x → –∞

x → 1

= lim – x 2 = – ∞.

b) D = ] – ∞ ; – 2 [ ∪ ] – 2 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞[
lim f ( x ) = 1 ; lim f ( x ) = 1

x → –∞

lim

x → – 2

x → +∞

f(x) = + ∞ ;

lim

x → – 2

f(x) = – ∞

lim f ( x ) = + ∞ ; lim f ( x ) = – ∞ .

x → 1

12

x → 1

x → –∞
x3

lim f ( x ) = lim ⎛ – ------⎞ = lim – x 2 = – ∞ .
x → +∞ ⎝ x ⎠
x → +∞

x → +∞

( x – 3 ) ( 2x + 3 )
f ( x ) = ------------------------------------------ = 9 + 2h .
x–3
lim f ( x ) = lim ( 9 + 2h ) = 9 .
71

x→3



h→0

Chap01.fm Page 13 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

( x – 2 ) ( 5x – 1 ) 5h + 9
f ( x ) = ---------------------------------------- = ------------------ .
h
( x – 2 )2
5h + 9
lim f ( x ) = lim ⎛ ------------------⎞ = + ∞ lim f ( x ) = – ∞ .



h ⎠
x→2
h→0
x → 2
72



x3
lim f ( x ) = lim ------- = lim – x 2 = – ∞ .

x → –∞
x → –∞ x x → –∞
3
x
lim f ( x ) = lim ------ = lim x 2 = + ∞ .
x → +∞
x → +∞ x
x → +∞
73

74

80 a) lim f ( x ) – g ( x ) – x
x → +∞

f(x) g(x)
= lim x ⎛ ----------- – ------------ – 1⎞ = + ∞ ;

x
x → +∞ ⎝ x
g(x) f(x)
b) lim g ( x ) – f ( x ) + x = lim x ⎛⎝ ------------ – ----------- + 1⎞⎠
x
x
x → +∞
x → +∞
= – ∞.





1
------- – 1
x
–1
f ( x ) = ------------------ et lim f ( x ) = ------- = – 1 .
1
1
x → +∞
------- + 1
x

81

f(x)
a) lim f ( x )g ( x ) – x = lim x ⎛ ----------- g ( x ) – 1⎞

x → +∞
x → +∞ ⎝ x
=+∞ ;
g(x)
b) lim xf ( x ) – g ( x ) = lim x ⎛ f ( x ) – ------------⎞ = + ∞ .
x ⎠
x → +∞
x → +∞ ⎝
1
1
a) lim ----------- + ------------ = 0 ;
g(x)
x → + ∞ f(x)
x
b) lim ----------- = 0 .
x → + ∞ f(x)
82

75



1
1 – ------x
f ( x ) = ------------------ et lim f ( x ) = 0 (on a facto1
x → +∞
x + --x

risé x).
76



( 2x + 3 ) ( 8x – 1 ) 8h – 13
f ( x ) = --------------------------------------------- = -------------------- et
( 2x + 3 ) ( 2x – 1 ) 2h – 4

8h – 13
13
lim f ( x ) = lim ⎛ --------------------⎞ = ------ .
4
3
h → 0 ⎝ 2h – 4 ⎠





xf ( x )
f(x)
a) lim --------------- = lim -------------- = + ∞ ;
x
+
1
1
x → +∞
x → +∞
1 + --x
xg ( x )
g(x)
b) lim ---------------- = lim -------------- = + ∞ .
1
x → +∞ x + 1
x → +∞
1 + --x
83



x → – --2

Définition de fonctions composées
77



3x 3



7x 2

+ 5x – 1 = ( x –

1 ) ( 3x 2

– 4x + 1 ) et

⎧1

pour x ∉ ⎨ --- ; 1 ⎬ f ( x ) = x – 1 , d’où lim f ( x ) = 0 .
3
x→1


78



A. 1. Limite du terme de plus haut degré.
1
2
2. 2x 4 + x – 2 = 2x 4 ⎛ 1 + ------------------ – ---------4⎞ = 2x 4 × A .


3
2x
2x x
lim A = 1 d’où lim ( 2x 4 + x – 20 ) = + ∞ .

x → +∞

x → +∞

2x 4 × A 2x 2 × A
B. 3. f ( x ) = -------------------------- = ---------------------- et lim f ( x ) = + ∞ .
4
x → +∞
4
1 – --x 2 ⎛ 1 – ---⎞
x

x⎠
4. a) Si x 4 , x – 2 0 et 2x 4 + x – 2 2x 4 .
b) Pour x > 4 , x 2 > 4x donc x 2 – 4x > 0 et
x 2 – 4x < x 2 .
4+ x–2
2x 4
2x 4
1
1 et 2x
-----------------------------------------------------------c) ------------------.


---->
x 2 – 4x
x 2 – 4x
x2
x 2 – 4x x 2
d) Soit f ( x ) 2x 2 donc lim f ( x ) = + ∞ .

84

f g ( x ) = 4x 2 ; g f ( x ) = 2x 2 .

85

f g ( x ) = 3x + 3 ; g f ( x ) = 3x + 9 .

86 f g ( x ) = ( – 2x + 3 ) 2 – 2 ( – 2x + 3 )
= 4x 2 – 8x + 3.
g f ( x ) = – 2 ( x 2 – 2x ) + 3 = – 2x 2 + 4x + 3.
87 ● 1. f g ( x ) = a ( cx + d ) + b = acx + ad + b.
g f ( x ) = c ( ax + b ) + d = acx + bc + d .
2. ad + b = bc + d .
3. 2d + 2 = 6 + d soit d = 4 .
88



D f g = [ 0 ; + ∞[ ; D g f = [ – 1 ; + ∞[.

f g(x) = x + 1 ; g f(x) = x + 1 .
⎧1 ⎫
D f g = * ; D g f = – ⎨ --- ⎬ .
⎩2 ⎭
2
1
f g ( x ) = --- – 1 ; g f ( x ) = ----------------- .
x
2x – 1
89



(x) ⎞
79 a) lim f ( x ) – x = lim x ⎛ f----------–1 =+∞;


x
x → +∞
x → +∞

90



g(x)
lim g ( x ) – x = lim x ⎛ ------------ – 1⎞ = – ∞.
⎝ x

x → +∞

1 2
1
f g ( x ) = -----2- + --- – 3 ; g f ( x ) = -----------------------------.
x
x
x 2 + 2x – 3

x → +∞

x → +∞

Df g = * ; Dg f = – { 1 ; – 3 } .

Chap. 1 • Continuité. Limites

• 13

Chap01.fm Page 14 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

91



h : x 5x2 – 3x + 1 ; g : x x3 .

92



h:x

93




x2

101



Pour n impair, lim f ( x ) = – ∞ .
x → –∞

1
+ 4 ; g : x --- .
x

Pour n pair, n > 0 , lim f ( x ) = + ∞ .
x → –∞

Df g = [ – 1 ; 1 [ ;

102



a) lim x 2 – x = + ∞

x → +∞
lim f ( x 2 –
x → +∞

D g f = [ 0 ; 1 [ ∪ ] 1 ; + ∞[ ;

donc

1+x
1+ x
f g ( x ) = ------------- ; g f ( x ) = ------------------ .
1–x
1– x

b) lim ( 1 – x ) = – ∞ donc lim f ( 1 – x ) = 0 .
x → +∞

lim ( 2x – 3 ) = + ∞ ; lim

x → +∞

X → +∞

X=+∞

d’où lim f ( x ) = + ∞ .
x → +∞

lim 5 – 3x = + ∞ ; lim

95

x → –∞

X → +∞

X=+∞

d’où lim f ( x ) = + ∞ .
x → –∞

1
lim 2x – --- = + ∞ ; lim
x
X → +∞
d’où lim f ( x ) = + ∞ .
96

x → +∞

X=+∞

x → +∞

97



lim 4x 2 – 1 = + ∞ ; lim

x→∞

X → +∞

X=+∞

d’où lim f ( x ) = lim f ( x ) = + ∞ .
x → –∞




104 ●● 1. a) g ( 1 ) = 0 et sur ] – ∞ ; 2 [ , f ( x ) > 0 donc
f(g(1)) > 0 .
b) Pour tout a, g ( a ) 0 donc f ( g ( a ) ) > 0 .
c) Pour tout x, g ( x ) 0 donc pour a ≠ 2 , g ( f ( a ) ) 0 .
2. g est définie sur , donc si x ≠ 2 , f ( x ) existe et
g ( f ( x ) ) aussi.
3. Pour tout x, g ( x ) ≠ 2 , donc f ( g ( x ) ) existe.
4. lim f ( x ) = + ∞ et lim g ( x ) = – ∞
x → +∞

x → 2

x → 2

lim f ( x ) = – ∞ et lim g ( x ) = – ∞

X=+∞

x → +∞

x → –∞

x → 2

donc lim g ( f ( x ) ) = – ∞ .
x → 2

lim f ( x ) = 1 et lim g ( x ) = 0

x → +∞

1
lim ⎛ 2x – 1 + ---⎞ = + ∞ ; lim X 3 = + ∞ ;

x⎠
X → +∞
lim f ( x ) = + ∞ .

99

1
1
a) lim --- = 0 donc lim f ⎛ ---⎞ = – ∞ .
x → +∞ x
x → + ∞ ⎝ x⎠
1
1
b) lim -----2- = 0 donc lim f ⎛ -----2-⎞ = – ∞ .
x → –∞ x
x → – ∞ ⎝x ⎠
1
1
c) lim --- = + ∞ donc lim f ⎛ ---⎞ = + ∞ .



x⎠
x→0 x
x→0
103

donc lim g ( f ( x ) ) = – ∞ .

x → +∞

1
lim 4x + 2 – --- = + ∞ ; lim
x
x → +∞
X → +∞
d’où lim f ( x ) = + ∞ .
98

x → +∞

x2 + 1
x2 + 1
c) lim ---------------- = – ∞ donc lim f ⎛ ----------------⎞ = 0 .
x → –∞ x – 1
x → –∞ ⎝ x – 1 ⎠

Limites de fonctions composées
94

x ) = + ∞.



x → +∞

x → +∞

1
lim 2x – 1 + --- = – ∞ ; lim X 3 = – ∞ ;
x
x → –∞
X → –∞
lim f ( x ) = – ∞.

x→1

donc lim g ( f ( x ) ) = 0 .
x → +∞

5. lim g ( x ) = – ∞ et lim f ( x ) = 0
x → –∞

x → –∞

donc lim f ( g ( x ) ) = 0 .
x → –∞

lim g ( x ) = – ∞ donc lim g ( f ( x ) ) = 0 .

x → +∞

x → +∞

x → –∞

1
lim ⎛ 2x – 1 + ---⎞ = – ∞ ; lim f ( x ) = – ∞.


x⎠
x→0
x → 0
1
lim ⎛ 2x – 1 + ---⎞ = + ∞ ; lim f ( x ) = + ∞.
x⎠
x → 0 ⎝
x → 0
100



D f = ] – 2 ; + ∞[ ; lim

x → –2

x + 2 = 0 ;

–3
lim ------- = – ∞ d’où lim f ( x ) = – ∞ ;
x → –2
X → 0 X
lim f ( x ) = 0 .
x → +∞

14

Théorèmes de comparaison
1
1
lim ------- = lim ------- = 0 ;
3x x → + ∞ 2x
3
d’où lim f ( x ) = --- .
2
x → +∞
105

x → +∞

2
2
lim -----2- = lim --- = 0 ;
x → +∞ x
x → +∞ x
5
d’où lim f ( x ) = – --- .
2
x → +∞
106

Chap01.fm Page 15 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

1
lim --- = 0 ; d’où lim f ( x ) = – 1 .
x → +∞ x
x → +∞

107

108



109



1
lim --- = – ∞ ; d’où lim f ( x ) = – ∞ .

x→0 x
x → 0
lim

x → –∞

x = lim

x → +∞

110



lim ( – x 2 ) = lim ( – x 2 ) = – ∞ ;
x → +∞

x → +∞

x → +∞

x → –∞

2. En + ∞ , non ; en – ∞ , oui car :
f ( x ) g ( x ) et lim g ( x ) = + ∞ ;
x → –∞

113



114




1
f ( x ) = x 2 – ------------- ; g ( x ) = x .
x–1
f ( x ) x 2 – 1 car sin x – 1 ,

x → –∞

x → +∞

x → +∞

(page 44)
6. a) M est le point de d’abscisse m ≠ 0 donc
∩ D m possède au moins un point : M ; équation

1.

m2 + 4
aux abscisses ------------------- x = x 2 + 4 ; second degré.
m
( m – 2 )2( m + 2 )2
- 0 , = 0 pour m = ± 2 .
= ----------------------------------------------m2
Dans ces 2 cas, D m est tangente à en M.
Dans les autres cas, D m est sécante.
4x

4

–2

–1

1
O

C(x) f(x)
7. t ( x ) = ------------- = ----------- .
x
x

y=

2

1

2

y – 0 x2 + 4
4
2. t ( x ) = ------------- = ---------------- = x + --- .
x–0
x
x
4
3. t ( – x ) = – x + ------- = – t ( x ) ; t impaire. La courbe est
–x
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
4. lim t = – ∞ ; lim t = + ∞ ; lim t = – ∞ ; lim t = + ∞ .
5. a) t ( x ) = 5

x → +∞

alors lim f ( x ) = lim f ( x ) = + ∞ .

et f ( x ) 2x 2 – 3 , donc lim f ( x ) = + ∞.

0

1. lim g ( x ) = – ∞ ; lim g ( x ) = + ∞ .

x → –∞

x → +∞

Problèmes de synthèse



et comme lim ( x 2 – 1 ) = lim ( x 2 – 1 ) = + ∞

lim 2x 2 – 3 = lim 2x 2 – 3 = + ∞



x→±∞

x → –∞

2. ( P2 ) , oui en – ∞ et en + ∞ car :
x → –∞

x→∞

4. Non car on obtient lim f ( x ) – 3 < 0 .

x → +∞

111 ● 1. ( P1 ) en – ∞ , non.
En + ∞ , oui :
lim 2x – 3 = + ∞ ; d’où lim f ( x ) = + ∞.

115

x→∞

d’où lim f ( x ) = + ∞.

d’où lim f ( x ) = lim f ( x ) = – ∞ .
x → –∞

donc lim f ( x ) – 3 = 0 et lim f ( x ) = 3.

112

x → +∞

x → –∞

1
1
lim ------ = lim ------ = 0
x
x → –∞
x → +∞ x

x =+∞ ;

d’où lim f ( x ) = lim f ( x ) = + ∞ .
x → –∞

3. Oui en – ∞ et + ∞ car

0

pour

–∞

4
x + --- = 5,
x

+∞

x 2 – 5x + 4 = 0 ,

x ∈ { 1 ; 4 }.
b) t ( x ) = 4 pour x 2 – 4x + 4 = 0, x = 2 , racine double.
c) t ( x ) = 2 pour x 2 – 2x + 4 = 0 , S = ∅ .

7
1. lim f ( x ) = lim --- x 3 = + ∞ ;
x → +∞
x → +∞ 2
lim f = – ∞.
116



–∞

2. a)
x
f(x)

–∞

–∞

5
– --7
M

1

+∞
+∞

m

M 1 , 377 .
729
m = – --------- – 7 , 44 .
98
Chap. 1 • Continuité. Limites

• 15

Chap01.fm Page 16 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

b)
x

–2

f(x)

–1

– 0 ,5

0

0,561

0,998

– 1 ,939

– 1 ,5

– 20 ,94 – 5 ,876
x

0,5

1

1,5

2

f(x)

– 5 ,625

– 7 ,43

– 4 ,750

5,061

5
3. a) 0 ∈ f (– 1 , 5 ) ; f ⎛ – ---⎞ a un antécédent dans
⎝ 7⎠

117 ● A. 1. x 2 + x + 1 et x 2 – x + 1 sont toujours
positifs.
2. La limite en + ∞ de x 2 + x + 1 et x 2 – x + 1 est celle
de terme de plus haut degré x 2 ; en composant avec
la fonction racine et en retranchant, on obtient la forme indéterminée « ∞ – ∞ » ; même argumentation en
« – ∞ ».
B. 2. Il semble que l’on ait

lim f ( x ) = 1 et

x → +∞

lim f ( x ) = – 1.

5
– 1 , 5 ; – --- .
7
b) ∈ [– 1 , 5 ; – 1 ] .

x → –∞

5
– --- ; 1
4. Même théorème dans
fournit ,
7
– 0 , 3 ; puis dans [ 1 ; 2 ] , 1 , 7 .
5
95
190
5. a) 7x 3 – 3x 2 – 15x – --------- = ( 7x + 2 ) ⎛ x 2 – --- x – ------⎞ .

7
49⎠
49
–2
b) On obtient x = ------- – 0 , 3 ( ) et, pour le second
7
degré, deux racines ( et , racines de
49x 2 – 3x – 95 = 0 ).

( x2 + x + 1 ) – ( x2 – x + 1 )
C. 1. f ( x ) = ----------------------------------------------------------------------x2 + x + 1 + x2 – x + 1
2x
= ---------------------------------------------------------------------- .
2
x + x + 1 + x2 – x + 1

2. À l’infini, forme ---- .

2x
3. a) f ( x ) = ------------------------------------------------------------------------------------------------1 1
1 1
x 2 ⎛ 1 + --- + -----2-⎞ + x 2 ⎛ 1 – --- + -----2-⎞


x x ⎠
x x ⎠

35 ± 19 845
------------------------------------- .
98
6.

2x
= --------------------------------------------------------------------------------1 1
1 1
x 1 + --- + -----2- + 1 – --- + -----2x x
x x
et lim f ( x ) = 1 .
x → +∞

1

b) En effet,
–1

O

1

–2

Pour chercher plus

(page 45)

(x – 1)(x + 4)
f ( x ) = -------------------------------------- .
(x – a)(x + a)
1. a) Soit a = 0 (droite des ordonnées).
Soit a ∈ { 1 ; – 1 ; 4 ; – 4 } , ce qui permet la simplification :
• par x – 1 pour a ∈ { – 1 ; 1 } avec une asymptote
d’équation x = – 1 ;
• par x + 4 pour a ∈ { – 4 ; 4 } avec une asymptote
d’équation x = – 4 .
118

16





2(– x)
f ( – x ) = ---------------------------------------------------------------------- = – f ( x ).
2
x – x + 1 + x2 + x + 1
O est centre de symétrie de , donc la limite en – ∞
de f est – 1 .

b) Il y a 2 asymptotes verticales si
a ∉ { 0 ; 1 ; – 1 ; 4 ; – 4 } ( x = a et x = – a ).
2. Non.
119





1. Cela exige que le degré du numérateur
soit inférieur ou égal à celui du dénominateur :
a) Si a 2 – 3 = 0 et a – 3 ≠ 0 , soit a = – 3 , il y a une
asymptote horizontale d’équation y = 2 3 .

Chap01.fm Page 17 Vendredi, 4. août 2006 2:42 14

b) Si a 2 – 3 = 0 et a – 3 = 0 , soit a = 3 , l’axe des
abscisses est asymptote.
2. Voir 1. b) .

120





1

Penser à la valeur absolue.

1
Exemple : f ( x ) = x + 1 + --------------- a une asymptote
2
x +1
d’équation y = x + 1 en + ∞ et une autre d’équation
y = – x – 1 en – ∞ .
121





On peut construire facilement de telles fonctions à l’aide de fonctions affines par morceaux.
Par exemple, la fonction représentée ci-dessous,

C’est nouveau au bac

–5
2 Pour a on a lim ---------- = 0 . Donc réponse
x → + ∞ f(x)
fausse.
Pour b d’après les théorèmes de comparaison,
lim x = lim g ( x ) = 0 donc lim f ( x ) = 0 .
x→0

x→0

1
lim ------------------------------ ≠ 0 . Donc réponse fausse.
f(x) – g(x)

x→0

3 Pour a on peut avoir f ( 1 ) = 15 . Donc réponse
fausse.
Pour b on a f ( x )

pour

x ∈ [0 ; 1[

f ( 0 ) = 3.

f(x) = x – 1

pour

x ∈ [1 ; 3]

f ( 3 ) = 2.

Commentaire : on réalise ici que le fait pour une fonction d’être
continue et strictement monotone sur un intervalle I est une
condition suffisante pour définir une bijection de I sur un intervalle J, condition en aucune façon nécessaire.

5 Faux : Il n’y a pas de limite en 2. (Il y a une
limite à gauche égale à – ∞ et une limite à droite égale
à + ∞.)

6

1
Faux : Exemple : f ( x ) = --- .
x

7

Faux : Exemple : f ( x ) = x 2 + x .

x→0

Donc réponse exacte.
Pour c lim f ( x ) – g ( x ) = 0 d’après le texte et b , donc

x3

et

lim

x → +∞

1

(page 46)

1 Réponse a (b et c ne correspondent pas à des
fonctions continues).

x→0

O

définie par :
f(x) = – x + 3

x3

= + ∞ donc

On a lim f ( x ) = + ∞ .
x → –∞

8

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

2. La stricte monotonie.

lim f ( x ) = + ∞. Donc réponse exacte.

x → +∞

Pour c on ne sait rien en – ∞ . Réponse fausse.
f(x)
1
Vrai : On a 0 ----------- ------- et
x
x
f(x)
donc lim ----------- = 0 .
x → +∞ x
4

1
lim ------- = 0
x → +∞ x

9

f ( x ) – u ( x ) équivaut à

– u ( x ) f ( x ) – u ( x ).
Or lim – u ( x ) = lim u ( x ) = 0
x→a

x→a

donc lim f ( x ) – = 0 d’où lim f ( x ) = .
x→a

x→a

Chap. 1 • Continuité. Limites

• 17


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