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Mathématiques : cours et exercices de maths. Brevet de mathematiques en troisième (3ème) et mathematique pour
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Le raisonnement par récurrence.

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cours de mathématiques sur Le raisonnement par
récurrence.
Cours et méthodologie sur le raisonnement par
récurrence et rédaction de la démonstration
1.Principe de récurrence et ses axiomes :

Axiome :

Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont réunies :
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;
• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est
vérifiée ;
Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.

Exemple :
On considère la suite

définie par :

Montrons par récurrence, sur l'entier n, que :

Soit la propriété de récurrence suivante :

Initialisation :
Montrons que
est vraie.
D'apres les hypothèses,
Donc
vraie .
Hérédité de la propriété :
Supposons qu'il existe un entier
Montrons que
reste vraie .
Comme
est vraie.

tel que

soit vraie.

alors

donc

est vraie .

Conclusion :
(
donc d'après le principe de récurrence :

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