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ethode des ´
el´
ements finis :
treillis plans `
a nœuds articul´
es
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans

epartement G´
enie M´
ecanique et Productique
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
24 mars 2006 – 29 mars 2011

Table des mati`
eres
Introduction

3

1 Matrices ´
el´
ementaires

3

2 Exemple 1 : treillis soumis `
a une force nodale
´
2.1 Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . .
´
2.3 Etude
´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus
2.5 Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . .
2.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6
6
6
7
7
7
8

3 Exemple 2 : treillis soumis `
a une force nodale
´
3.1 Enonc´
e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . .
´
3.3 Etude
´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus
3.5 Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . .
3.6 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8
8
9
9
10
10

4 Exemple 3 : treillis soumis `
a une variation de temp´
erature
´
4.1 Enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
4.3 Etude
´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Premier cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus . . .
4.4.2 Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . . . .
4.4.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Deuxi`eme cas de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Assemblage et calcul des d´eplacements inconnus . . .
4.5.2 Efforts normaux dans les ´el´ements . . . . . . . . . . .
4.5.3 Actions de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10
10
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11
12
12
12
12
13
13
13
13

5 Programmes Maple
5.1 tre mat . . . . .
5.2 exemple 1 . . . .
5.3 exemple 2 . . . .
5.4 exemple 3 . . . .

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14
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15
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ef´
erences

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16

Treillis plans `a nœuds articul´es

3

Introduction
Un treillis est un ensemble de poutres droites (´
el´
ements) reli´ees entre elles par des rotules (nœuds).
Les liaisons ext´erieures sont des rotules et des appuis simples. Les charges sont des forces port´ees par
les rotules, des gradients thermiques et des d´eplacements d’appui. La force int´
erieure dans une
section droite se r´
eduit `
a l’effort normal.
Le treillis est plan si :
– Le plan {O; x, y} est un plan de sym´etrie pour toutes les sections droites.
– Les forces appliqu´ees sont situ´ees dans le plan {O; x, y}.
On suppose que les d´
eplacements sont petits.

1

Matrices ´
el´
ementaires

Soit (i → j) un ´el´ement de treillis plan de section droite constante (figure 1).

´ ement i → j
Figure 1 – El´
L est la longueur de l’´el´ement et A l’aire de sa section droite.
(xi , yi ) et (xj , yj ) sont les coordonn´ees des nœuds de l’´el´ement.
Le vecteur unitaire ~n port´e par l’axe de la poutre est d´efini par :
½
¾ ½
¾
½ ¾
1 xj − xi
cos θ
nx
=
, L2 = (xj − xi )2 + (yj − yi )2
=
sin θ
ny
L yj − yi

(1.1)

o`
u θ est l’angle que fait ~n avec l’axe x.
E et α sont respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du mat´eriau.
L’´el´ement est soumis `a un effort normal N (positif : traction, n´egatif : compression) et `a une variation
de temp´erature ∆T constante.

4

M´ethode des ´el´ements finis

(ui , vi) et (uj , vj ) sont les d´eplacements nodaux (figure 2).

Figure 2 – D´eplacements ´el´ementaires
Les efforts aux extr´emit´es de l’´el´ement sont (figure 3) :
− N ~n en i ,

N ~n en j

(1.2)

Figure 3 – Efforts ´el´ementaires
Diff´erentions la relation :
L2 = (xj − xi )2 + (yj − yi )2

(1.3)

2 L dL = 2 (xj − xi ) (dxj − dxi ) + 2 (yj − yi ) (dyj − dyi )

(1.4)

Il vient :
d’o`
u l’expression de l’allongement unitaire suivant ~n :
µ

(yj − yi )
dL
1 (xj − xi )
εn =
=
(dxj − dxi ) +
(dyj − dyi )
L
L
L
L

(1.5)

soit :

1
( nx (uj − ui ) + ny (vj − vi ) )
(1.6)
L
Cet allongement unitaire est dˆ
u `a l’effort normal (loi de Hooke) et `a la variation de temp´erature :
εn =

εn =

N
+ α ∆T
EA

(1.7)

L’effort normal s’´ecrit en fonction des d´eplacements nodaux :
N = EA (εn − α ∆T )
EA
=
( nx (uj − ui ) + ny (vj − vi ) ) − EA α ∆T
L

(1.8)

 


 ui 
¤  vi 
ny
− EA α ∆T
uj 



 
vj

(1.9)

soit :
N=

EA £
−nx −ny nx
L

Treillis plans `a nœuds articul´es

5

On en d´eduit :
{fnod } = [ k ] {u} − {fth }
avec :



−nx 





−ny
{fnod } = N
n 



 x 
ny

,

(1.10a)

 
ui 



 
vi
{u} =
u 



 j
vj

(1.10b)




 2
nx nx ny
−n2x
−nx ny
−nx 



¤ EA 
EA −ny  £
n2y
−nx ny
−n2y 


−nx −ny nx ny =
[k] =
2


n
n
n
n

L 
L
x
y
x
x




2
sym.
ny
ny


−nx 





−ny
{fth } = EA α ∆T
n 


 x 

ny

(1.10c)

(1.10d)

{fnod } est le vecteur force nodal (N).
{u} est le vecteur d´eplacement ´el´ementaire (m).
[ k ] est la matrice de rigidit´e (N/m).
{fth } est le vecteur force ´equivalent au gradient thermique (N).
Remarque 1 : la matrice de rigidit´e peut se mettre sous la forme :
·
¸
¸
· 2
¯
¯
nx ny
[k]
−[k]
¯ = EA nx
[k] =
avec
[
k]
¯
¯
n2y
−[k]
[k]
L nx ny
Remarque 2 : la matrice de rigidit´e est ´egale `a :


nx 0
·
¸·
ny 0  EA 1 −1 nx


[k] = 
0
0 nx  L −1 1
0 ny

ny
0

0
nx

0
ny

(1.11)

¸
(1.12)

ou :

nx
 ny
[k] = 
0
0

−ny
nx
0
0

0
0
nx
ny



1
0
0
EA
0 


−ny  L −1
0
nx

0
0
0
0


−1 0
nx
−ny
0 0

1 0  0
0 0
0

ny
nx
0
0

0
0
nx
−ny


0
0

ny 
nx

(1.13)

Remarque 3 : l’´energie de d´eformation est ´egale `a (`a un coefficient pr`es ind´ependant des d´eplacements
et de leurs d´eriv´ees) :
1
EA ε2n L − EA εn α ∆T L
2
1
= {u}T [ k ] {u} − {u}T {fth }
2

Edef =

(1.14)

Le travail des forces ext´erieures se r´eduit au travail des forces nodales :
Wext = {u}T {fnod }

(1.15)

6

M´ethode des ´el´ements finis
L’´energie potentielle est ´egale `a :
Epot = Edef − Wext

(1.16)

La matrice de rigidit´e est la matrice hessienne (ou matrice de Hess) de l’´energie de d´eformation par
rapport aux d´eplacements nodaux (programme tre mat) :
kij =

∂ 2 Edef
∂ui ∂uj

(= kji )

(1.17)

Le vecteur des efforts aux nœuds est le gradient de l’´energie de d´eformation par rapport aux d´eplacements nodaux :
∂Edef
fnod,i =
(1.18)
∂ui

2

Exemple 1 : treillis soumis `
a une force nodale

2.1

´
Enonc´
e

Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 4 est compos´e de trois poutres de mˆeme nature et de mˆeme section droite.
Soient E le module de Young du mat´eriau et A l’aire des sections
droites.
Le noeud 1 est articul´e et le nœud 3 repose sur un appui simple dont
la normale est horizontale.
Le noeud 2 porte une charge de composantes (0, P ).
Application num´
erique : on donne :
A = 100 mm2 , L = 0.2 m , E = 200000 MPa , P = −10000 N

2.2

Figure 4 – Exemple 1

Partition des degr´
es de libert´
e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :
 
u2 
{UL } = v2
 
v3

,

 
u1 
{US } = v1
 
u3

 
u2 






v2 


½
¾ 
 

v3
{UL }
d’o`
u {U } =
=
{US }
u1 







v
1
 



u3

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :


u1 → 0







v

0


1




u2 → 1
{DDL} =
v2 → 2 








u3 → 0




v3 → 3

Treillis plans `a nœuds articul´es

2.3

7

´
Etude
´
el´
ementaire

– coordonn´ees nodales :

nœud
1
2
3

x
0
L
0

y
L
0
−L

– ´el´ement 1 → 2 :

1
1
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx = √ , ny = − √
2
2



u1 → 0
1 −1 −1





EA 
v1 → 0
−1
1
1

{ddl1−2 } =
, [k1−2 ] = √

u

1
−1
1
1


2 2L


 2

v2 → 2
1 −1 −1


1
−1

−1
1

– ´el´ement 3 → 1 :
caract´eristiques : 2 L , A , E , nx = 0 ,



u3 → 0
0





EA 
v3 → 3
0
, [k3−1 ] =
{ddl3−1 } =
u → 0

2 L 0


 1

v1 → 0
0
– ´el´ement 3 → 2 :

ny = 1
0
1
0
−1


0 0
0 −1

0 0
0 1


1
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx = √ , ny =
2



u3 → 0
1
1






EA  1
v3 → 3
1
{ddl3−2 } =
, [k3−2 ] = √

u

1
−1
−1


2 2L


 2

−1 −1
v2 → 2

2.4

1

2

−1 −1
−1 −1

1
1
1
1

Assemblage et calcul des d´
eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [KLL ]{UL } = {Fnod,L } :

   
2
0
−1
u2   0 
EA 

0
2
−1√  v2 = P
2 2 L −1 −1 1 + 2  v   0 
3

d’o`
u (programme exemple 1) :
u2 =

2.5


PL
PL
= −0.050 mm , v2 =
(1 + 2 2) = −0.191 mm
2 EA
2 EA
PL
v3 =
= −0.100 mm
EA

Efforts normaux dans les ´
el´
ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :

µ

EA
1
1
P 2
√ u2 − √ v2 = −
N1−2 = √
= 7071 N
2
L 2
2
2

N3−2

P
EA
( −v3 ) = − = 5000 N
N3−1 =
2L
2

µ

EA
1
1
P 2
√ u2 + √ ( v2 − v3 ) =
= √
= −7071 N
2
L 2
2
2

8

M´ethode des ´el´ements finis

2.6

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) :
– nœud 1 :
F~1 = −N1−2 ~n1−2 + N3−1 ~n3−1
1
P
F1x = − √ N1−2 =
= −5000 N ,
2
2

d’o`
u

1
F1y = √ N1−2 + N3−1 = −P = 10000 N
2

– nœud 3 :
F~3 = −N3−1 ~n3−1 − N3−2 ~n3−2

d’o`
u

1
P
F3x = − √ N3−2 = − = 5000 N
2
2
Remarque : l’´equilibre de la structure est v´erifi´e :
F1x + F2x + F3x = 0 ,

3
3.1

F1y + F2y + F3y = 0 ,

−2 LF1x − LF2x + LF2y = 0

Exemple 2 : treillis soumis `
a une force nodale
´
Enonc´
e

Le treillis plan repr´esent´e sur la figure 5 est compos´e de trois
poutres de mˆeme section.
Soient E le module de Young du mat´eriau et A l’aire des sections droites.
Le nœud 1 est articul´e et le nœud 2 repose sur un appui simple
dont la normale est horizontale.
Le nœud 3 porte une charge d’intensit´e (P, 3 P, 0).
Figure 5 – Exemple 2
Application num´
erique : on donne :
A = 100 cm2 , E = 200000 MPa , L = 0.7 m , P = −120 kN

3.2

Partition des degr´
es de libert´
e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

 
 v2 
{UL } = u3
 
v3

,

 
u1 
{US } = v1
 
u2

 
v2 


u 




3
½
¾ 
 

v3
{UL }
d’o`
u {U } =
=
{US }

u1 






v1 

 

u2

Treillis plans `a nœuds articul´es

9

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :


u1 → 0







v

0


1




u2 → 0
{DDL} =
v2 → 1 








u3 → 2




v3 → 3

3.3

´
Etude
´
el´
ementaire

– coordonn´ees nodales :

nœud
1
2
3

x
0
0
L

y
0
L
0

– ´el´ement 1 → 2 :
caract´eristiques : L , A , E , nx = 0 , ny = 1




u1 → 0
0 0 0 0






EA 
v1 → 0
0 1 0 −1
, [k1−2 ] =
{ddl1−2 } =

u → 0

L 0 0 0 0


 2

v2 → 1
0 −1 0 1
– ´el´ement 1 → 3 :
caract´eristiques : L , A , E , nx = 1 , ny = 0



u

0
1 0 −1


1





EA  0 0 0
v1 → 0
, [k1−3 ] =
{ddl1−3 } =
u

2


L −1 0 1


 3

0 0 0
v3 → 3
– ´el´ement 2 → 3 :


1
caract´eristiques : L 2 , A , E , nx = √ , ny =
2



u2 → 0
1 −1





EA 
v2 → 1
−1
1

{ddl2−3 } =
, [k2−3 ] = √

u → 2

2 2 L −1 1


 3

v3 → 3
1 −1

3.4


0
0

0
0

−1

2

−1 1
1 −1

1 −1
−1 1

Assemblage et calcul des d´
eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [KLL ]{UL } = {Fnod,L } :


   
1+2 2
1 √ −1  v2   0 
EA 

1
1 + 2 2 −1 u3 = P
   
2 2L
v3
3P
−1
−1
1
d’o`
u (programme exemple 2) :
3PL
= −0.126 mm
EA

4PL
(7 + 6 2) P L
u3 =
= −0.168 mm , v3 =
= −0.650 mm
EA
EA
v2 =

10

M´ethode des ´el´ements finis

3.5

Efforts normaux dans les ´
el´
ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :
N1−2 =

N2−3

3.6

EA
v2 = 3 P = −360 kN
L

EA
N1−3 =
u3 = 4 P = −480 kN
L
µ


EA
1
1
√ u3 − √ ( v3 − v2 ) = −3 2 P = 509 kN
= √
L 2
2
2

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) :
– nœud 1 :

F~1 = −N1−2 ~n1−2 − N1−3 ~n1−3
F1x = −N1−3 = −4 P = 480 kN ,

d’o`
u

F1y = −N1−2 = −3 P = 360 kN

– nœud 2 :

F~2 = N1−2 ~n1−2 − N2−3 ~n2−3 d’o`
u
1
F2x = − √ N2−3 = 3 P = −360 kN
2
Remarque : l’´equilibre de la structure est v´erifi´e :
F1x + F2x + F3x = 0 ,

4
4.1

F1y + F2y + F3y = 0 ,

LF3y − LF2x = 0

Exemple 3 : treillis soumis `
a une variation de temp´
erature
´
Enonc´
e

Le treillis plan `a noeuds articul´es repr´esent´e sur la figure 6 est compos´e de trois poutres de mˆeme
mat´eriau et de mˆeme section droite.

Figure 6 – Exemple 3
Soient E et α respectivement le module de Young et le coefficient de dilatation du mat´eriau.
Soit A l’aire des sections droites.

Treillis plans `a nœuds articul´es

11

Les nœuds 1, 2 et 4 sont li´es `a l’ext´erieur par une rotule.
Premier cas de charge : la structure est soumise `a une variation de temp´erature ∆T .
Deuxi`
eme cas de charge : la poutre (2 − 3) est soumise `a une variation de temp´erature ∆T .
Application num´
erique : on donne :
A = 100 mm2 , L = 0.1 m , E = 200000 MPa , α = 10−5 K−1 , ∆T = 100 K

4.2

Partition des degr´
es de libert´
e

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements connus et inconnus ([1], [12]) :

½ ¾
u3
{UL } =
v3

,

 
u1 






v1 



 

u2
{US } =
 v2 







u
4
 



v4

 
u3 







v
3








u


1
½
¾ 
 

{UL }
v1
d’o`
u {U } =
=
{US }
u2 







v
2
 






u4 

 

v4

On en d´eduit la localisation des degr´es de libert´e dans les matrices globales :


u1 → 0


v → 0



1








u

0
 2





v2 → 0
{DDL} =
u3 → 1








v3 → 2 







u4 → 0




v4 → 0

4.3

´
Etude
´
el´
ementaire

– coordonn´ees nodales :

nœud
1
2
3
4

x
0
L
L
2L

y
0
0
L
L

– ´el´ement 1 → 3 :

1
1
caract´eristiques : L 2 , A , E , α , nx = √ , ny = √
2
2




u1 → 0
1
1 −1 −1





EA 
v1 → 0
1 −1 −1
1
 {fth,1−3 } = √1 EA α ∆T
[k1−3 ] = √
{ddl1−3 } =


u

1
−1
−1
1
1


2 2L
2



 3
v3 → 2
−1 −1 1
1
– ´el´ement 2 → 3 :
caract´eristiques : L , A , E , α , nx = 0 , ny = 1

 
−1



 
−1

1

 
1

12

M´ethode des ´el´ements finis


u

0


2




v2 → 0
{ddl2−3 } =
u → 1



 3

v3 → 2


0 0
EA 
0 1
[k2−3 ] =
L 0 0
0 −1

 
0


 

−1
{fth,2−3 } = EA α ∆T
0


 

1


0 0
0 −1

0 0
0 1

– ´el´ement 3 → 4 :
caract´eristiques : L , A ,



u3 → 1
1






EA  0
v3 → 2
{ddl3−4 } =
[k3−4 ] =
u

0


L −1


 4

v4 → 0
0

4.4
4.4.1

E , α , nx = 1 , ny = 0

0 −1 0
0 0 0
 {fth,3−4 } = EA α ∆T
0 1 0
0 0 0

Premier cas de charge
Assemblage et calcul des d´
eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [KLL ]{UL } = {Fth,L } :

¸½ ¾
¾
·
½√
1
EA 1 + 2 2
u3
1√
2

2

= EA α ∆T √
2+2
1
1 + 2 2 v3
2
2 2L
d’o`
u (programme exemple 3) :

u3 = ( 2 − 2) L α ∆T = −0.0586 mm ,
4.4.2

v3 =


2 L α ∆T = 0.1414 mm

Efforts normaux dans les ´
el´
ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :
µ


EA
1
1
√ u3 + √ v3 − EA α ∆T = ( 2 − 2) EA α ∆T = −11716 N
N1−3 = √
L 2
2
2

EA
N2−3 =
v3 − EA α ∆T = ( 2 − 1) EA α ∆T = 8284 N
L

EA
N3−4 =
(−u3 ) − EA α ∆T = (1 − 2) EA α ∆T = −8284 N
L
4.4.3

Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) :
– nœud 1 :

F~1 = −N1−3 ~n1−3

1
F1x = − √ N1−3
2

d’o`
u:

= ( 2 − 1) EA α ∆T = 8284 N ,

– nœud 2 :
F2x = 0 ,
– nœud 4 :
F4x = N3−4

F1y = F1x = 8284 N

F~2 = −N2−3 ~n2−3 d’o`
u:

F2y = −N2−3 = (1 − 2) EA α ∆T = −8284 N
F~4 = N3−4 ~n3−4 d’o`
u:

= (1 − 2) EA α ∆T = −8284 N ,

F4y = 0

Remarque : l’´equilibre de la structure est v´erifi´e :
F1x + F2x + F4x = 0 ,

F1y + F2y + F4y = 0 ,

L F2y − L F4x = 0

 
−1


 

0
1


 

0

Treillis plans `a nœuds articul´es

4.5
4.5.1

13

Deuxi`
eme cas de charge
Assemblage et calcul des d´
eplacements inconnus

Les d´eplacements inconnus sont les solutions de l’´equation [KLL ]{UL } = {FL } :

·
¸½ ¾
½ ¾
EA 1 + 2 2
1√
u3
0

= EA α ∆T
1
1
1 + 2 2 v3
2 2L
d’o`
u (programme exemple 3) :

1− 2
u3 =
L α ∆T = −0.0207 mm ,
2
4.5.2


3− 2
v3 =
L α ∆T = 0.0793 mm
2

Efforts normaux dans les ´
el´
ements

Ils sont calcul´es `a l’aide de la formule (1.8) :

2− 2
N1−3
=
EA α ∆T = 5858 N
2

1− 2
EA
v3 − EA α ∆T =
EA α ∆T = −4142 N
N2−3 =
L
2

EA
2−1
N3−4 =
(−u3 ) =
EA α ∆T = 4142 N
L
2
EA
= √
L 2

4.5.3

µ

1
1
√ u3 + √ v3
2
2



Actions de liaison

Les actions de liaisons sont calcul´ees `a partir des efforts normaux (´equation 1.2) :
– nœud 1 :
1
F1x = − √ N1−3
2

F~1 = −N1−3 ~n1−3 d’o`
u:

1− 2
=
EA α ∆T = −4142 N ,
2

– nœud 2 :

F2x = 0 ,

F1y = F1x = −4142 N

F~2 = −N2−3 ~n2−3 d’o`
u:

2−1
F2y = −N2−3 =
EA α ∆T = 4142 N
2

– nœud 4 :

F~4 = N3−4 ~n3−4 d’o`
u:

2−1
F4x = N3−4 =
EA α ∆T = 4142 N ,
2
Remarque : l’´equilibre de la structure est v´erifi´e :
F1x + F2x + F4x = 0 ,

F1y + F2y + F4y = 0 ,

F4y = 0

L F2y − L F4x = 0

14

M´ethode des ´el´ements finis

5

Programmes Maple

Les programmes suivant se trouvent dans le fichier treillis.txt.

5.1

tre mat

# calculs ´
el´
ementaires
restart:with(linalg):
# allongement unitaire
eps:=(nx*(uj-ui)+ny*(vj-vi))/L;
# ´
energie de d´
eformation
Edef:=EA*eps^2*L/2-eps*EA*alpha*DT*L;
# matrice de rigidit´
e
k:=hessian(Edef,[ui,vi,uj,vj]);
# efforts nodaux
fnod:=grad(Edef,[ui,vi,uj,vj]);
# remarque
k:=jacobian(fnod,[ui,vi,uj,vj]);
# vecteur d^
u au gradient thermique
fth:=-jacobian(fnod,[DT]);

5.2

exemple 1

restart:with(linalg):
# application num´
erique
#L:=200;E:=200000;A:=Pi*30^2/4;P:=-10000;
# matrice de rigidit´
e
KL:=matrix([[2,0,-1],[0,2,-1],[-1,-1,1+sqrt(2)]]):
KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L);
# vecteur FL
FL:=vector([0,P,0]);
# calcul des d´
eplacements nodaux
UL:=linsolve(KL,FL);
#evalf(%);

Treillis plans `a nœuds articul´es

5.3

exemple 2

restart:with(linalg):
# application num´
erique
# L:=700;E:=200000;A:=10000;P:=-120e3;
# matrice de rigidit´
e
KL:=matrix([[1+2*sqrt(2),1,-1],[1,1+2*sqrt(2),-1],[-1,-1,1]]):
KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L);
# vecteur FL
FL:=vector([0,P,3*P]);
# calcul des d´
eplacements nodaux
UL:=linsolve(KL,FL);
#evalf(%);

5.4

exemple 3

restart:with(linalg):
# application num´
erique
#L:=100;E:=200000;A:=100;alpha:=1e-5;DT:=100;
# matrice de rigidit´
e
x:=1+2*sqrt(2):
KL:=matrix([[x,1],[1,x]]):
KL:=scalarmul(KL,E*A/2/sqrt(2)/L);
# vecteurs F
x:=E*A*alpha*DT/2:
FLcas1:=vector([(sqrt(2)-2)*x,(sqrt(2)+2)*x]);
FLcas2:=vector([0,E*A*alpha*DT]);
# calcul des d´
eplacements nodaux
ULcas1:=linsolve(KL,FLcas1);
ULcas2:=linsolve(KL,FLcas2);
# map(evalf,ULcas1);
# map(evalf,ULcas2);

15

16

M´ethode des ´el´ements finis


ef´
erences
[1] J. H. Argyris et H.-P. Mlejnek – Die methode der finiten elemente, Band I. Verschiebungsmethode in der statik, Vieweg, 1986.
[2] J.-L. Batoz et G. Dhatt – Mod´elisation des structures par ´el´ements finis, Volume 1. Solides
´elastiques, Herm`es, 1990.
[3] — , Mod´elisation des structures par ´el´ements finis, Volume 2. Poutres et plaques, Herm`es, 1990.
[4] A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre et C. Laberge – R´esistance des
´
´
mat´eriaux, 3 ´ed., Editions
de l’Ecole
Polytechnique de Montr´eal, 2002.
[5] L. Chevalier – M´ecanique des syst`emes et des milieux d´eformables. Cours, exercices et probl`emes corrig´es, Ellipses, 2004.
[6] G. Dhatt, G. Touzot et E. Lefran¸
cois – M´ethode des ´el´ements finis, Herm`es, 2005.
[7] F. Frey – Trait´e du g´enie civil, Volume 1. Analyse des structures et milieux continus. Statique
appliqu´ee, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1998.
[8] — , Trait´e du g´enie civil, Volume 2. Analyse des structures et milieux continus. M´ecanique des
structures, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000.
[9] F. Frey et J. Jirousek – Trait´e du g´enie civil, Volume 6. M´ethode des ´el´ements finis, Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes, 2001.
[10] D. Gay et J. Gambelin – Une approche simple du calcul des structures par la m´ethode des
´el´ements finis, Herm`es, 1989.
[11] — , Dimensionnement des structures. Une introduction, Herm`es, 1999.
[12] J.-F. Imbert – Analyse des structures par ´el´ements finis, 3 ´ed., C´epadu`es, 1995.
[13] S. Laroze – M´ecanique des structures, Tome 2. Th´eorie des poutres, 2 ´ed., Eyrolles/Masson,
1988.
[14] A. Portela et A. Charafi – Finite elements using Maple. A Symbolic Programming Approach,
Springer, 2002.
[15] J. S. Przemieniecki – Theory of matrix structural analysis, Dover, 1986.
[16] W. Weaver et J. M. Gere – Matrix analysis of framed structures, 3 ´ed., Van Nostrand Reinhold, 1990.
[17] C. Wielgoz – Cours et exercices de r´esistance des mat´eriaux : ´elasticit´e, plasticit´e, ´el´ements
finis, Ellipses, 1999.
[18] W. Wunderlich et W. D. Pilkey – Mechanics of structures. Variational and computational
methods, 2 ´ed., CRC PRESS, 2003.




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