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大学院院試プロジェクト 001
電気通信大学 量子・物質工学科(F科)0723008  門倉 強
平成22年 1月18日

目次
1

質量 M の 2 つの質点(質点 1, 2)が、バネ定数 k のバネで接続され、それぞれの長さ l の軽い糸で
つるされている。質点が静止しているとき、2 本の糸は平行でその間隔はバネの自然長になっている
ものとする。

1.1

2

質点 1 の変位を x1 、質点 2 の変位を x2 とするとき、それぞれの質点の運動方程式を求めよ。
ただし、振動は微小であり (|x1 |, |x2 | << l)、質点の運動は水平な一定直線上にあるとみなせ
るものとする。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

単振動 x1 = A cos(ωt + α)、x2 = B cos(ωt + α) を仮定して運動方程式をとくことにより、

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1 , x2 に対する一般解を求めよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
いずれの質点も停止している状態にあったとき、質量 m の質点がバネの延長線上から飛んで
きて、速度 ν で質点 1 に弾性衝突した。衝突した時間を t = 0 として質点 1, 2 の運動を求め
よ。ただし、m < M とする。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
規準振動を求めよ。

1.3
1.4

2

2
2
4

5

図 1 のようなオペアンプと抵抗およびコンデンサーからなる増幅回路を考える。ここでは理想的な
オペアンプを考え、その 2 つの入力(+、-)間の電位差はゼロ、また 2 つの入力には電流が流れな
いものとする。

2.1
2.2

図 1 の A − B 間の抵抗 R2 とコンデンサー C の合成インピーダンス ZAB を求めよ。 . . . .
入力(VIN )、周波数 f 、振幅 1V の正弦波信号を加えたとき、出力電圧(Vout )の振幅の絶
対値とその入力信号に対する位相差を求めよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3
2.4

7
7

R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C = 0.0016µF としたとき、1kHz, 10kHz および 100kHz の振幅と位
相差をそれぞれ求めよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
図 1 の回路に図 2 のようなパルス電圧を加えたとき、出力電圧 Vout (t) の波形の概形をかけ。
ただし、R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C = 0.0016µF とする。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9
9

1

質量 M の 2 つの質点(質点 1, 2)が、バネ定数 k のバネで接続され、そ
れぞれの長さ l の軽い糸でつるされている。質点が静止しているとき、

2 本の糸は平行でその間隔はバネの自然長になっているものとする。
1.1

質点 1 の変位を x1 、質点 2 の変位を x2 とするとき、それぞれの質点の運動方程式
を求めよ。ただし、振動は微小であり (|x1 |, |x2 | << l)、質点の運動は水平な一定直
線上にあるとみなせるものとする。
(

1.2

2

M ddtx21 = − Ml g x1 + k(x2 − x1 )
2
M ddtx22 = −k(x2 − x1 ) − Ml g x2

単振動 x1 = A cos(ωt + α)、x2 = B cos(ωt + α) を仮定して運動方程式をとくことに
より、規準振動を求めよ。
³g
d2 x1
g
k
k
k ´
k
=

x

x
+
x
=

+
x1 +
x2
1
1
2
dt2
l
M
M
l
M
M
³
´
d2 x2
k
k
g
k
g
k
= − x2 +
x1 − x2 =
x1 −
+
x2
2
dt


l
M 
l
M

Ã
!
!
Ã
k
k
− gl + M
x1
x1
d2
M

³
´

=
k
k
dt2
x2
x2
− gl + M
M




³
− gl +

k
M
k
M

´

+ ω2

x1

= A cos(ωt + α)

x2
dx1
dt
d2 x1
dt2
dx2
dt
d2 x2
2
à dt !
2
x1
d
2
dt
x2
!

= B cos(ωt + α)
= −Aω sin(ωt + α)
= −Aω 2 cos(ωt + α)
= −Bω sin(ωt + α)

= −Bω 2 cos(ωt + α)
Ã
!
A
2
= −ω
cos(ωt + α)
B
 ³
´
Ã
g
k
k

+
A
l
M
³ M
´
−ω 2
cos(ωt + α) = 
k
k
B
− gl + M
M
 ³
´
Ã
!
g
k
k

+
A
l
M
³ M
´
−ω 2
= 
k
k
B
− gl + M
M
´
 ³
Ã

!
k
k
− gl + M
−ω 2
0
A
³ M
´

=
k
k
0
−ω 2
B
− gl + M
M
Ã
!
k
A
M
³
´

= 0
k
B
− gl + M
+ ω2

Ã

Ã

Ã


A
B
A
B
A
B

!
cos(ωt + α)
!

!

A = B 6= 0 となるには行列式 = 0 を満たす。
¯
¯ ³
´
¯
¯
k
k
+ ω2
¯
¯ − gl + M
M ´
¯
¯
³
¯
¯
g
k
k
− l + M + ω2 ¯
¯
M
n ³g
o2 ³ k ´2
k ´

+
+ ω2 −
l
M
M
n³ g ´2
³ k ´2
o ³ k ´2
gk
g 2
gk
k 2 g 2
k 2
+
− ω +
+

ω − ω −
ω + ω4 −
l
lM
l
lM
M
M
l
M
M
´
³ g ´2 ³ k ´2 o ³ k ´2
n
³ 2g
2k
gk
+
ω4 − ω2
+
+2
+

l
M
lM
l
M
M
n
³g
´
³
´
o
³ k ´2
2
k
g
k
ω 4 − 2ω 2
+
+
+

l
M
l
M
M
³g
´
³
´
g
k
k 2 ³ k ´2
4
2
ω − 2ω
+

+
+
l
M
l
M
M

ω2

=

=

ω1
ω2

³
2 gl +
³
2 gl +

k
M

k
M

´

r ³
± 4 gl +


´
±

k
M

k
M

´2

2
g
k
k
=
+
±
l
M
M
r
g
=
l
r
g
k
=
+ 2  , (ω1 < ω2)
l
M

´2
2

³
− 4{ gl +

k
M

´2

³


k
M

´2

}

= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0

1.3
ω1 =

x1 , x2 に対する一般解を求めよ。
pg
l

のとき




³
− gl +

k
M

´
+

k
M

g
l

Ã

k
M

A
B

!

³
´

= 0
k
− gl + M
+ gl
Ã

!
k
k
−M
A
M
= 0
k
k
−M
B
M
∴B

q
ω2 =

g
l

= A

x1

= A cos(ωt + α)

x2

= A cos(ωt + α)

k
+ 2M
のとき




³
− gl +

k
M

´
+
k
M

g
l

k
+ 2M

³
− gl +

k
M

k
M
´

Ã


k
+ gl + 2 M
Ã

k
M
k
M

k
M
k
M

A
B
A
B

!
=

0

=

0

!

∴B

= −A

x1

= A cos(ωt + α)

x2

= −A cos(ωt + α)

1.4

いずれの質点も停止している状態にあったとき、質量 m の質点がバネの延長線上か
ら飛んできて、速度 ν で質点 1 に弾性衝突した。衝突した時間を t = 0 として質点
1, 2 の運動を求めよ。ただし、m < M とする。

調和振動について

d2 x1
dt2
d2 x2
dt2

g
k
k
= − x1 −
x1 +
x2
l
M
M
k
g
k
x1 − x2 −
x2
=
M
l
M

(1) + (2)
d2
g
g
g
(x1 + x2 ) = − x1 − x2 = − (x1 + x2 )
dt2
l
l
l
r
d2 xa
g
g
2
= − xa = −ωa xa  , xa = x1 + x2  , ωa =
2
dt
l
l
(1) − (2)
³ g
g
k
g
k
k ´
d2
(x

x
)
=

x

2
x
+
x
+
2
x
=


2
(x1 − x2 )
1
2
1
1
2
2
dt2
l
M
l
M
l
M
r
³g
d2 xb
k ´
g
k
2
= −
+2
xb = −ωb xb  , xb = x1 + x2  , ωb =
+2
dt2
l
M
l
M
1
(xa + xb )
x1 =
2
1
x2 =
(xa − xb )
2
微小時間に質点 1 が進んだ変位について



= M v  運動量保存の法則
m
ν
v =
M
dx1
v =
dt
dx1
m
=
ν
Z x dt
ZMτ
m
dx1 =
νdt
M
0
0
m
ντ
x =
M

(1)
(2)

質点 1, 2 の運動について

xa (0)
xb (0)
d2 xa
dt2
d2 xb
dt2

m
ντ
M
m
= x1 (0) − x2 (0) = x − 0 =
ντ
M

= x1 (0) + x2 (0) = x + 0 =

= −ωa2 xa
= −ωb2 xb

xa (t) =
xb (t) =
(

x1 (t) = 12 {xa (t) + xb (t)} =
x2 (t) = 12 {xa (t) − xb (t)} =

m
ντ cos ωa t
M
m
ντ cos ωb t
M
m
M ντ
m
M ντ

b
b
cos ωa −ω
cos ωa +ω
2
2
ωa −ωb
ωa +ωb
sin 2 sin 2  , τ  は微小衝突時間

図 1:

図 2:

2

図 1 のようなオペアンプと抵抗およびコンデンサーからなる増幅回路を
考える。ここでは理想的なオペアンプを考え、その 2 つの入力(+、-)
間の電位差はゼロ、また 2 つの入力には電流が流れないものとする。

2.1

図 1 の A − B 間の抵抗 R2 とコンデンサー C の合成インピーダンス ZAB を求めよ。
1
ZAB
ZAB

= jωC +
=

1
jωC +

1
R2
1
R2

=

R2
1 + jωR2 C

2.2

入力(VIN )、周波数 f 、振幅 1V の正弦波信号を加えたとき、出力電圧(Vout )の振
幅の絶対値とその入力信号に対する位相差を求めよ。
(

VIN
R1
VOU T
VIN

振幅の絶対値 

|VOU T |
|VIN |

位相差 φ

VIN = IR1  , I = VRIN
1
T
VOU T = −IZAB  , I = − VZOU
AB

VOU T
ZAB
ZAB
= −
R1
1
R2
R2
1
= −
·
=−
= − R1
R1 1 + jωR2 C
R1 + jωR1 R2 C
R2 + jωR1 C
= −

=



1
R1
R2

´2

³
= arg − R1

+ (ωR1 C)2
´
1

+ jωR1 C
³R
´
1
= arg(−1) − arg
+ jωR1 C
R2
³ 0 ´
³ ωR C ´
1
= tan−1
− tan−1
R1
−1
R
R2

2

= 0 − tan−1 (ωR2 C)
= − tan−1 (ωR2 C)

図 3:

2.3

R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C = 0.0016µF としたとき、1kHz, 10kHz および 100kHz の振
幅と位相差をそれぞれ求めよ。
|Vout |
|1kHz
|Vin |

=

=

θ1kHz





1
R1
R2

´2

+ (ωR1 C)2
1

1000
10000

´2

+ (2 · π · 1000 · 1000 · 0.0016 ×

' 9.94
10−6 )2

= − tan−1 (ωR2 C)
= − tan−1 (2 · π · 1000 · 10000 · 0.0016 × 10−16 ) ' −0.10rad
180
' −0.10 ×
= −5.7o
π

1kHz のとき、振幅は約 9.94V、位相差は約 −0.10rad, −5.7o
10kHz のとき、振幅は約 7.05V、位相差は約 −0.79rad, −45.2o
100kHz のとき、振幅は約 0.99V、位相差は約 −1.47rad, −84.3o

2.4

図 1 の回路に図 2 のようなパルス電圧を加えたとき、出力電圧 Vout (t) の波形の概形
をかけ。ただし、R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C = 0.0016µF とする。
以上


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