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大学院院試プロジェクト 002
電気通信大学 量子・物質工学科(F科)0723008  門倉 強
平成22年 1月28日

目次
1

結晶によるX線散乱は、散乱ベクトルが逆格子ベクトル G に等しいときに起こる。このとき散乱振
幅 FG は単位格子(単位胞)の数 N と構造因子 SG により以下の式で与えられる。
1.1 逆格子ベクトル G = hb1 + kb2 + lb3 に対応する散乱を考える。単位格子内の j 原子の位置

1.2

を r j = xj a1 + yj a2 + zj a3 (ただし、0 ≤ xj , yj , zj < 1 )とするとき、構造因子 (scattering
P
factor) は SG = j fj exp{−2πi(hxj + kyj + lzj )} と与えられることを説明せよ。 . . . . .
単位格子内の A 原子と B 原子の位置 xj yj zj を答えよ。ただし、一つの A 原子の位置は (0, 0, 0)
にあるとする。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3
1.4
1.5

2

3

A 原子と B 原子の原子形状因子をそれぞれ fA と fB とする。構造因子 SG を書き下せ。 . .
逆格子点 (hkl) の散乱振幅は、指数 h, k, l の中にひとつだけ偶数または奇数が含まれるとき
は 0 になることを示せ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
アルカリハライド結晶 KCl と KBr の2種類の結晶はともに NaCl 構造をとる。KCl と KBr
のX線散乱を比較すると、KCl では指数がすべて奇数である散乱は非常に弱い。この理由を
説明せよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2
3
3
3

3

a1 , a2 , a3 を基本並進ベクトルとする結晶格子を考え、それぞれの基本並進ベクトルに対する逆格子
の基本並進ベクトル b1 , b2 , b3 とする。以下の問いに答えよ。
4
2.1 a1 と b3 は垂直であることを示せ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 結晶の格子面 (hkl) と結晶格子の逆格子ベクトル G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3 は垂直であるこ
とを示せ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

と与えられることを示せ。 . . . 6
2.3 面指数 (hkl) の隣合った格子面間の距離は d(hkl) = |G(hkl)|
2.4 波長 λ のX線が結晶格子に入射した場合の弾性散乱を考えよう。入射波の位相因子を exp(−ik·
r) とし、散乱波の位相因子を exp(−ik0 · r) とするとき、強い回折が起こる回折条件は ∆k =
k0 − k = G である。この回折条件からブラッグの法則 2d sin θ = λ を導け。 . . . . . . . . . 6
直流及び交流に換えることができる電源に、抵抗値の大きさ R の抵抗と電気容量 C のコンデンサー
が直列に接続した回路(図1)がある。まず、電圧 V の直流電源にした場合、次の問に答えよ。

3.1

スイッチ S をONにするとコンデンサーに電荷が徐々に貯まっていく。この時間で変化する
電荷容量 q(t) を満足する方程式を求めよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2
3.3
3.4
3.5

7

充分時間が経った時の最大電荷量 Q を書け。その時迄に蓄えられたエネルギーを求めよ。 .
接続した抵抗とコンデンサーの合成インピーダンスを求めよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . .
回路に流れる電流 i(t) とコンデンサーでの電圧降下 VC (t) を求めよ。 . . . . . . . . . . . . .
コンデンサーに蓄えられる平均電力を計算せよ。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8
8
8
9

1

結晶によるX線散乱は、散乱ベクトルが逆格子ベクトル G に等しいと
きに起こる。このとき散乱振幅 FG は単位格子(単位胞)の数 N と構
造因子 SG により以下の式で与えられる。
散乱振幅  FG
構造因子 (StructureF actor)SG

= N SG = N
=

X

X

fj exp(−iG · r j )

j

fj exp(−iG · r j )

j

ここで、fj は原子形状因子である。このことを知って、図に示した A 原子と B 原子の2種類の原子からな
る NaCl 構造を持つ結晶のX線散乱について以下の問いに答えよ。

1.1

逆格子ベクトル G = hb1 + kb2 + lb3 に対応する散乱を考える。単位格子内の j 原
子の位置を r j = xj a1 + yj a2 + zj a3 (ただし、0 ≤ xj , yj , zj < 1 )とするとき、構
P
造因子 (scattering factor) は SG = j fj exp{−2πi(hxj + kyj + lzj )} と与えられ
ることを説明せよ。

SG

=

X

fj exp(−iG · r j )

j

G = hb1 + kb2 + lb3
r j = xj a1 + yj a2 + zj a3
G · r j = (hb1 + kb2 + lb3 ) · (xj a1 + yj a2 + zj a3 )
SG

= 2π(hxj + kyj + lzj )
X
=
fj exp{−2πi(hxj + kyj + lzj )}
j

以下では、A 原子と B 原子からなる NaCl 構造の結晶を考える。その単位格子として図の立方体の単位格
子を採用する。

1.2

1.3

単位格子内の A 原子と B 原子の位置 xj yj zj を答えよ。ただし、一つの A 原子の位
置は (0, 0, 0) にあるとする。

Cl :

(0, 0, 0), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)

Na

(1/2, 1/2, 1/2), (0, 0, 1/2), (0, 1/2, 0), (1/2, 0, 0)

:

A 原子と B 原子の原子形状因子をそれぞれ fA と fB とする。構造因子 SG を書き
下せ。

Cl について
fA

= e−iπ(0+0+0) + e−iπ(h+k+0) + e−iπ(h+0+l) + e−iπ(0+k+l)
(
4f h, k, l : すべて奇数または偶数
=
0
h, k, l : 奇数、偶数の混合

fB

= e−iπ(h+k+l) + e−iπ(0+0+l) + e−iπ(0+k+0) + e−iπ(h+0+0)
(
4f h, k, l : すべて奇数または偶数
=
0
h, k, l : 奇数、偶数の混合

F

=

n
X

fi exp[−i2π(hxi + kyi + lzi )]

i=1

SG

=

ブラッグの回折条件

dhkl
2dhkl sin θhkl
θhkl

=



h2

a
+ k 2 + l2

= nλ
= sin−1


2dhkl

2θhkl

1.4

逆格子点 (hkl) の散乱振幅は、指数 h, k, l の中にひとつだけ偶数または奇数が含ま
れるときは 0 になることを示せ。

1.5

アルカリハライド結晶 KCl と KBr の2種類の結晶はともに NaCl 構造をとる。KCl
と KBr のX線散乱を比較すると、KCl では指数がすべて奇数である散乱は非常に弱
い。この理由を説明せよ。

2

2.1

a1 , a2 , a3 を基本並進ベクトルとする結晶格子を考え、それぞれの基本
並進ベクトルに対する逆格子の基本並進ベクトル b1 , b2 , b3 とする。以
下の問いに答えよ。
a1 と b3 は垂直であることを示せ。

b3

=
a1 · b3

=
=
=
=
=
=

したがって a1

a1 × a2
a3 · (a1 × a2 )
a1 × a2

=
(a1 × a2 )

V
V

a1 ·
(a1 × a2 )
V

a1 · (a1 × a2 )
V

a1 · (a2 × a1 )
V

a2 · (a1 × a1 )
V

a2 · 0
V
0  内積がゼロ

= 2π

⊥ b3

2.2

結晶の格子面 (hkl) と結晶格子の逆格子ベクトル G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3 は垂直
であることを示せ。

b1
b2
b3

G
G
h
G
k
G
l

³a

a2 ´
·G
h
k
³a
a3 ´
2

·G
k
l
³a
a1 ´
3

·G
l
h
1



G
G
G

a2 × a3
a2 × a3
= 2π
a1 · a2 × a3
V
a3 × a1
a3 × a1
= 2π
= 2π
a1 · a2 × a3
V
a1 × a2
a1 × a2
= 2π
= 2π
a1 · a2 × a3
V
a1 · b1 = 2π, a2 · b2 = 0, a2 · b3 = 0
= 2π

= hb1 + kb2 + lb3
k
l
= b1 + b2 + b3
h
h
h
l
=
b1 + b2 + b3
k
k
h
h
=
b1 + b2 + b3
k
l
G
= 2π + 0 + 0
a1 ·
h
G
a2 ·
= 0 + 2π + 0
k
G
= 2π
a1 ·
h
G
a2 ·
= 2π
k
G
a3 ·
= 2π
l
³

G
− a2 ·
=
a1 ·
= 2π − 2π = 0
h
k
³

G
− a3 ·
=
a2 ·
= 2π − 2π = 0
k
l
³
G

=
a3 ·
− a1 ·
= 2π − 2π = 0
l
h
a1
a2


h
k
a2
a3


k
l
a3
a1


l
h

したがって、結晶の格子面 (hkl) と結晶格子の逆格子ベクトル G(hkl) = hb1 + kb2 + lb3 は垂直である。

2.3
2.4

面指数 (hkl) の隣合った格子面間の距離は d(hkl) =


|G(hkl)|

と与えられることを示せ。

波長 λ のX線が結晶格子に入射した場合の弾性散乱を考えよう。入射波の位相因子を
exp(−ik · r) とし、散乱波の位相因子を exp(−ik0 · r) とするとき、強い回折が起こる
回折条件は ∆k = k0 − k = G である。この回折条件からブラッグの法則 2d sin θ = λ
を導け。

∆k = k0 − k

= G

k + G = k0
弾性散乱の場合、ベクトルの大きさが等しい  |k| = |k0 |

(k + G)2

= (k0 )2

(k + G)2

= k2

k 2 + 2k × G + G2

= k2

2k × G + G2

= 0

2k × G = G2  (二乗なので+)
π − 2θ
2|k||G| cos
= G2
2
2|k||G| sin θ = G2

k=
λ

2

· G sin θ = G
λ


· sin θ = |G|
λ


· sin θ =

λ
dhkl
1

1
2 · · sin θ =
·
λ
dhkl 2π
2 · dhkl · sin θ = λ
2d sin θ

= λ

3

直流及び交流に換えることができる電源に、抵抗値の大きさ R の抵抗
と電気容量 C のコンデンサーが直列に接続した回路(図1)がある。ま
ず、電圧 V の直流電源にした場合、次の問に答えよ。

図 1:

3.1

スイッチ S をONにするとコンデンサーに電荷が徐々に貯まっていく。この時間で
変化する電荷容量 q(t) を満足する方程式を求めよ。

q(t)
,   ∵ q(t) = CV (t)
C
dq(t) q(t)
dq(t)
R
+
,   ∵ I(t) =
dt
C
dt
dq(t) q(t)
+
dt
RC
V
q(t)

R
RC
´
1 ³ RCV
− q(t)
RC
R
´
1 ³ RCV


+ q(t)
RC
R
1

dt
RC
1

t+k
RC
1
±e− RC t+k

V

= RI +

V

=

V
R
dq(t)
dt
dq(t)
dt
dq(t)
dt

=
=
=
=

1
dq(t) =
q(t) − CV
ln{q(t) − CV } =
q(t) − CV

=

t

q(t) =

CV ± ek e− RC

q(t) =

CV + k 0 e− RC  , K 0 = ±ek とおく

t

t = 0 → q(t) = 0
0 =
k0
電荷容量  q(t)

0

CV + k 0 e− RC

= −CV
=

t

CV (1 − e− RC )

3.2

充分時間が経った時の最大電荷量 Q を書け。その時迄に蓄えられたエネルギーを求
めよ。

最大容量  Q
エネルギー  EC

= CV
1
=
CV 2
2

次に角周波数 ω 、電圧 e(t) の交流電源に交換してスイッチ S をONにした後、充分時間が経ったとして、
次の問に答えよ。

3.3

接続した抵抗とコンデンサーの合成インピーダンスを求めよ。

合成インピーダンス  Z

3.4

= R+

1
 , j は虚数単位
jωC

回路に流れる電流 i(t) とコンデンサーでの電圧降下 VC (t) を求めよ。

i(t)

=

e(t)
Z

= e(t)

1
jωC
= e(t)
1
1 + jωRC
R + jωC

jωC
1 + jωRC
1
VC (t) = i(t) ×
jωC
1
e(t)
=
1 × jωC
R + jωC

回路に流れる電流  i(t)

= e(t)

jωC
1
×
jωRC + 1 jωC
1
= e(t)
1 + jωRC

= e(t)
コンデンサーでの電圧降下  VC (t)

3.5

コンデンサーに蓄えられる平均電力を計算せよ。

p(t) = i(t) × VC (t) = e(t)

jωC
1
× e(t)
1 + jωRC
1 + jωRC

jωC
(1 + jωRC)2
jωC
= e2 (t)
1 − (ωRC)2 + 2jωRC
jωC
= e2 (t)
(1 + ωRC)(1 − ωRC) + 2jωRC
1
= e2 (t) (1+ωRC)(1−ωRC)
+ 2R
jωC

= e2 (t)

< P (t) > =
=

=
=
=
=
=
=
=
コンデンサーに蓄えられる平均電力 < PC >

=

1
e2 (t)
ω=
のとき 最大値  p(t) =
RC
2R
Z
1 T
p(t)dt
T 0
Z
1 1 T 2
e (t)dt
2R T 0
e(t) = E cos(ωt)  と仮定する
Z
1 1 T 2
E cos2 (ωt)dt
2R T 0
Z
1 1 T 1 + cos(2ωt)
dt
E2
2R T 0
2
Z T
E2
[
1 + cos(2ωt)dt]
4RT 0
Z
Z T
T
E2
[
dt +
cos(2ωt)dt]
4RT 0
0
E2
1
[T +
[sin(2ωt)]T0 dt]
4RT

E2
1
[T +
{sin(2ωT ) − sin 0}dt]
4RT

E2
1

[T +
{sin(2 T ) − 0}dt]
4RT

T
E2
4R
以上


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