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大学院院試プロジェクト 楕円グラフと行列
電気通信大学 量子・物質工学科(F科)0723008  門倉 強
平成22年 6月10日

目次
1

3x2 + 4xy + 3y 2 = 5 はどんな形のグラフとなるか

2

1

3x2 + 4xy + 3y 2 = 5 はどんな形のグラフとなるか

³

3x2 + 4xy + 3y 2

= 5

3x2 + 2xy + 2xy + 3y 2

= 5

(3x + 2y)x + (2x + 3y)y = 5
Ã
!
´ x
= 5
3x + 2y 2x + 3y
y
!

Ã
³
´ 3 2
x
= 5
x y
y
2 3
Ã
A =

固有方程式 Φ(λ) = det(A − λE)

3 2
2 3

!
 とおく

= 0
¯
¯ 3−λ
2
¯
= ¯
¯ 2
3−λ

¯
¯
¯
¯
¯

= (3 − λ)2 − 2 · 2 = 9 − 6λ + λ2 − 4 = λ2 − 6λ + 5
λ1 = 1, λ2 = 5
λ1 = 1 のとき
Ã
(A − λ1 E)

x
y

!

Ã
=


!
3−1
2
x
= 0
2
3−1
y
Ã

!
2 2
x
= 0
2 2
y
Ã
!
2x + 2y
= 0
2x + 2y
Ã

固有ベクトル u =

∴ x = −y
!
Ã
!
x
1
1
= √
2
y
−1

λ2 = 5 のとき
Ã
(A − λ2 E)

x
y

!

Ã
=


!
3−5
2
x
= 0
2
3−5
y
Ã

!
−2 2
x
= 0
2 −2
y
Ã
!
−2x + 2y
= 0
2x − 2y
Ã

固有ベクトル v =

∴x = y
!
à !
x
1
1
= √
2
y
1

³
交換行列  P

=

u

=
=
=
対角化  P −1 AP

√1
2

=

v

Ã

=
=
=
=
=
=

Ã

1
−1

!

Ã
√1
2

1
1

! !

!
1 1
−1 1

√ !
1/ 2 1/ 2


−1/ 2 1/ 2
à √
√ !
1/ 2 −1/ 2
1


1
1
1/ 2 1/ 2
2 + 2
!
Ã
1 −1
1

2
1 1
Ã

!
Ã
!
1 −1
3 2
1 1
1
1


2
2
1 1
2 3
−1 1
Ã

!
3−2 2−3
1 1
1
2
3+2 2+3
−1 1
Ã

!
1 −1
1 1
1
2
5 5
−1 1
Ã
!
1+1 1−1
1
2
5−5 5+5
Ã
!
2 0
1
2
0 10
Ã
!
1 0
0 5

1
= √
2
Ã

交換行列の逆行列  P −1

Ã

´

原点に合わせた楕円について

³

Ã

´
P

x y
³

´

Ã

1
0

x y

−1

AP

0
5

³



´
x 5y

Ã

x
y
x
y
x
y

!
=

5

=

5

=

5

=

5

=

1

!
!

x2 + 5y 2
x2
+ y2
∴ √
( 5)2
回転角について

Ã

P
∴α


√ ! Ã
1/ 2 1/ 2
cos α


=
=
−1/ 2 1/ 2
sin α
π
= −
4

したがって、与式 3x2 + 4xy + 3y 2 = 5 は、楕円

x2

( 5)2

− sin α
cos α

!

+ y 2 = 1 のグラフを、角度 − π4 で傾けた形である。

図 1: 与式のグラフの様子(青色)

LATEX


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