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Département de Mathématiques

V.3

Guelma: 2012-2013

Probabilités de base

Indépendance de variables aléatoires

Définition 1.5.7. Une famille (X1 , ..., Xn ) de v.a. (F-mesurables) est indépendante si
(σ(X1 ), ..., σ(Xn )) est indépendante.
Proposition 1.5.8. (X1 , ..., Xn ) est une famille de v.a. indépendantes
ssi les événements {X1 ≤ t1 } , ..., {Xn ≤ tn } sont indépendants ∀ t1 , ..., tn ∈ R.
En particulier : X ⊥ Y ssi P({X ≤ t; Y ≤ s}) = P({X ≤ t})P({Y ≤ s}), ∀ t; s ∈ R.
Exemple 1.5.9. Soit Ω = {1, ..., 6} × {1, ..., 6} , F = P(Ω), P ({(i, j)}) =

X (ω) = X (ω1 , ω2 ) = ω1 ,

1
36 .

On pose

X (ω) = Y (ω1 , ω2 ) = ω2 .

Calculons P({X = i}) = P(ω ∈ Ω : ω1 = i) = P({(i, 1), ..., (i, 6)}) =
D’autre part, P({X = i, Y = j}) = P({(i; j)}) =
indépendantes.

1
36

=

1
6

×

1
6

1
6

= P({Y = j}).

= P ({X = i}) P ({Y = j}) , donc X et Y sont

Exemple 1.5.10. Si X(ω) = c, ∀ω ∈ Ω, alors X ⊥ Y , ∀Y (une v.a. constante est indépendante de toute
autre v.a.).
Exemple 1.5.11. Si X ⊥ Y et g, h sont des fonctions boréliennes, alors g(X) ⊥ h(Y ) ; c’est vrai en
particulier si g = h (mais pas X = Y , bien sûr !). Cette propriété découle du fait que g(X) est σ(X)mesurable (resp. que h(Y ) est σ(Y )-mesurable) et de la définition d’indépendance pour les tribus.
Proposition 1.5.12. Soient c ∈ R et X, Y deux v.a. de carré intégrable. Si X ⊥ Y , alors

E (XY ) = E (X) E (Y ) et V ar (cX + Y ) = c2 V ar (X) + V ar (Y ) ,
La première égalité dit que si deux v.a. sont indépendantes, alors elles sont décorrelées ; la réciproque n’est
pas vraie.
Proposition 1.5.13.
Si X ⊥ Y et X, Y sont deux v.a.
continues possédant une densité conjointe fX,Y (i.e.

RR
P ((X, Y ) ∈ B) = B fX,Y (x, y) dxdy, ∀B ∈ B R2 ), alors fX,Y (x, y) = fX (x) fY (y) , ∀x, y ∈ R.

(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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