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Département de Mathématiques

I

Probabilités de base

Guelma: 2012-2013

Espace de probabilité

Un espace de probabilité est un triplet (Ω, F, P) où :
- Ω est un ensemble,
- F est une tribu (ou σ-algèbre) sur Ω,
- P est une (mesure de) probabilité sur (Ω, F).
Définition 1.1.1. Une tribu (ou σ-algèbre) sur Ω est une famille F de sous-ensembles de Ω (appelés
“événements”) tels que




i)



φ∈F




 iii)


(An )∞
n=1 ⊂ F =⇒ ∪n=1 An ∈ F

ii)

A ∈ F =⇒ Ac ∈ F

En particulier : A, B ∈ F =⇒ A ∪ B ∈ F.
De même, A, B ∈ F =⇒ A ∩ B ∈ F.
Exemple 1.1.2. - Soit Ω = {1, ..., 6}. On peut définir plusieurs tribus sur Ω :
F = P (Ω) = {φ, {1} , {2} , ..., {1, 2} , ..., Ω} = tribu complète (la plus grande),
F0 = {φ, Ω}= tribu triviale (la plus petite) (φ= évén. impossible, Ω évén. arbitraire),
F1 = {φ, {1} , {2, ..., 6} , Ω} , F2 = {φ, {1, 3, 5} , {2, 4, 6} , Ω} , etc.
- Soit Ω = [0; 1] et I1 , ..., In une famille d’intervalles formant une partition de Ω. La famille de sous-ensembles
définie par

G = {φ, I1 , I2 , ..., I1 ∪ I2 , ..., I1 ∪ I2 ∪ I3 , ..., Ω}
est une tribu sur Ω.
Définition 1.1.3. Soit A = {Ai , i ∈ I} une famille de sous-ensembles de Ω. Alors la tribu engendrée par A
est la plus petite tribu sur Ω qui contient tous les sous-ensembles Ai , i ∈ I. Elle est notée σ (A) .
Exemple 1.1.4. Reprenons l’exemple 1.1.2.
- Soit Ω = {1, ..., 6}. Si A1 = {{1}} , alors σ (A1 ) = F1 . Si A2 = {{1, 3, 5}} ,alors σ (A2 ) = F2 .
- Soit Ω = [0; 1]. Si A = {I1 , ..., In } , alors σ (A) = G.
Définition 1.1.5. Soit Ω = [0; 1]. La tribu borélienne sur [0, 1] est la tribu engendrée par la famille de sousensembles A = {]a; b[: 0 ≤ a < b ≤ 1} ={intervalles ouverts dans[0, 1]}. Elle est notée B([0, 1]). Elle contient
un très grand nombre de sous-ensembles de [0, 1], mais pas tous.
Remarque 1.1.6. - Pour Ω ensemble fini, on choisit souvent F = P(Ω).
- Pour Ω ⊂ R ou Ω ⊂ Rn , on choisit souvent F = B(Ω).
Définition 1.1.7. Une sous-tribu de F est une tribu G telle que si A ∈ G alors A ∈ F.
(KERBOUA. M) 1 er Master: Probabilités et Applications

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